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METODI DI VALUTAZIONE FINANZIARIA
Oggetto della è lo scambio fra importi monetari pagabili in epoche diverse
e i calcoli connessi alla valutazione degli impegni relativi ad operazioni riguardanti un insieme di
movimenti monetari. La matematica finanziaria quindi, insegna a valutare quantitativamente
l’aspetto dei movimenti monetari e quindi il problema dell’incertezza delle somme future da
incassare o a pagare e l’aspetto legato al differimento temporale. La matematica finanziaria si
occupa dei problemi connessi alla finanza rispetto ad operazioni collegati ad
investimenti economici. Essa va così a valutare il risultato economico finale ottenuto dall’impiego
di capitali.
I soggetti coinvolti nelle operazioni economico finanziarie sono tre:
- unità in surplus di capitale ovvero coloro che sono interessati ad impiegarlo;
- chi si interessa a favorire l’incontro tra domanda e offerta di capitali ovvero gli intermediari;
- chi è in deficit ed è indirizzato ad acquisirlo.
Le operazioni finanziarie che si prendono in esame sono:
a. il deposito di denaro sul conto corrente bancario da quale successivamente si preleveranno
capitale ed interessi, scambiando il versamento odierno con un prelevamento futuro;
b. acquisti oggi di titoli di Stato ad esempio BOT rivenduti o rimborsati fra tre mesi
scambiando la somma oggi investita con il ricavo che si otterrà fra tre mesi;
c. stipula di un finanziamento oggi con rimborso Periodico scambiando la disponibilità che
viene ricevuta oggi per effetto del contratto di finanziamento con i versamenti che verranno
effettuati a scadenze contrattuali.
d. Acquisti di mezzi con pagamento rateale per la quale vi è subito in natura, il valore del
mezzo, con gli importi delle rate che verranno versate alle scadenze contrattuali.
Una OF
elementare è rappresentata da:
- A cede a B il capitale C disponibile ad un tempo x;
- in cambio B cede ad A il capitale M disponibile al tempo y > x.
Se il precedente scambio viene accettato da A e B, allora si dice che i due capitali C ed M ai tempi
x e y sono finanziariamente equivalenti. Valgono, ovviamente, le seguenti proprietà:
- Se x = y allora deve essere C = M;
- Se x > y allora M ≥ C.
Si instaura così un per il quale valore delle prestazioni e il
valore delle controprestazioni, riferiti ad uno stesso istante, sono uguali.
Un’operazione di investimento è caratterizzata da un soggetto che decide di rinunciare al t 0
ad una
data somma per poter ottenere al t 1
t 0
un ammontare pari a definito al tempo t 1
La differenza tra il e il definisce l’ prodotto nell’operazione di
investimento.
Il rapporto generato tra e il capitale determina la quantità
dove è il rispetto al quale l’operazione si è svolta. Da tale espressione si
ottiene anche
cioè l’interesse è proporzionale al capitale secondo il fattore di proporzionalità dato proprio dal
tasso di interesse i.
Il rapporto, indicato con r, tra Montante e capitale iniziale
definisce il per il quale si avrà
(Montante è proporzionale al capitale), operazione algebrica di prodotto tra il numero reale C per il
fattore di capitalizzazione r relativo ad una operazione che duri dal t 0
al t
1
è detta operazione di
capitalizzazione di C.
Collezionando le relazioni precedenti abbiamo:
- I = Ci;
- M = Cr;
- M = C + I = C + Ci = C(1 + i);
- r = M/C;
- r = 1 + i.
L'ultimo punto evidenzia la relazione (fondamentale) tra il tasso di interesse i ed il fattore
di capitalizzazione r.
Una Operazione Finanziaria di o di è caratterizzata da un
operatore che rinuncia ad una parte del capitale che gli è dovuta al tempo t = y per entrarne
anticipatamente in possesso al tempo t = x, con x < y.
Una operazione di questo genere prende il nome di operazione di sconto o di attualizzazione.
Sia:
- M il Capitale disponibile a scadenza (es., al tempo t = y);
- C La somma che si decide di possedere immediatamente (cioè al tempo t = x).
La differenza tra la somma M e l'importo C definisce lo effettuato sulla somma M per il
suo anticipo relativo al periodo y - x, e si indica:
Il rapporto tra lo sconto D per ogni unità di montante M determina il
relativo al periodo y – x indicato con d(x; y):
Il fattore di anticipazione o di sconto v(x; y) definisce il valore in x corrispondente ad una unità di
montante in y e precisamente:
Dall'espressione v = C/M si ottiene:
che indica il fatto che il capitale (scontato) C è proporzionale al capitale M da ricevere al tempo t=x
secondo il fattore di proporzionalità dato proprio da v o da d.
Tutte le relazioni tra le grandezze introdotte sono riassumibili nella tabella di seguito, in cui ogni
riga riporta la dipendenza di una particolare grandezza rispetto a tutte le altre:
Due regimi finanziari, di capitalizzazione e di attualizzazione, r(x; y) e v(x; y) si dicono coniugati
se: r(x; y)v(x; y) = 1 per ogni x ≤ y
Questo, dunque, giustifica il fatto che a partire da una funzione si può immediatamente ricavare
l'altra, ossia, posto t = (y - x): r(t) =1/v(t) e v(t) = 1/r (t)
I tre principali regimi sono:
Questo è il regime nel quale l'interesse prodotto da una operazione di investimento per un
determinato periodo di tempo t è direttamente proporzionale al capitale investito ed alla
durata t dell'operazione, ossia:
cioè Legge di formazione dell'interesse semplice
La funzione di capitalizzazione è, dunque, la seguente:
di conseguenza
La funzione:
definisce la Legge di capitalizzazione semplice, dove il tasso di interesse i denota
generalmente il tasso effettivo annuo e t il tempo misurato in anni.
Se il periodo considerato per una OF è un multiplo m o una frazione m di un dato periodo di
riferimento, il relativo tasso di interesse sarà indicato con:
Due tassi periodali riferiti a diverse unità di misura si dicono equivalenti se descrivono la
stessa legge. Per descrivere la stessa legge, i due tassi devono essere tali da fornire lo
stesso montante M quando sono applicati allo stesso capitale C e per la stessa durata.
supponiamo di possedere un capitale unitario, dopo un anno il montante sarà:
r = 1 + i
Lo stesso capitale dopo due (2) semestri sarà:
1 + i
2
Dato che il montante deve essere uguale avremo: 1 + i = 1 + 2i
2
, pertanto: i = 2i
2
Definizione
Nel regime finanziario dell'Interesse Semplice due tassi sono equivalenti se
i = m i
m
ossia:
i
m
= i/m
dove i
m
è il tasso periodale relativo alla frazione o multiplo dell’unità di tempo scelta come
periodo di riferimento.
Si vuole sapere il tasso mensile equivalente ad un tasso trimestrale dell'1,5%. Poiché 3 è il
numero dei mesi in un trimestre si ha, avendo considerato come unità temporale di
riferimento un trimestre:
i = m i
m
Da cui, essendo m=
i
m
= i/3 = 0,015/3 = 0,5%
In generale, considerando come riferimento l'anno dato i il tasso di interesse annuo, si
indica con:
- i 2
il tasso semestrale (occorrono 2 semestri per fare un anno);
- i 3
il tasso quadrimestrale (occorrono 3 quadrimestri per fare un anno);
- i 4
il tasso trimestrale (occorrono 4 trimestri per fare un anno).
L'operazione per cui un investitore «trasforma» in capitale gli interessi maturati, i quali, si
dice, vengono resi fruttiferi, è detta operazione di. Si può
dimostrare che per questo regime, questa operazione risulta sempre vantaggiosa per un
investitore.
Le caratteristiche di un Regime ad Interesse Semplice sono dunque:
- Vi è una relazione lineare tra montante M, capitale impiegato C e periodo di tempo t tale
che: M = C(1 + it) = C + iCt
- Dalle relazioni tra fattore di capitalizzazione r(t) e fattore di attualizzazione v(t) si ottiene:
C = Mv(t) = M/(1 + it).
Questo regime specifica la legge di una persona che deve ricevere oggi una somma M
scontata, ossia
dove D rappresenta lo sconto su M ed è proporzionale al capitale M ed al tempo t.
Assumendo M = 1 e t = 1, avremo che rappresenta il tasso effettivo di sconto d(1) = d, da
cui:
Pertanto, indicando con C(t) il valore oggi del capitale scontato per un periodo t, avremo:
- C(t) = M - D(t) = M(1 - td);
- M = C(t)[1/(1-dt)];
decide di movimentare il capitale con operazioni di capitalizzazione degli interessi in periodi
intermedi.
Considerando il fattore di capitalizzazione r di un capitale C = 1 in un tempo t = 1 e si ha:
r(1) = 1 + + i
dove r è uguale al montante incassabile a fine periodo.
Se t = 2 si ha: r(2) = r(1)(1 + i) = (1 + i) (1 + i) = (1 + i)
2
Se t = n si ha: r(n) = r(n - 1)(1 + i) = (1 + i)
n
Se t Є R si ha: r(t) = (1+i)
t
Da tutte queste relazioni per trovare il tasso di interesse i al tempo t:
i(t) = r(t) – 1 = (1+i)
t
L'operazione finanziaria intermedia non va ad incrementare il montante finale poiché
(1+i)
t
= (1 + i)
s
(1 + i)
(t-s)
Il regime di interesse composto può essere definito anche con il fattore di sconto v(t) e il
tasso di sconto d(t):
r(t) =
ଵ
௩(௧)
dove v(t) = (1-t)
t
per ogni t Є R
d(t) = 1 (1+i)
-t
= 1-(1-d)
t
Il tasso di interesse relativo ad un 1/m-esimo di anno ed equivalente al tasso annuale i(1)=i,
indicato con i 1/m
è il risultato della seguente equazione:
(1 + i 1/m
m
= 1 + i
Di conseguenza, si hanno le seguenti relazioni:
- i 1/m
= (1 + i)
1/m
- i = (1 + i 1/m
m
ESEMPIO Si vuole calcolare il tasso annuale equivalente al tasso di interesse relativo ad
un periodo di n = 27 giorni e pari a i(27g) = 0,00234. Pertanto, considerando un anno
composto da m = 360 giorni (anno commerciale), si considera il periodo t = n/m = 27/360 e
dunque il tasso annuale i sarà dato:
i = (1 + i t
1/t
m/n
Consideriamo un capitale C investito per un periodo t e valutiamo l'interesse prodotto da
questo investimento in un (successivo) intervallo di tempo (t; t + t), risulta:
I(t; t + t) = M(t + t) - M(t).
Pertanto, il tasso effettivo di interesse i(t; t + t) sarà dato:
i(t; t + t) = [M(t + t) - M(t)]/M(t) = [r(t + t) - r(t)]/r(t)
Definizione
Si definisce Intensità d'interesse il rapporto:
i(t; t + t)/t =[r(t + t) - r(t)]/[r(t)t]
Definizione
Si dfinisce tasso istantaneo di interesse o forza d'interesse il rapporto:
= lim
∆(௧)→
= lim
∆(௧)→
ᇱ
ln 𝑟(𝑡)
esprime la forza con cui il montante M si forma tra t e t + t, o analogamente, esprime
il Tasso con cui il capitale prodotto in t sta producendo interesse in quell'istante.
La forza d'interesse (t) identifica completamente una legge di capitalizzazione e, dunque, il
relativo regime finanziario e, pertanto, avremo:
- Regime dell'Interesse Semplice: r(t) = 1 + it; (t) = i/(1+it);
- Regime dello Sconto Commerciale: r(t) = 1/(1-dt); (t) = d/(1-dt);
- Regime dell'Interesse Composto: r(t) = (1 + i)
t
= e
t
; (t) = = ln(1 + i).
Dal punto 3, si ricava il seguente teorema:
Supponiamo di investire in un dato periodo di tempo t = 1 un capitale C = 1, e che questo
dia luogo, dopo una frazione m del periodo considerato, degli interessi che non vengono
capitalizzati. Al termine di ogni frazione 1/m del periodo t, l'investitore si ritroverà ancora il
capitale C da investire nella frazione di tempo successiva fino alla fine dell'intero periodo t.
Chiamiamo con i 1/m
o equivalentemente i
m
il tasso di interesse per la frazione m. Si chiama
somma finanziaria di tutti gli interessi (non riscossi) al termine del periodo t di investimento
la quantità:
j(m) = m i m
dove j(m) è il tasso nominale di interesse pagabile m volte all'anno ed equivalente al tasso
effettivo annuo i. Vale la seguente relazione:
j(m) = m i m
= m [(1 + i)
1/m
– 1].
La relazione precedente è valida in un regime Finanziario ad Interesse Composto. Inoltre,
j(m) NON è propriamente un tasso come nel caso di i. In un regime ad interesse composto,
la relazione precedente esprime il fatto che il montante di una unità di capitale (cioè C = 1)
investita in un anno (t = 1) equivale ad una unità di capitale investita in m sotto-periodi
dell'anno al tasso periodale i m
. Valgono le seguenti relazioni:
- j(m) = m [(1 + i)
1/m
- 1], Tasso nominale annuo;
- i m
= 1/m j(m), Tasso periodale;
- i =[1 + j(m)/m]
m
- 1, Tasso effettivo annuo;
- j(m) < i , ed è decrescente rispetto ad m.
Supponiamo ora che gli intervalli di tempo m, dell'm-esimo sottoperiodo di anno, diventino
via via sempre più numerosi (m +∞), calcolando il limite di j(m) si ha:
lim
→ାஶ
= lim
→ஶ
𝑚[൬ 1 + 𝑖)
ଵ
− 1൨ = ln(1 + 𝑖)
La quantità (già vista in precedenza per il solo regime dell’interesse composto):
= ln(1 + i)
r(t0; t1) r t
(t1; t2) = r(t0; t2):
La relazione precedente può essere riscritta in termini di Tassi effettivi (periodali), ossia:
(1 + i(t0; t1)) (1 + i t
(t1; t2)) = (1 + i(t0; t2))
In virtù delle formule precedenti possiamo dunque calcolare il tasso i t
(t1; t2) chiamato
anche Tasso implicito per il periodo (t1; t2) stimato al tempo iniziale t0. Questo tasso è
detto implicito in quanto determinato quando siano noti i due tassi i(t0; t1) e i(t0; t2).
i t
(t1; t2) = [(1 + i(t0; t2))]/[(1 + i(t0; t1))] – 1.
Si noti che le grandezze introdotte non sono state riferite ad un particolare Regime
Finanziario.
Definizione
Si definisce Tasso Forward o Tasso Implicito di Proseguimento i
t
(t1; t2) per il periodo (t1;
t2) stimato al tempo iniziale t0, il tasso annuo equivalente al tasso effettivo periodale i t
(t1;
t2) nel Regime Finanziario ad Interesse Composto, ossia: (1 + i t
(t1; t2)) = (1 + i
t
(t1; t2))
(t2-
t1)
Una è una successione di capitali da riscuotere o da pagare a scadenze
determinate. I singoli importi esigibili ad ogni scadenza costituiscono le di una rendita.
Tra le rendite distinguiamo:
- : Quando il pagamento o l'incasso delle rate avviene alla fine di ogni
periodo di scadenza
- : Quando il pagamento o l'incasso delle rate avviene all'inizio di ogni
periodo di scadenza
- : E’ una rendita costante le cui rate sono di ammontare unitario
Parliamo di quando si calcola il valore di ciascuna rata riferendola al
tempo assegnato di scadenza attraverso una operazione di capitalizzazione o di sconto.
Al fine di determinare il valore di una rendita occorre, quindi, riferirsi ad un preciso istante di
riferimento e ad una data legge finanziaria. Generalmente si fa riferimento ad un Regime
Finanziario ad Interesse Composto.
Definiamo:
a) : è il valore capitale della rendita al tempo T, considerando il
tempo iniziale t 0
e il tempo finale T. Esso è calcolato considerando le somme dei montanti
delle singole rate, ovvero nell'ipotesi che ciascuna rata appena riscossa venga reinvestita
ad uno stesso tasso fino a T.
b) : è il valore equivalente al tempo t 0
dell'insieme delle rate R
j
pagate o riscosse in t j
, ovvero è la somma dei singoli valori attuali in t 0
delle rate R j
alle
epoche t j
Sia T il tempo in cui viene valutato il montante M(T), da cui:
(்ି ௧
ೖ
)
ୀଵ
ୀଵ
dove M k
è il montante generato in t
k
dalla rata R
k
Analogamente, chiamiamo V(t 0
) il valore attuale di una rendita e si ha:
ି (௧ ೖ
ି ௧ బ
)
ୀଵ
ୀଵ
dove A k
è il valore attuale in t 0
della rata R k
Sempre con riferimento alle rendite si hanno:
- RENDITA COSTANTE, quando R k
= R per ogni k, un caso particolare è quando R k
=R=1.
- RENDITA PERIODICA, quando t k
= cost per ogni k, se t k
= 1 allora la rendita
si dice annuale.
- RENDITA IMMEDIATA, quando la valutazione avviene al tempo t 0
che è lo stesso
istante dal quale la rendita inizia a decorrere.
- RENDITA POSTICIPATA, quando le rate sono pagate alla fine di ogni periodo (es, alla
fine di un anno, mese ecc...).
- RENDITA ANTICIPATA, quando le rate sono pagate all'inizio di ogni periodo (es,
all'inizio di un anno, mese ecc...).
- RENDITA DIFFERITA, quando il tempo di valutazione è differito, ovvero precedente o
seguente a quello di decorrenza t0 della rendita.
- RENDITA PEPETUA, quando è costituita da un numero illimitato di rate.
Per la si è soliti riferirsi ad un caso fondamentale che è il
calcolo del Valore Attuale di una Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata e di durata
n anni.
Il valore attuale di tale rendita si indica col simbolo seguente che si legge «a figurato con n
al tasso i», ossia: a n i
dove i è il tasso di interesse annuo, utilizzato per la valutazione della rendita con un regime
ad Interesse Composto.
Dovendo calcolare un valore attuale, si farà riferimento al Tasso di Attualizzazione v(t). Se
le rate sono posticipate, allora la prima rata (unitaria) verrà pagata alla fine del primo anno
t 0
, ovvero alla fine del periodo (intervallo) (t 0
; t 1
). Per cui la sua attualizzazione sarà:
1v(1) = v
Alla fine del secondo anno, ossia dell'intervallo (t 1
; t 2
), la rata (del secondo anno)
attualizzata a t 0
, ossia da scontare per due anni, sarà:
v(2) = (v)v = v
2
Con riferimento a tutta la durata della rendita, cioè alla fine dell'anno t n
avremo:
a n i
= v + v
2
3
n
L'espressione sopra è una Progressione Geometrica di ragione v ≠ 1 e dunque la sua
somma è: a n i
=v[1-v
n
]/[1-v]
Dato che v= 1/r = 1/(1+i), con r il fattore di capitalizzazione otteniamo:
A titolo di , si consideri il del Valore Attuale di una Rendita Unitaria Annua
Posticipata Immediata e di durata n anni. Risulta:
che si legge «a figurato n al tasso i frazionato in m rate 1/m».
Esercizio 1
Calcolare il valore attuale e montante di una rendita immediata posticipata annua di rata
1200 euro e durata 15 anni, in un regime ad Interesse Composto e secondo il tasso di
valutazione del 12% annuo.
Svolgimento
Si tratta di applicare le formule relative al calcolo del valore attuale e montante di una
rendita finanziaria viste in precedenza. Con riferimento al valore attuale consideriamo la
quantità:
a n i
= [1-(1+i)
-n
]/i = a
15 0,
= [1-(1,12)
]/0,12 =6,81.
Pertanto, si ottiene:
V(t0) = Ra n i
Per il montante possiamo applicare la formula seguente:
M(T)= Rs n i
= R [(1+i)
n
-1]/i = Rs 15 0,
= [(1,12)
15
- 1]/0,12 =44735,66.
Alternativamente, conoscendo il valore attuale, V(t0) = 8173,04, si può calcolare
direttamente il montante di V(t0) applicando le formule per determinare il montante in un
regime ad interesse composto, ossia:
M = C (1 + i)
n
15
Esercizio 2
Per costituire un capitale di 120000 euro tra dieci anni, si decide di effettuare dei
versamenti semestrali costanti posticipati per dieci anni. Sia i = 4% il tasso di interesse, o di
valutazione, annuo. Calcolare la rata R di costituzione del capitale.
Svolgimento
Dato che il tasso di valutazione è espresso su base annua mentre le rate sono semestrali,
calcoliamo il tasso semestrale, i 2
, equivalente al tasso annuo i = 4%.
i 2
= (1 + i)
1/
1/
La rata di costituzione si determina utilizzando la formula per il montante di una rendita:
M(T) = Rs n i
I versamenti sono semestrali per 10 anni, quindi, n = 10 2 = 20 versamenti, da cui:
120000 = Rs 20 1,98%
= R [(1,0198)
20
Un esempio palese di Ammortamento si ha quando un individuo A concede in prestito ad un individuo B
una data somma per un ammontare C. L’individuo B deve restituire ad A l’ammontare della somma C,
prestata, con aggiunta degli interessi alle scadenze prestabilite e calcolati al tasso i entro n anni.
La restituzione di C avviene rimborsando delle quote di capitale costanti o che possono variare nel tempo,
più gli interessi Ci sulla somma prestata. Le modalità in cui viene restituita la somma e gli interessi in un
arco ti tempo n va a stabilire il cd. Piano di ammortamento. L’interesse è corrisposto sempre con
pagamenti anticipati o posticipati, mentre il capitale C può anche essere corrisposto tutto alla fine del
periodo del prestito.
Un piano di ammortamento è di solito rappresentato tramite una tabella.
Un piano di ammortamento specifica i tempi e gli importi (le rate) attraverso i quali si realizza la
restituzione di un capitale C, congiuntamente alla corresponsione degli interessi. Le modalità di rimborso
definiscono un piano di ammortamento.
Definizione
Un piano di ammortamento si dice equo quando il valore attuale degli importi al tasso concordato i è
uguale al capitale C.
ି (௧ ೖ
ି ௧ బ
)
ୀଵ
Il capitale C è esattamente quello che genera gli importi R k
alle scadenze t
k
Siano c k
le quote di capitale rimborsate alla fine di ogni anno k = 1,…,n. Vale la seguente proprietà:
ୀଵ
Sia C
(k)
il capitale o debito residuo da restituire alla fine dell'anno k. Esso è tale che:
()
ୀଵ
Il Piano di Ammortamento al tasso i è rappresentato dalla tabella seguente:
dove alla fine di ogni anno il debito residuo sarà dato da:
Ovviamente, il capitale residuo alla fine dell'anno n sarà C
(n)
= 0 dato che il debito è stato interamente restituito.
Questo Piano di Ammortamento al tasso i è caratterizzato dal fatto che le rate o annualità sono costanti e
di valore R. Per prima cosa bisogna determinare l'importo della rata a partire dal capitale C prestato. La
determinazione della rata R deve essere tale per cui il valore attuale delle rate corrisposte dal debitore alla
fine di ogni anno, e per tutto il periodo del prestito, deve uguagliare il capitale prestato C.
Questo significa dover calcolare il Valore Attuale di una Rendita Annuale di Rata Costante R Posticipata
Immediata e di durata n anni, ossia: C = R[a n i
]
da cui, conoscendo C (il capitale prestato) si ricava il valore della rata: R = C/[a n i
]
Dato che le rate R rappresentano di fatto le annualità, che sono calcolate come somma delle quote capitali
e delle quote interessi, bisogna allora calcolare le quote capitali e le quote interessi.
Consideriamo l'ultima annualità, questa è data da: R = c n
+ C
(n-1)
i = c
n
n
i = c
n
(1 + i )
ovvero: c n
= R/(1 + i) = Rv.
Quest'ultima relazione permette di calcolare le quote capitali a partire dalla rata R. Infatti, in un generico
anno k, dato che i pagamenti ovvero le rate o le annualità sono tutte uguali, ossia l'annualità dell'anno k è
uguale a quella
dell'anno k + 1, risulta: R = c k
+ C
(k-1)
i = c k+
+ C
(k)
i
Dato che (vedi la tabella generica): C
(k-1)
= C
(k)
da cui C
(k)
= C
(k-1)
Dalla relazione precedente si ricava: R = c k
+ C
(k-1)
i = c k
+ (C
(k)
)i = c k+
+ C
(k)
i da cui:
c k
(1 + i ) = c k+
ovvero c k
= vc k+
, k = 1,…,n - 1
con v il fattore di attualizzazione tale che, in un regime ad interesse composto è pari a: v = 1/(1+i).
Allora, prese le due ultime relazioni si ricava: c n
= Rv, c n-
= c n
v = Rv
2
, … c 1
= Rv
n
In un Piano di Ammortamento Francese al tasso i la tabella riassuntiva è:
dove alla fine di ogni anno il debito residuo sarà dato da:
Esercizio: Si consideri il rimborso di un debito di importo pari a C = 6000 euro effettuato in n = 5 anni al
tasso i = 12,75% annuo, con rate (annualità) costanti. La tabella del piano di rimborso risulta:
Il è una forma di finanziamento mediante la quale un'azienda può acquisire beni strumentali e
servizi di cui non detiene la proprietà. Pertanto, la caratteristica di un contratto di Leasing è quella di
tenere separati la proprietà di un bene dal suo uso.
Definizione
Il Leasing è un contratto mediante il quale un soggetto (locatore) concede in uso un bene capitale contro il
pagamento di canoni a scadenze prefissate e prevede una opzione finale di acquisto.
- Leasing operativo quando si prevede un noleggio di beni strumentali di cui il locatore ne è anche il
produttore e fornisce servizi di assistenza;
- Leasing finanziario quando vi è la presenza di un intermediario il quale acquista il bene presso il
produttore e lo cede in locazione a colui che ne richiede l'uso.
Il Leasing finanziario può essere studiato come un particolare tipo di rendita. Sia:
- C il prezzo del bene;
2. P
r
il prezzo di riscatto del bene, pattuito in percentuale di C, da pagare al momento della scadenza del
contratto;
- j il tasso di interesse (o di valutazione);
- B l'anticipo in contanti versato dal locatario;
- a k
il canone dovuto alla scadenza t k
, con k = 1,…,n;
- T ≥ t n
il tempo in cui è possibile esercitare l'opzione di acquisto.
Il prezzo C del bene deve essere uguale al valore attuale del flusso dei pagamenti futuri, ossia:
I canoni di locazione possono essere stabiliti in base a:
