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𝐴
𝑃(𝐴) = lim
𝑛→∞
𝐴
Definizione valida se si può replicare
l’esperimento. Si replica l’esperimento per veder
quante volte si replica la frequenza relativa
A/B
La probabilità di un evento è sempre maggiore uguale di 0.
La probabilità dell’evento certo è 1.
Probabilità condizionata :
A = 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑡𝑜
B = 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑖ò 𝑐ℎ𝑒 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑠𝑐𝑒, 𝑐ℎ𝑒 𝑠𝑖 è 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑜
𝑃(𝐵|𝐴) × 𝑃(𝐴)
La probabilità che il test sia positivo in soggetti sani:
sensibilità (complementare specificità)
La probabilità che il test sia negativo in soggetti sani:
specificità (complementare specificità)
FORMULARIO STATISTICA PARZIALE 1
PROBABILITÀ
Definizione classica (dado non truccato):
Definizione frequentista (dado truccato):
Assiomi :
Formula di Bayes :
Caso clinico :
(Falso positivo)
−
| 𝑫 (Falso negativo)
| 𝑫 (Test positivamente corretto)
−
(Test negativamente corretto)
UNIONE EVENTI
Regola della somma:
Regola della somma con eventi incompatibili
(eventi che non si possono verificare insieme):
INTERSEZIONE EVENTI
Regola del prodotto:
= 𝑷(𝑨|𝑩) × 𝑷(𝑩)
Oppure
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) × 𝑃(𝐴)
Regola del prodotto con eventi indipendenti
(un evento non influenza l’altro ma si possono
verificare insieme cioè 𝑃(A|B) = 𝑃(𝐴) ):
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)
Oppure
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴)
Oppure
Successo (il manifestarsi dell’evento di interesse)
Insuccesso (il non manifestarsi dell’evento di interesse)
2
𝑖
𝑁
𝑖= 1
2
2
×
Fattore di correzione per
popolazioni finite
N
ℎ
ℎ
ℎ
N
Insieme dei campioni
presi dagli strati
ℎ
ℎ
× 𝑦̅
ℎ
𝐻
ℎ= 1
𝑠𝑡𝑟
ℎ
2
×
𝜎
2
ℎ
𝑛
ℎ
ℎ
𝑦
Standardizzazione
= 𝑛
1
2
3
+... +𝑛
ℎ
Ampiezza singolo campione
preso dallo strato
ℎ
Singolo strato preso
dalla popolazione
ℎ
Una volta trovato 𝑘, si seleziona a caso un numero 𝑟 compreso tra 1 e 𝑘. Si prende
l’unità che occupa la posizione r-esima della lista. Le unità successive vengono
selezionate come 𝑟 + 𝑘. Quindi Il campione si forma prendendo una unità ogni 𝑘
presenti nella lista della Popolazione, a partire dalla prima estratta (𝑟).
Deviazione standard
Varianza
VARIABILI CASUALI
Variabile casuale di Bernoulli :
- Supporto: 𝑌: 0 , 1
- Probabilità:
Variabile casuale normale :
Valore atteso della media campionaria :
CAMPIONAMENTO CASUALE SEMPLICE
Stima della media ( con e senza remissione ):
Varianza della media ( con remissione ):
Varianza della media ( senza remissione ):
Se la popolazione è grande si usa il campionamento con reinserimento. Se la popolazione è piccola si usa il
campionamento senza rinserimento.
CAMPIONAMENTO SISTEMATICO
Passo di campionamento:
CAMPIONAMENTO CASUALE STRATIFICATO
Proporzione della popolazione che si trova nello strato ℎ (peso):
Nel campionamento casuale stratificato proporzionale 𝑊 ℎ
è uguale in tutti gli strati
Media della totalità degli strati:
Varianza dello strato:
Probabilità associata al successo ( 1 ): 𝒑 = 𝑷 (𝒀 = 𝟏)
Probabilità associata all’ insuccesso ( 0 ): 𝟏 − 𝒑
(𝛼/ 2 )
×
(𝛼/ 2 )
×
𝐴 = 2 × 𝑧
(𝛼/ 2 )
×
(𝛼/ 2 )
×
(𝛼/ 2 )
× √
- 5
𝑛
2
(𝛼/ 2 )
× 0. 25
2
Se 1 − 𝛼 = 0. 𝟗𝟗
Se 1 − 𝛼 = 0. 𝟗𝟓
Se 1 − 𝛼 = 0. 𝟗𝟎
𝛼/ 2
𝛼/ 2
𝛼/ 2
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Proporzione campionaria,
caso particolare della
media campionaria.
Quindi quello che vale per la media campionaria vale anche
per la proporzione campionaria:
2
e 𝑉𝑎𝑟 (𝑌) = 𝑝( 1 − 𝑝) = 𝑝 × 𝑞
c
Complementare di 𝑝
INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA PROPORZIONE ( 𝒑 )
Ampiezza dell’intervallo di confidenza:
Dimensione campionaria:
Come stimatore puntuale di 𝑝 si utilizza lo stimatore proporzione campionaria (𝑝̂ ). Dove:
