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FORMULARIO STATISTICA GENERALE, Schemi e mappe concettuali di Statistica

Università degli Studi di Roma La Sapienza (UNIROMA1)Statistica

OTTIMO FORMULARIO PER STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERIENZIALE

Tipologia: Schemi e mappe concettuali

2022/2023

Caricato il 20/05/2025

giulioconte
giulioconte 🇮🇹

4 documenti

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bg1
FORMULARIO DI STATISTICA
(utilizzabile all’esame da studenti con DSA previa autorizzazione del docente)
Sintesi di distribuzioni semplici:
fi=ni
n,ai=xi−xi−1,di=ni
ai∝fi
ai,Fi=f1+f2+... +fiF(x) = Fi−1+fix−xi−1
xi−xi−1
Me =xi−1+0.5−Fi−1
fi(xi−xi−1), D3=xi−1+0.3−Fi−1
fi(xi−xi−1)P63 =xi−1+0.63−Fi−1
fi(xi−xi−1)
µ=1
nPn
i=1 xi,µ=1
nPk
i=1 xini=Pk
i=1 xifi¯xi=xi−1+xi
2
Y=a+bX →µy=a+bµx(linearit`a)
µ=Piµini
Pini(propriet`a associativa)
σ2=1
nPn
i=1(xi−µ)2=1
nPn
i=1 x2
i−µ2,CV =σ
|µ|
σ2=1
nPk
i=1(xi−µ)2ni=Pk
i=1(xi−µ)2fi=1
nPk
i=1 x2
ini−µ2=Pk
i=1 x2
ifi−µ2
Y=a+bX →σ2
y=b2σ2
x
σ2=Piσ2
ini
Pini+Pi(µi−µ)2ni
Pini(formula di scomposizione della varianza)
γ=1
nPn
i=1(xi−µ
σ)3,γ=1
nPk
i=1(xi−µ
σ)3ni=Pk
i=1(xi−µ
σ)3fi
Sintesi di distribuzioni doppie:
χ2=Ps
i=1 Pt
j=1
(nij−¯nij)2
¯nij =n(Ps
i=1 Pt
j=1
n2
ij
ni.n.j −1) ¯nij =ni. n.j
nχ2
rel =χ2
n∗min[(t−1),(s−1)]
σxy =1
nPn
i=1(xi−µx)(yi−µy) = 1
nPn
i=1 xiyi−µxµy
σxy =1
nPs
i=1 Pt
j=1(xi−µx)(yj−µy)nij =Ps
i=1 Pt
j=1(xi−µx)(yj−µy)fij
=1
nPs
i=1 Pt
j=1 xiyjnij −µxµy=Ps
i=1 Pt
j=1 xiyjfij −µxµy
σa+bx,y =bσxy σx,c+dy =dσxy σa+bx,c+dy =bdσxy rxy =σxy
σxσy
Calcolo delle Probabilit`a:
P(¯
E) = 1 −P(E)
P(A∪B) = P(A) + P(B) (incompatibili)
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B) (compatibili)
P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) (dipendenti)
P(A∩B) = P(A)P(B) (indipendenti)
P(E) = PiP(E|Ai)P(Ai) (legge delle probabilit`a totali)
P(Aj|E) = P(E|Aj)P(Aj)
PiP(E|Ai)P(Ai)(Teorema di Bayes)
E(X) = Pixip(xi)V ar(X) = Pix2
ip(xi)−E(X)2(v. a. discrete)
X∼Bin(n, p)→P(X=x) = n!
x!(n−x)! px(1 −p)n−x[E(X) = np, V ar(X) = np(1 −p)]
X∼P oi(λ)→P(X=x) = e−λλx
x![E(X) = V ar(X) = λ]
1
pf2

Anteprima parziale del testo

Scarica FORMULARIO STATISTICA GENERALE e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Statistica solo su Docsity!

FORMULARIO DI STATISTICA

(utilizzabile all’esame da studenti con DSA previa autorizzazione del docente)

Sintesi di distribuzioni semplici:

fi =

ni

n

, ai = xi − xi− 1 , di =

ni

a i

fi

a i

, Fi = f 1 + f 2 + ... + fi F (x) = Fi− 1 + fi

x−xi− 1

x i

−x i− 1

M e = x i− 1

  1. 5 −Fi− 1

fi

(x i

− x i− 1

), D

3

= x i− 1

  1. 3 −Fi− 1

fi

(x i

− x i− 1

) P

63

= x i− 1

  1. 63 −Fi− 1

fi

(x i

− x i− 1

μ =

1

n

n

i=

x i

, μ =

1

n

k

i=

x i

n i

k

i=

x i

f i

¯x i

xi− 1 +xi

2

Y = a + bX → μy = a + bμx (linearit`a)

μ =

∑

i

μini ∑

i

n i

(propriet`a associativa)

σ

2

1

n

n

i=

(x i

− μ)

2

1

n

n

i=

x

2

i

− μ

2 , CV =

σ

|μ|

σ

2

1

n

k

i=

(xi − μ)

2 ni =

k

i=

(xi − μ)

2 fi =

1

n

k

i=

x

2

i

ni − μ

2

k

i=

x

2

i

fi − μ

2

Y = a + bX → σ

2

y

= b

2 σ

2

x

σ

2

∑

i

σ

2

i

ni ∑

i

ni

∑

i

(μi−μ)

2 ni ∑

i

ni

(formula di scomposizione della varianza)

γ =

1

n

n

i=

xi−μ

σ

3 , γ =

1

n

k

i=

xi−μ

σ

3 n i

k

i=

xi−μ

σ

3 f i

Sintesi di distribuzioni doppie:

χ

2

s

i=

t

j=

(nij −¯nij )

2

¯nij

= n(

s

i=

t

j=

n

2

ij

ni.n.j

− 1) ¯n ij

ni.n.j

n

χ

2

rel

χ

2

n∗min[(t−1),(s−1)]

σ xy

1

n

n

i=

(x i

− μ x

)(y i

− μ y

1

n

n

i=

x i

y i

− μ x

μ y

σxy =

1

n

s

i=

t

j=

(xi − μx)(yj − μy)nij =

s

i=

t

j=

(xi − μx)(yj − μy)fij

1

n

s

i=

t

j=

x i

y j

n ij

− μ x

μ y

s

i=

t

j=

x i

y j

f ij

− μ x

μ y

σ a+bx,y

= bσ xy

σ x,c+dy

= dσ xy

σ a+bx,c+dy

= bdσ xy

r xy

σxy

σxσy

Calcolo delle Probabilit`a:

P (

E) = 1 − P (E)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (incompatibili)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (compatibili)

P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) (dipendenti)

P (A ∩ B) = P (A)P (B) (indipendenti)

P (E) =

i

P (E|Ai)P (Ai) (legge delle probabilit`a totali)

P (A

j

|E) =

P (E|Aj )P (Aj ) ∑

i

P (E|A i

)P (A i

)

(Teorema di Bayes)

E(X) =

i

x i

p(x i

) V ar(X) =

i

x

2

i

p(x i

) − E(X)

2 (v. a. discrete)

X ∼ Bin(n, p) → P (X = x) =

n!

x!(n−x)!

p

x (1 − p)

n−x [E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p)]

X ∼ P oi(λ) → P (X = x) =

e

−λ λ

x

x!

[E(X) = V ar(X) = λ]

Inferenza:

X ∼ N (μ,

σ

2

n

) ¯x ± z α

2

σ √

n

¯x ± t n− 1 ,

α

2

¯ S √

n

S

2

n

n− 1

S

2

1

n− 1

n

i=

(x i

− x¯)

2

H 0 : μ ≤ μ 0

H

1

: μ > μ 0

→ R = {x > μ¯ 0 + zα

σ √

n

}; R = {x > μ¯ 0 + tn− 1 ,α

¯ S √

n

}; pvalue = P (

X > ¯xoss|H 0 )

H

0

: μ ≥ μ 0

H

1

: μ < μ 0

→ R = {x < μ¯ 0 − zα

σ √

n

}; R = {x < μ¯ 0 − tn− 1 ,α

¯ S √

n

}; pvalue = P (

X < ¯xoss|H 0 )

H

0

: μ = μ 0

R = {(¯x < μ 0

− z α

2

σ √

n

) ∪ (¯x > μ 0

  • z α

2

σ √

n

H 1 : μ 6 = μ 0 R = {(¯x < μ 0 − t n− 1 ,

α

2

¯ S √

n

) ∪ (¯x > μ 0 + t n− 1 ,

α

2

¯ S √

n

p ˆ ∼ N (p,

p(1−p)

n

) pˆ ± z α

2

ˆp(1−pˆ)

n

(grandi campioni)

H

0

: p ≤ p 0

H

1

: p > p 0

→ R = {p > pˆ 0

  • z α

p 0 (1−p 0 )

n

}; p value

= P (ˆp > pˆ oss

|H

0

H

0

: p ≥ p 0

H

1

: p < p 0

→ R = {p < pˆ 0

− z α

p 0 (1−p 0 )

n

}; p value

= P (ˆp < pˆ oss

|H

0

H

0

: p = p 0

H

1

: p 6 = p 0

→ R = {(ˆp < p 0

− z α

2

p 0 (1−p 0 )

n

) ∪ (ˆp > p 0

  • z α

2

p 0 (1−p 0 )

n

H

0

: indipendenza assoluta χ

2

s

i=

t

j=

(nij −¯nij )

2

¯nij

R = {χ

2 ≥ χ

2

(s−1)(t−1),α

H

0

: normalit`a χ

2

k

i=

(ni−np

0

i

)

2

np

0

i

p

0

i

= P (x i− 1

< X < x i

|H

0

) R = {χ

2 ≥ χ

2

k− 3 ,α

Regressione:

y ˆ i

β 0

β 1

x i

β 1

Sxy

S

2 x

β 0

= ¯y −

β 1

¯x, R

2

S

2

xy

S

2 x

S

2 y

, S

2

n

n− 2

S

2

y

(1 − R

2 )

β 0

± t n− 2 ,

α

2

S

1

n

x¯

2

nS

2 x

β 1

± t n− 2 ,

α

2

S

1

nS

2 x

H

0

: β 0

≤ b 0

H

1

: β 0

> b 0

→ R = {

β 0

> b 0

  • t n− 2 ,α

S

1

n

¯x

2

nS

2 x

H

0

: β 0

≥ b 0

H

1

: β 0

< b 0

→ R = {

β 0

< b 0

− t n− 2 ,α

S

1

n

¯x

2

nS

2 x

H

0

: β 0

= b 0

H

1

: β 0

= b 0

→ R = {(

β 0

< b 0

− t n− 2 ,

α

2

S

1

n

¯x

2

nS

2 x

β 0

> b 0

  • t n− 2 ,

α

2

S

1

n

¯x

2

nS

2 x

H 0 : β 1 ≤ b 1

H

1

: β 1

> b 1

→ R = {

β 1

> b 1

  • t n− 2 ,α

S

1

nS

2 x

H 0 : β 1 ≥ b 1

H

1

: β 1

< b 1

→ R = {

β 1

< b 1

− t n− 2 ,α

S

1

nS

2 x

H 0 : β 1 = b 1

H

1

: β 1

= b 1

→ R = {(

β 1

< b 1

− t n− 2 ,

α

2

S

1

nS

2

x

β 1

> b 1

  • t n− 2 ,

α

2

S

1

nS

2

x

y ˆp =

β 0 +

β 1 xp yˆp ± t n− 2 ,

α

2

S

1

n

(xp−¯x)

2

nS

2 x