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FUNZIONI
Dati A e B insiemi di numeri reali, una FUNZIONE da A in B è una legge
che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B
A → DOMINIO/insieme
ƒ(A) → CODOMINIO
Ad ogni elemento , corrisponde tramite la funzione ƒ, l’elemento
Valgono le seguenti:
ƒ SURIETTIVA se , esiste almeno un t.c.
ƒ INIETTIVA se
Esempi
Non è iniettiva e
non è suriettiva
È iniettiva e
suriettiva
Non è iniettiva e
non è suriettiva
Considero e è la restrizione,
che risulta essere iniettiva e suriettiva
ƒ BIUNIVOCA se è sia SURIETTIVA sia INIETTIVA
Def: ƒ: A → B biunivoca
FUNZIONE INVERSA
è la funzione che ad ogni fa corrispondere l’unico t.c.
Esempio
La funzione è invertibile per
La sua inversa
Definita in
Def: ƒ si dice MONOTONA in un insieme A, se verifica una delle seguenti condizioni
ƒ è STRETTAMENTE CRESCENTE
ƒ è CRESCENTE
ƒ è STRETTAMENTE DECRESCENTE
ƒ è DECRESCENTE
CRITERIO DI INVERTIBILITÀ → ƒ è strettamente monotona, allora è anche invertibile
FUNZIONE LINEARE
m è il coefficiente angolare
Se m=0, risulta y=q costante
FUNZIONE POTENZA
definita
Strettamente crescente per , cioè
È invertibile e l’inversa è
S
: A^ B
y
=
f(x)
X E A^
y
= f(x)
- B
O KyeB X -Ay
= f(x)
f(A)
= B
O XXxX2t A
Xe + X
f(x)
f(xz)
·
· 8
: R
= *, R
= *
f(x)
= x^
g
:
xz
y = x
·
B
=
B
g(x)
= x^ .
hiBRh(x
y 1
.
②
(^1) h : [- :^ ] : Ed .
AdR A
A n
E tx
f
. B
y
= yf f(x)
= x (^) UveA
f(x)
= x2 X 20
f
: 0 ,
1
f(x)
= x
f
(x)
= x -
y
=VX
< >
[xeRx
=
0}
XXz ,
X2 ->^ A
② X-^
< X
& X^
<
Xz
O X
<
Xz
f(xz)f(Xz)
O X1Xzf(xz)
= f(Xz)
y
= wx + q (^) f(x)
= xm^ WxelR
n = (^2) =
2N= 1
X 0
yu
y
= q y
=Xw^02 Xy <
X
X
,XzM
< X
X = & M
mi y
x
f2(x)
=* x (^) = X^ ,
X (^) =
I
7
FUNZIONE ESPONENZIALE
a numero reale positivo, definita
Strettamente crescente Strettamente decrescente
Se a≠1, allora la funzione esponenziale è invertibile, la
funzione inversa è la FUNZIONE LOGARITMO
FUNZIONE LOGARITMO
Esempio:
Strettamente crescente Strettamente decrescente
Esempio:
FUNZIONE VALORE ASSOLUTO FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
È interessante vedere la combinazione di funzioni elementari.
definita Considerando la funzione:
FUNZIONE PARI
Simmetrica rispetto asse Y
FUNZIONE DISPARI
Simmetrica rispetto all’origine Esempi
Funzioni dispari
Funzione pari
Funzione pari, si disegna per
Si osserva che e dividendolo per x
Oss: E sarà compresa tra i due rami di iperboli per x>
Per ha lo stesso segno di
Non è definita per x=0. Cosa succede per x “vicino a zero”?
- Tende a zero
- Tende all’infinito
- Tende ad un valore intermedio
Una formulazione rigorosa del comportamento di una funzione
ƒ(x), per x “vicino” ad un un punto , in questo caso ,
è quello di considerare una generica successione che
converge ed ( è “vicino” ad se n è “grande”) e la
corrispondente successione costituita dai valori assunti
dalla funzione ƒ(x)
Se converge ad un numero (che è lo stesso ), allora si dice che ƒ(x) ammette limite uguale ad per
Si calcola:
È il limite notevole per le successioni, che sappiamo valere 1
Esempio
Il grafico di
f(x)
= ax^
f(x)
=
loga
X
kxeR
y
= loga
X a
= y
ax (^1 ) a Logax
yr y1^ loga
X
a >^1 OcaL as
Oca(
· I
>
1
·
> 'x 'x
y
= ex y
=
loge
X
M
XV
y
=/X) y
= (^) HUX ,
COSX · -IXI1-1ECOSX
x ,
+ X2 = /X
,
l +^ /Xz
Ex , xz
C · sel2X + Cos^ X^ = 1
f(x)
= seux ExeR
f(x)
= 8
X) x -
daf
X
> f(-
x)
=
s
. y = X
, y
= blu X
1
=
su
X (^) X = &
·
y
= CosX^ >
xo
y
= bellX
X
n
s
y
= Ex
E
>
X
, y
= blX sen X
X
1
Xo Xo^ = &
Xu
y
= -
E
· do
No (^) Xn Xo
π E
2
> Yu
t
yw
= f(xn)
UneN
yw
= f(xn)
Vwe N
yn
= f(xn)
L (^) VXm
Xo 2 X^ Xo
f(x)
=
su X sito S(xn)^ =lim^ se le^
e (^) com Xn'8 Xw #0 Un
1
Cina
f(xn) =Ci
EXn
1 Xn
e S
Ci
Xu
lin
x2+^
pf(x)
= lim^
eux = 1
Xe + A X
Esercizio
Utilizzando la definizione di limite, verificare che:
Bisogna verificare che
Quindi Quindi se
OPERAZIONI CON I LIMITI DI FUNZIONI
Il limite della somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni, è rispettivamente
uguale alla somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore è diverso da zero)
dei due limiti, purché non sia una delle forme indeterminate.
LIMITI NOTEVOLI
Valgono i limiti notevoli visti per le successioni In particolare:
In generale
Da cui si ricavano
Infatti
Infatti
LIMITI DI FUNZIONI COMPOSTE
Siano ƒ: x → y e ƒ: y → R due funzioni tali che e
Ed esiste tale che risulti per ogni dell’intervallo
Allora Si ha^ Segue che
Applicando il precedente risultato (^) Per le proprietà dei logaritmi da cui ponendo
Segue il LIMITE NOTEVOLE Si può scrivere anche^ 1+y=t
Si verifica che con la sostituzione
Si ottiene se anche
Quindi il limite è verificato dato che (^) per
FUNZIONI CONTINUE
Def: Una funzione ƒ(x) è continua in un punto se Cioè se il valore limite, per^ , è uguale al
valore che si ottiene calcolando la funzione nel punto
Una funzione è continua in un intervallo [a,b] se è continua in ogni punto
Se , si considera , se invece , si considera il limite sinistro
Ad esempio, si nota che e
Le funzioni sono funzioni continue per x=0 ed anche per ogni
Si dimostra anche che tutte le funzioni elementari sono continue.
Potrebbe esserci una discontinuità quando si h a un denominatore, come , che non è definita in x=
Esempio
TIPOLOGIE DI DISCONTINUITÀ
È continua per x≠0, ma non è continua se x=0 e presenta un SALTO
Sia ƒ(x) una funzione definita in A e un punto di A. Le discontinuità si classificano in questo modo.
DISCONTINUITÀ ELIMINABILE - “BUCO”
è un punto di discontinuità eliminabile se esiste il limite di ƒ in e risulta
Esempio
che non è definita in x=0, ma è
possibile PROLUNGARE per continuità
ƒ(x), mediante la funzione
DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE
ƒ(x) presenta in una discontinuità di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro di ƒ(x) in e si ha
Esempio
DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE
ƒ(x) presenta in una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti non esiste oppure è infinto
È possibile estendere la funzione
per continuità solo in x=0. Negli altri
punti, ci sono discontinuità di
seconda specie
Esempio
Esempi
FUNZIONE DI DIRICHLET
È discontinua in ogni punto (II
specie, non esistono limiti)
È discontinua in ogni punto, tranne nel punto x=
Per il teorema dei carabinieri ƒ(x) → 0
Si ottengono tre successioni Definite
Se, per qualche cn, risulta ƒ(cn)=0, si trova una radice e ci si ferma.
Altrimenti, per costruzione, risulta
Si vuole trovare la relazione tra an e bn. Si sa che, ad ogni iterazione, la lunghezza dell’intervallo [an,bn] si dimezza
Infatti: (^) Dopo n passi
Per costruzione, la successione an è crescente ed è^ limitata^ perché è contenuta in [a,b]
Quindi per il TEOREMA SULLE SUCCESSIONI MONOTONE an ammette limite finito (^) Sia tale limite
Da si ricava E per n → +∞
Per costruzione (^) Per le continuità
Dal teorema dell permanenza del segno,
come corollario
Se ƒ(x) è continua in e o
Il teorema dell’esistenza degli zeri è un risultato sulle funzioni continue che stabilisce l’esistenza di almeno un punto in cui la
funzione di annulla
La dimostrazione si basa nel metodo di BISEZIONE per il calcolo delle radici di un’equazione. È un metodo COSTRUTTIVO, oltre a dimostrare
l’esistenza, fornisce il metodo per calcolarla (poi si calcola numericamente)
an, bn,cn convergono a , sono quindi valori approssimati di
In particolare, i valori di an sono approssimazioni per difetto, quelli di bn sono approssimazioni per eccesso , cioè
e dato che , l’errore di approssimazione che si commette sostituendo con an oppure con bn è inferiore a
cn, invece è il punto i mezzo di [an,bn], per cui l’errore che si commette nell’approsimare con cn è inferiore a
ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEL METODO DI BISEZIONE PER IL CALCOLO DI ALCUNE CIFRE DECIMALI DEL NUMERO
(NON RAZIONALE) √
Il numero è soluzione
positiva dell’equazione
Si può applicare il metodo di bisezione alla funzione
in un intervallo [a,b], scegliendo ƒ(a)<0 e ƒ(b)>
Ad esempio, [a,b]=[0,4], essendo
ƒ(0)=-2<0 e ƒ(4)=16-2=14>
Oss: (^) Si poteva scegliere [0,2], oppure [1,2], oppure [0,100], … → In ogni caso le ipotesi del teorema dell’esistenza degli zeri sarebbero soddisfatti
Oss: (^) Scegliendo invece [-4,0], determineremmo approssimazioni per la soluzione negativa dell’equazione
Quindi
1° STEP
2° STEP
3° STEP
Quindi
Quindi
Quindi
Quindi è un numero reale che, in forma
decimale si scrive 1, …. dove la prima cifra
decimale è compresa tra 0 e 4
4° e 5° STEP
Eseguendo il calcolo si trova che
Oss: In realtà questi conti si assegnano al computer (in questo caso è sufficiente una calcolatrice)
Quante iterazioni si devono fare per calcolare, ad esempio, le prime due cifre decimali di?
La risposta si ottiene calcolando l’ampiezza dell’intervallo [an,bn]
Se an e bn hanno, esempio, le prime due cifre decimali
uguali, allora quelle sono le cifre decimali ANCHE di Abbiamo che
Nel caso considerato per trovo
dopo , cioè con 12 iterazioni, si ottengono an e bn con:
cioè an e bn hanno (approssimativamente) 2 cifre decimali uguali fra loro, che poi sono le stesse cifre decimali di
Dal teorema dell’esistenza degli zeri, segue il teorema:
PRIMO - TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI
Una funzione continua in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra ƒ(a) e ƒ(b)
Dim: Considerando il caso in cui
Bisogna provare che
Se , si può prendere e analogamente
se , si può prendere
Se , si considera la funzione
e calcolata in x=a e x=b
Applicando quindi il teorema dell’esistenza degli zeri alla funzione g(x)
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Sia ƒ(x) una funzione intinta in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora ƒ(x) assume minimo e massimo in [a,b]
Cioè esistono e in [a,b] che sono detti rispettivamente
punti di minimo e di massimo per ƒ(x) nell’intervallo [a,b]
I corrispondenti valori e
sono detti MINIMO e MASSIMO di ƒ(x) in [a,b]
Esempi
Consideriamo la funzione per x>
Se si considera l’intervallo (0,1], ƒ(x) ammette minimo m in x=1, ma non ammette massimo ( , risulta )
Se si considera l’intervallo [1,+∞), ƒ(x) ammette massimo in x=1, ma non ammette minimo (non esiste un valore x t.c. )
Importanza dell’ipotesi (funzione definita in un intervallo chiuso e limitato)
Considerando la funzione in [-1,1]
Assume minimo in x=0 e
massimo (M=1 in x=-1 e x=1)
Se si considera invece la funzione
Non assume minimo in [-1,1] perché assume valori positivi
vicino allo zero (g(x) → 0 per x →0) ma non assume il
valore 0 per alcun valore
Importanza dell’ipotesi (funzione continua)
Dim: Hp → funzione continua in un intervallo chiuso e limitato
Si pone esiste, potrebbe essere M<+∞ o M=+∞ Si verifica che
Se M=+∞, per le proprietà dell’estremo superiore (^) Per il teorema di confronto
Se M<+∞, sempre per le proprietà dell’estremo superiore quindi^ per il T. dei Carabinieri
Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, da (limitata), esiste ma estratta convergente ad un punto
Ma poiché la funzione è continua (^) Allora Da cui
Quindi si è dimostrato che M è un massimo perchè è un massimo CONSEGUENZA: la funzione è limitata
dal massimo e minimo Ora si può dare una nuova formulazione del teorema di esistenza dei valori intermedi
SECONDO - TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI
Una funzione continua in un intervallo [a,b] ammette tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo
Tra i risultati sulle funzioni continue, si dimostra come applicazione, anche il seguente:
CRITERIO DI INVERTIBILITÁ → una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo [a,b] è invertibile in tale intervallo
