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Formulario Statistica II
Paolo Berta, Marta Angelici
Dipartimento di Statistica e Metodi Quantitativi
Università degli Studi Milano-Bicocca
31 gennaio 2020
Indicazioni
Il presente documento contiene il formulario per l’esame di Statistica II. E’
inoltre consentito l’utilizzo delle tavole statistiche per le distribuzioni: Normale
Standard, T di Student, Chi-Quadrato e F. In ultimo, si potrà utilizzare una
calcolatrice non programmabile per eseguire i calcoli necessari.
Media o valore atteso
La media di una v.a. discreta X si calcola come:
μX = E(X) =
P
i
xipX (xi)
Quando la v.a. è continua, invece:
μ X
= E(X) =
R
i
tf X
(t)dt
Le principali proprietà sono:
E(aX + b) = aE(X) + b
E(X 1 + X 2 +... + Xn) = E(X 1 ) + E(X 2 ) +... + E(Xn)
E(g(X)) =
R
i
g(t)f X
(t)dt, per g : IR! IR e per X v.a. continua
Varianza
La varianza di una v.a. discreta X si calcola come:
2
X
= V ar(X) = E(X E(X))
2 = E(X
2 ) E(X)
2
Quando la v.a. è continua, invece:
2
X
= V ar(X) = E(X
2 ) E(X)
2
R
i
t
2 f X
(t)dt (
R
i
tf X
(t)dt)
2
Le principali proprietà sono: V ar(X) 0
V ar(aX + b) = a
2 V ar(X)
Processo di Bernoulli
Consiste in una sequenza di esperimenti aleatori con probabilità di successo p
e di insuccesso 1 p.
Sia X ⇠ Be(p) dove P (1) = p e P (0) = 1 p,
allora E(X) = p e V ar(X) = p(1 p).
La probabilità di ottenere, in n prove, una particolare sequenza di k successi
e (n k) insuccessi è: p
k (1 p)
(n k) .
Date n prove indipendenti, il numero complessivo di k successi è dato da:
p X
(k) =
n
k
p
k (1 p)
(n k) , per k = 0, 1 , 2 ,... , n.
Il valore atteso E(X) = np mentre la V ar(X) = np(1 p).
Poisson di parametro
Sia X ⇠ P oi( ), con > 0 , la funzione di probabilità legata a X di osservare
k eventi è data da:
pX (k) =
k
k!
e
, per k = 0, 1 , 2 ,.. ..
Il valore atteso E(X) = , la V ar(X) = .
Modello Normale
Sia X i
⇠ N (μ,
2 ) allora la funzione di densità è data da:
f (x) =
1 p
2 ⇡
2
e
(x μ)
2
2
2 .
Il valore atteso E(X) = μ mentre la V ar(X) =
2 .
Se la Normale è standarizzata allora possiede media nulla e varianza unitaria
e si indica con la lettera Z.
La relazione tra legge Normale e legge Normale standard è la seguente:
Z ⇠ N (0, 1) ) Z + μ ⇠ N (μ,
2
)
X ⇠ N (μ,
2 ) )
X μ
⇠ N (0, 1)
Verifica di ipotesi
Realtà H 0 vera H 0 falsa
Decisione
Rifiuto ↵ 1-
α = P (
rifiutare H 0
/ H
0
è vera )
β = P (
NON rifiutare H 0
/ H
1
è vera )
La relazione tra legge Normale e legge Normale standard è la seguente:
Z ⇠ N (0, 1) ) Z + μ ⇠ N (μ,
2 )
X ⇠ N (μ,
2 ) )
X μ
⇠ N (0, 1)
Verifica di ipotesi
Realtà H 0
vera H 0
falsa
Decisione
Rifiuto ↵ 1-
Errore di I tipo potenza del test
Non Rifiuto 1- ↵
Significatività Errore di II tipo
La relazione tra queste probabilità è indicata in figura:
Test sulla media di una popolazione Normale di varianza nota:
H 0 H 1 Rifiutare H 0 se
μ = μ 0 μ 6 = μ 0 |z| > z 1
↵
2
μ μ 0
μ > μ 0
z > z 1 ↵
μ μ 0
μ < μ 0
z < z 1 ↵
Medie incognite, varianze uguali (NON NOTE). Utilizzo T-TEST:
t oss
x 1
− x 2
Sc
n 1
n 2
S
1 , 2
2
=
x i
− x )
2
n − 1
Confronto tra popolazioni
Caso: due popolazioni Normali, due campioni di numerosità n 1
e n 2
- Media ignota e Varianza nota ⇠ Z, utilizzo le regole di rifiuto della Z,
devo calcolare la varianza della differenza:
2
¯ X 1
¯ X 2
2
1
n 1
2
2
n 2
- Media e Varianza ignote, grandi campioni, ⇠ Z.
Per la varianza della differenza:
2
¯ X 1
¯ X 2
S
2
1
n 1
S
2
2
n 2
- Media e Varianza ignote, varianze supposte uguali, piccoli campioni, ⇠ t.
Per la varianza devo usare:
2
¯ X 1
¯ X 2
= S
2
c
1
n 1
1
n 2
dove S
2
c
S
2
1
(n 1 1)+S
2
2
(n 2 1)
n 1 +n 2 2
H
0
H
1
Rifiutare H 0
se
μ x
= μ y
μ x
= μ y
|t| > t 1
↵
2
,n 1 +n 2 2
μx μy μx > μy t > t 1 ↵,n 1 +n 2 ^2
μx μy μX < μy t < t 1 ↵,n 1 +n 2 ^2
- Media e Varianza ignote, varianze non supposte uguali, piccoli campioni,
⇠ t con v gradi di libertà dove v =
(a+b)
2
(a
2 )/(n 1 1)+(b
2 )/(n 2 1)
dove a = s
2
1
/n 1
e b allo stesso modo per la seconda popolazione.
Per la varianza devo usare:
2
¯ X 1
¯ X 2
S
2
1
n 1
S
2
2
n 2
- Medie ignote, voglio confrontare le due varianze ⇠ F =
S
2
X
S
2
Y
In linea con le tavole disponibili di seguito la tabella con le diverse ipotesi
a confronto:
H
0
H
1
Rifiutare H 0
se
2
x
2
y
2
x
2
y
F F
↵,(nx 1),(ny 1)
2
x
2
y
2
x
2
y
F F
1 ↵,(nx 1),(ny 1)
2
x
2
y
2
x
2
y
F F
↵/ 2 ,(nx 1),(ny 1)
F F
1 ↵/ 2 ,(nx 1),(ny 1)
Caso: due popolazioni bernoulliane
- con n 1 e n 2 sufficientemente grandi allora:
2
¯ X 1
¯ X 2
= ˆpc(1 pˆc)
1
n 1
1
n 2
dove pˆ c
pˆ 1 ⇤n 1 + ˆp 2 ⇤n 2
n 1 +n 2
Caso: dati appaiati
Confronto tra popolazioni
Caso: due popolazioni Normali, due campioni di numerosità n 1
e n 2
- Media ignota e Varianza nota ⇠ Z, utilizzo le regole di rifiuto della Z,
devo calcolare la varianza della differenza:
2
¯ X 1
¯ X 2
2
1
n 1
2
2
n 2
- Media e Varianza ignote, grandi campioni, ⇠ Z.
Per la varianza della differenza:
2
¯ X 1
¯ X 2
S
2
1
n 1
S
2
2
n 2
- Media e Varianza ignote, varianze supposte uguali, piccoli campioni, ⇠ t.
Per la varianza devo usare:
2
¯ X 1
¯ X 2
= S
2
c
1
n 1
1
n 2
dove S
2
c
S
2
1
(n 1 1)+S
2
2
(n 2 1)
n 1 +n 2 2
H
0
H
1
Rifiutare H 0
se
μ x
= μ y
μ x
= μ y
|t| > t 1
↵
2
,n 1 +n 2 2
μ x
μ y
μ x
> μ y
t > t 1 ↵,n 1 +n 2 2
μx μy μX < μy t < t 1 ↵,n 1 +n 2 ^2
- Media e Varianza ignote, varianze non supposte uguali, piccoli campioni,
⇠ t con v gradi di libertà dove v =
(a+b)
2
(a
2 )/(n 1 1)+(b
2 )/(n 2 1)
dove a = s
2
1
/n 1
e b allo stesso modo per la seconda popolazione.
Per la varianza devo usare:
2
¯ X 1
¯ X 2
S
2
1
n 1
S
2
2
n 2
- Medie ignote, voglio confrontare le due varianze ⇠ F =
S
2
X
S
2
Y
In linea con le tavole disponibili di seguito la tabella con le diverse ipotesi
a confronto:
H
0
H
1
Rifiutare H 0
se
2
x
2
y
2
x
2
y
F F
↵,(nx 1),(ny 1)
2
x
2
y
2
x
2
y
F F
1 ↵,(nx 1),(ny 1)
2
x
2
y
2
x
2
y
F F
↵/ 2 ,(nx 1),(ny 1)
F F
1 ↵/ 2 ,(nx 1),(ny 1)
Caso: due popolazioni bernoulliane
- con n 1 e n 2 sufficientemente grandi allora:
2
¯ X 1
¯ X 2
= ˆpc(1 pˆc)
1
n 1
1
n 2
dove pˆ c
pˆ 1 ⇤n 1 + ˆp 2 ⇤n 2
n 1 +n 2
Caso: dati appaiati
F
1 − α ; n A − 1 ; nB − 1
Test del Lemma di Neyman-Pearson
Test più potente di ampiezza
Qualunque sia l’ipotesi alternativa, con , il test di Neyman
presenta una regione critica della forma .
c costante da determinare è il rapporto di verosimiglianze.
Es: faccio derivata e ottengo , approssimo a normale.
Disuguaglianza di Rao-Cramer
α = 0 , 05
H 1
: p = p 1
p 1
> 0 , 25
(
x : Δ > c )
= (
x : x > k )
= (
x : z ≥ k ′ )
∆
∆ =
L 1 (
0 , 8 ; x )
L 2 (
0 , 8 ; x )
≥ c x ≥ k
Var
T
n I ( σ )
I σ = − E
2
log f x ( x ; σ )
∂ σ )
2
SS A =
X
1
− X
tot )
· n 1
+.... MS A =
SS A
p − 1
SSE =
Var. ca m ·
(
n 1
+... MSE =
SSE
n − p
SS
tot
y ij
− y
)
2
T =
¯ D μD
SD /
p
n
⇠ t n 1
Test Chi-Quadrato
H
0
: X e Y sono due caratteri indipendenti
H
1
: X e Y non sono due caratteri indipendenti
Calcoliamo la statistica test sotto H 0
2
P
h
i=
P
k
j=
(Oij Eij )
2
Eij
2
↵;(h 1)⇤(k 1)
E
ij
n i.
⇤n .j
n..
dove i=righe e j=colonne.
Analisi della Varianza - ANOVA
Test di Ipotesi
(
H
0
: μ 0
= μ 1
= μ 2
,... , = μ h
H
1
: Almeno una delle medie risulta diversa
Test F:
M SA
M SE
⇠ F
↵;(p 1)(n p)
Dove MSA rappresenta il Mean Square Error del trattamento, mentre MSE
rappresenta il Mean Square Error dell’errore casuale.
Teoria dei Campioni
Campionameno Casuale Semplice:
Stima del totale
Y =
N
P
n
i
y i
n
N y
n
La varianza della media campionaria è espressa da:
V ar(¯y) =
2
y
n
N n
N 1
- Utilizzo una nuova variabile ottenuta come differenza tra i campioni, e
sapendo che:
T =
¯ D μD
SD /
p
n
⇠ t n 1
Test Chi-Quadrato
H 0 : X e Y sono due caratteri indipendenti
H 1 : X e Y non sono due caratteri indipendenti
Calcoliamo la statistica test sotto H 0 :
2
=
P
h
i=
P
k
j=
(O ij
E ij
)
2
Eij
2
↵;(h 1)⇤(k 1)
E
ij
ni.⇤n.j
n..
dove i=righe e j=colonne.
Analisi della Varianza - ANOVA
Test di Ipotesi
(
H
0
: μ 0
= μ 1
= μ 2
,... , = μ h
H
1
: Almeno una delle medie risulta diversa
Test F:
M SA
M SE
⇠ F
↵;(p 1)(n p)
Dove MSA rappresenta il Mean Square Error del trattamento, mentre MSE
rappresenta il Mean Square Error dell’errore casuale.
Teoria dei Campioni
Campionameno Casuale Semplice:
Stima del totale
Y =
N
P
n
i
yi
n
N y
n
La varianza della media campionaria è espressa da:
V ar(¯y) =
2
y
n
N n
N 1
Teoria dei Campioni
Campionameno Casuale Semplice:
Stima del totale
Y =
N
P
n
i
y i
n
N y
n
La varianza della media campionaria è espressa da:
V ar(¯y) =
2
y
n
N n
N 1
La varianza del totale campionario
Y è:
V ar(ˆy) = N
2
V ar(¯y)
Campionameno Casuale Stratificato:
Nel caso di allocazione proporzionale la numerosità dello strato è data da:
n h
n ⇤ N h
N
= n ⇤ W h
Nel caso di allocazione ottimale la numerosità dello strato è data da:
n h
= n
W
h
⇤ S
h
P
H
h
W
h
⇤ S
h
La media μ è correttamente stimata dalla media aritmetica opportunamente
corretta per il peso degli strati.
Se si denota con y¯ h
la media dello strato h risulta:
y ¯ h
n h X
i
y hi
/n h
[h = 1,... , H]
e la media del campione è data data:
y ¯ =
H X
h
W
h
y¯ h
H X
h
N
h
¯y h
/N
La varianza di ¯y si ottiene come media aritmetica ponderata delle varianze
delle stime dei singoli strati:
V ar(¯y) =
H X
h
W
2
h
V ar(¯y h
Il valore totale Y è correttamente stimato da:
Y =
H X
h
Y
h
dove
Y
h
è dato da N h
y¯ h
, la cui varianza è correttamente stimata da:
V ar(
Y ) =
H X
h
V ar(
Yh) = N
2
V ar(¯y)
