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VARIABILI SINGOLE
DISCRETE
Distribuzione
Valore
Atteso
(EX)
Varianza
(VarX)
Funzione gen. di
momenti
Funzione
caratteristica
Discreta uniforme
P(X=k) = {
1
n
∙ ∑ k
k
Degenere
P(X=c) = 1 c 0
𝑒
𝑡𝑐
𝑒
𝑖𝑡𝑐
Di Poisson (𝜆)
P(X=k) = {
−𝜆
𝜆
𝑘
𝑘!
λ λ
e
−λ
e
λe
t
e
−λ
e
λe
it
Ipergeometrica
P(X=k) =
(
𝑏
𝑘
)(
𝑟
𝑛−𝑘
)
(
𝑏+𝑟
𝑛
)
k= 0, 1, …, min(n,b)
(bianche)
= n ∙
b
b + r
Di Bernoulli (p)
P(X=k) ={
p
p(1-p)
Binomiale (n,p)
P(X=k) ={
𝑛
𝑘
𝑘
𝑛−𝑘
np np(1-p) (𝑝e
t
n
(pe
it
n
Geometrica (p)
P(X=k) = {
𝑘− 1
1
p
( 1 − p)
p
2
{
𝑝𝑒
𝑡
1 − 𝑞𝑒
𝑡
𝑠𝑒 𝑡 < 𝑙𝑛(
1
1 − 𝑝
)
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 𝑡 > 𝑙𝑛(
1
1 − 𝑝
)
pe
it
1 − qe
it
Densità discreta
P(k)= P(X=k) Massa di probabilità per ogni punto
Funzione di ripartizione
F
x
(t) = P(X ≤ t) F è costante a tratti
Valore atteso, EX
EX=∑ k ∙ p(k) ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚𝑋
Varianza, VarX
E (X − EX)
2
=∑(k − EX)
2
∙ p(k) Oppure E(X
2
)-(EX)
2
Trasformazioni di v.a. discrete E(aX+b) = a E(X)+b
Var(aX+b) = 𝑎
2
Funz.generatrice (anche per
continue)
𝑡𝑥
𝑌
𝑏𝑡
𝑥
Momenti interi (anche per
continue)
𝑘
(𝑘)
𝑘
(𝑘)
𝑘
ASSOLUTAMENTE CONTINUE
Distribuzione E(X)
Var(X) Fx(T) M(t) H(t)
Uniforme su (a,b)
𝑋
2
e
bt
− e
at
bt − at
e
ibt
−e
iat
ibt − iat
Esponenziale (𝜆)
𝑋
−𝜆𝑥
2
−𝜆𝑡
= {
∞ 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 𝜆
𝜆
𝜆 − 𝑡
𝑠𝑒 𝑡 < 𝜆
𝜆
𝜆−𝑖𝑡
Gamma (𝛼, 𝜆)
𝑋
𝛼
𝛼− 1
−𝜆𝑥
α
λ
α
λ
2
𝛼
𝜆 − i𝑡
𝛼
Gaussiana standard
𝑋
−
𝑥
2
2
Tabella
𝑡
2
2
−
𝑡
2
2
Gaussiana generale
𝑋
−
(𝑥−𝜇)
2
2 𝜎
2
2
- Tabella
𝜇𝑡+𝜎
2
∙
𝑡
2
2
𝑖𝜇𝑡−𝜎
2
∙
𝑡
2
2
Di Cauchy
𝑋
2
Non
esiste
∙ (arctg(x) +
Esiste solo in t=
e vale 1
−|𝑡|
Densità di probabilità
f(x)
f(x)≥ 0
∫ f(x)dx = 1
∞
−∞
d
dt
F
X
(t)
Funzione di ripartizione
F
x
(t) = ∫ f(x)dx
t
−∞
continua
Valore atteso, EX EX=∫ x f(x)dx
∞
−∞
E(g
X
) = ∫ g
x
∙ f
x
dx
∞
−∞
Varianza, VarX E (X − EX)
2
= ∫ (x − Ex)
2
∞
−∞
f(x)dx
Trasformazioni di v.a.
continue
se Y=g(X) è monotona:
f
Y
(y) = f
X
(g
− 1
(y)) ∙ |
d
dy
(g
− 1
(y)|
CONTINUE
Distribuzione
Congiunta uniforme su B
Densità congiunta
F (X, Y)dxdy = P((x ≤ X ≤ x + dx) ∩ (y ≤ Y ≤ y + dy))
P((x,y)∈ A) = ∬ f(x, y)dxdy
A
Distribuzioni
marginali
𝑋
∞
−∞
𝑌
∞
−∞
Valore atteso
𝑅
2
𝑋
∞
−∞
Distr.condizionata
di Y rispetto a X
𝑌|𝑋
𝑋
𝑅
𝑌
| 𝑋
Legge alternative
𝑌
𝑌
| 𝑋
∞
−∞
𝑋
Th.di Bayes
𝑋|𝑌
𝑌|𝑋
𝑋
𝑌|𝑋
𝑋
∞
−∞
Funzione di ripartizione
F
t1, t
= p(
X ≤ t
Y ≤ t
𝑡 2
−∞
𝑡 1
−∞
Trasformazioni di
v.a. doppie
continue
Z=max (X,Y) indipendenti →
Z=min (X,Y) indipendenti →
𝐹
𝑍
(𝑡) = 𝐹
𝑋
(𝑡)𝐹
𝑌
(𝑡)
𝐹
𝑍
(𝑡) = 1 − ( 1 − 𝐹
𝑋
(𝑡))( 1 − 𝐹
𝑌
(𝑡))
VARIABILI MULTIPLE
CONVERGENZA DI SUCCESSIONI
1) CONVERGENZA IN DISTRIBUZIONE ( 𝐗𝐧
𝐝
- Una successione Xn converge in distribuzione ad una variabile X per n→ ∞, se lim
n→∞
𝑋 𝑛
𝑋
(𝑡) ∀ 𝑡 ∈ 𝑅 in cui
la funzione di rip. limite è continua
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
1
, X
2
, … , X
n
variabili iid, ciascuna con valore atteso (𝜇) e varianza (𝜎
2
) finiti
𝑆𝑛−𝑛𝜇
√
𝑛 𝜎
avremo che, per n→ ∞, Zn
d
→ Z~ N ( 0 , 1 )
2) CONVERGENZA IN PROBABILITA’ (𝐗𝐧
𝐩
- Una successione Xn converge in probabilità ad una variabile X per n→ ∞, se lim
n→∞
LEGGE DEBOLE DEI GRANDI NUMERI
1
, X
2
, … , X
n
variabili iid, ciascuna con valore atteso (𝜇) 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
X
1
+X
2
+⋯+X
n
n
la loro media aritmetica, si ha che per n→ ∞, Xn
p
→ μ
3) CONVERGENZA QUASI CERTA (𝐗𝐧
𝐪.𝐜
- Una successione Xn converge quasi certamente ad X per n→ ∞ se l’evento {𝜔 ∈ 𝛺: lim
𝑛→∞
𝑋𝑛(𝜔) = 𝑋(𝜔)} ha
probabilità 1, ovvero P ( lim
𝑛→∞
LEGGE FORTE DEI GRANDI NUMERI
1
, X
2
, … , X
n
variabili iid, ciascuna con valore atteso (𝜇) 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
X 1
+X 2
+⋯+X n
n
la loro media aritmetica, si ha che per n→ ∞, Xn
q.c
→ μ
Funzione di ripartizione
DISCRETE F(t
1
, t
2
,.. t
n
) = P((X
1
≤ t
1
) ∩ (X
2
≤ t
2
) … ∩ (X
n
≤ t
n
CONTINUE = ∫ dx
1
∫ dx
2
... ∫ dx
n
tn
−∞
t 2
−∞
t 1
−∞
f (X
1
, X
2
,... , X
n
Funzione caratteristica H(t
1
, t
2
,.. t
n
) = E e
i(t
1
X
1
+t
2
X
2
+..+t n
X n
)
Funzione generatrice di
momenti
M(t
1
, t
2
,.. t
n
) = E e
(t 1
X 1
+t 2
X 2
+..+t n
X n
)
Regole sul valore atteso
e varianza
E
( X
1
+ X
2
+ ⋯ + X
n
) = E
( X
1
)
( X
2
)
( X
n
)
Var (X
1
+ X
2
+ ⋯ + X
n
) = Var(X
1
) + Var(X
2
) + ⋯ + Var(X
n
)+2 ∑ cov(X
i,
X
j
i<j
Se indipendenti E(X
1
∙ X
2
∙ … ∙ X
n
) = E(X
1
) ∙ E(X
2
) ∙.. .∙ E(X
n
Z= 𝑋
1
2
𝑛
INDIPENDENTI
Risultati utili:
• X
j
~Poi(λ
j
) → Sn ~Poi(
λ
j
n
j= 1
• X
j
~Bin(n
j
, p) → Sn~Bin(∑ n
j
j
, p)
• X
j
~Exp
λ
→ Sn~Gamma
n, λ
• X
j
~Ν(μ
j
, σ
2
j
) → Sn~N(∑ μ
j
, ∑ σ
j
2
n
j= 1
n
j= 1
