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FORMULARIO NUMERI COMPLESSI
ANDREA OCEANO MONTAGNANI
UNITA’ IMMAGINARIA (i):
Proprietà dell’unità immaginaria:
i
1
=i
i
2
i
3
=−i
i
4
RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA DI z:
z=a+ib
dove:
a è detta parte reale di z (Re(z))
b è detta parte immaginaria di z (Im(z))
CONIUGATO DI z ( z ):
z=a−ib
Proprietà del coniugato:
z∗z=|z|
2
z=z ↔ z ∈ R cioè se Im(z)=
NORMA:
N
z
=a
2
+b
2
Proprietà della norma:
N ( z )= 0 ↔ z = 0
z
z
N ( z )
a
N ( z)
+i
−b
N ( z)
MODULO DI Z:
|z|=
N ( z)
A volte il modulo si esprime con ρ
Proprietà del modulo:
|z|è un numero reale positivo o nullo
PIANO DI ARGAND-GAUSS e θ:
Ogni numero complesso z=a+ib si può rappresentare nel piano Argand-Gauss, ossia il piano che
nell’asse delle x rappresenta la parte reale di z (a) e l’asse delle y la parte immaginaria (b).
Il coniugato è il simmetrico rispetto all’asse x.
Il modulo è la lunghezza del triangolo rettangolo che ha come cateti a e b.
Chiamiamo argomento ( )θ di z, l’angolo compreso tra l’asse x e l’ipotenusa di z.
θ=arctan
ℑ(z )
ℜ(z )
Oppure θsi ricava anche graficamente disegnando sul piano A. G. z di coordinate (a,b) e ricordandosi
gli angoli notevoli nella circonferenza goniometrica:
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA (o TRIGONOMETRICA):
z=ρ ¿
ove:
cos θ=
a
N ( z)
a
ρ
a
|z|
quindi:
z=
z
e
iθ
OSS.
- se z=a+ib → e
z
=e
a
e
ib
=e
a
- possiamo ricavare le formule di Eulero:
sin a=
e
ia
−e
−ia
2 i
e cos a=
e
ia
+e
−ia
FORMULA PER TROVARE LE RADICI DI UN POLINOMIO:
n
√
z=
n
√
ρ(cos
θ+ 2 kπ
n
+i sin
θ+ 2 kπ
n
ove:
n è il grado massimo del polinomio
k è variabile:
se n= 2 → k = 0 e 1
se
n= 5 →k = 0 e 1 e 2 e 3 e 4
se n= 1 → k = 0
…
Teorema fondamentale dell’algebra:
Ogni equazione algebrica ha almeno una radice complessa
esempio:
esempio:
Sia λ ∈ C, e si consideri l’equazione z
2
Stabilire per quali valori di λ ∈C il numero complesso 2 + i `e soluzione dell’equazione.
Per definizione il numero complesso 2 + i `e una soluzione dell’equazione se e solo se
(2 + i) 2 + λ(2 + i) − 5i = 0
da cui si trova un unico valore di λ:
4 + 4i − 1 + λ(2 + i) − 5i = 0
λ (2 + i) = i − 3
λ =
i− 3
2 +i
= … = i − 1
L’unico valore di λ ∈ C per cui 2 + i e soluzione dell’equazione (1)e quindi λ= i – 1
esempio:
