Il Calcolo Combinatorio | Appunti di Matematica

Calcolo Combinatorio

INTRODUZIONE AL CALCOLO COMBINATORIO

Il calcolo combinatorio è la parte della matematica che ha che oggetto il calcolo dei

modi con i quali possono essere raggruppati oppure ordinati, in base a determinate

regole, gli elementi di un insieme finito.

“Quante parole di k caratteri posso costruire un alfabeto di n simboli distinti?”

1. È importante l’ordine dei caratteri?

2. Sono consentite ripetizioni dei caratteri oppure no?

Il principio fondamentale del calcolo combinatorio

Se un oggetto è univocamente individuato da una sequenza di n scelte successive,

tali che vi siano k1 possibilità per la prima scelta, k2 per la seconda, …, kn per la n-

esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte è il prodotto

delle opzioni:

k1 x k2 x … x kn

DISPOSIZIONI E PERMUTAZIONI

Disposizioni semplici e permutazioni

Consideriamo il seguente problema:

Ad una gara a cui partecipano 10 concorrenti, quante sono le possibili classifiche

dei primi primi tre?

-Per il primo posto possiamo scegliere tra 10 possibilità;

-Per il secondo posto possiamo scegliere tra 9 possibilità;

-Per il terzo posto possiamo scegliere tra 8 possibilità.

Il numero complessivo di classifiche possibili, per il principio fondamentale del

calcolo combinatorio, è quindi:

10 x 9 x 8 (il prodotto) = 720 possibilità

Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione semplice degli oggetti n in k posti, con

k ≤ n, ogni sequenza ordinata di k oggetti scelti tra quelli assegnati con il vincolo di

non ripetere gli oggetti.

*un raggruppamento differisce dall’altro per l’oggetto che ci metto o per

l’ordine.

Dn,k = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) prodotto di fattori decrescenti

Nel caso articolare in cui n=k, una disposizione di n oggetti in k posti equivale a un

ordinamento degli n oggetti e viene chiamata permutazione.

Si chiama permutazione di n oggetti distinti ogni ordinamento degli n oggetti dati

(non ripetuti).

*in cui i raggruppamenti o le sequenze vengono formati tenendo conto solo

dell’ordine.

Pn = n! = Dn,n = n(n-1)(n-2)…3x2x1 *n! Si chiama fattoriale (n ∈ N e non è mai

nullo)

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Calcolo Combinatorio

INTRODUZIONE AL CALCOLO COMBINATORIO

Il calcolo combinatorio è la parte della matematica che ha che oggetto il calcolo dei modi con i quali possono essere raggruppati oppure ordinati, in base a determinate regole, gli elementi di un insieme finito. “Quante parole di k caratteri posso costruire un alfabeto di n simboli distinti?”

È importante l’ ordine dei caratteri?
Sono consentite ripetizioni dei caratteri oppure no? Il principio fondamentale del calcolo combinatorio Se un oggetto è univocamente individuato da una sequenza di n scelte successive, tali che vi siano k 1 possibilità per la prima scelta, k 2 per la seconda, …, kn per la n- esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte è il prodotto delle opzioni: k 1 x k 2 x … x kn

DISPOSIZIONI E PERMUTAZIONI

Disposizioni semplici e permutazioni Consideriamo il seguente problema: Ad una gara a cui partecipano 10 concorrenti, quante sono le possibili classifiche dei primi primi tre?

(^) Per il primo posto possiamo scegliere tra 10 possibilità;
(^) Per il secondo posto possiamo scegliere tra 9 possibilità;
(^) Per il terzo posto possiamo scegliere tra 8 possibilità. Il numero complessivo di classifiche possibili, per il principio fondamentale del calcolo combinatorio, è quindi: 10 x 9 x 8 (il prodotto) = 720 possibilità Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione semplice degli oggetti n in k posti, con k ≤ n, ogni sequenza ordinata di k oggetti scelti tra quelli assegnati con il vincolo di non ripetere gli oggetti. _un raggruppamento differisce dall’altro per l’oggetto che ci metto o per l’ordine._* Dn,k = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) prodotto di fattori decrescenti Nel caso articolare in cui n=k, una disposizione di n oggetti in k posti equivale a un ordinamento degli n oggetti e viene chiamata permutazione. Si chiama permutazione di n oggetti distinti ogni ordinamento degli n oggetti dati (non ripetuti). **in cui i raggruppamenti o le sequenze vengono formati tenendo conto solo dell’ordine. Pn = n! = Dn,n = n(n-1)(n-2)…3x2x1 n! Si chiama fattoriale (n ∈ N e non è mai nullo)

Disposizioni con ripetizioni Consideriamo il seguente problema: In quanti modi diversi è possibile riempire una colonna del totocalcio? Ogni colonna è costituita da 14 caselle, ciascuna delle quali deve essere riempita con uno dei tre simboli 1,2 o X.

(^) Per la prima casella abbiamo 3 possibilità di scelta;
(^) Per la seconda casella possiamo ancora scegliere tra 3 possibilità;
(^) E così via fino alla quattordicesima casella. Complessivamente ogni colonna può essere riempita da: 3 x 3 x … x 3 x 3 = 3^14 modi diversi La differenza qui è che gli oggetti possono scelti più di una volta, ossia possono essere ripetuti. Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione con ripetizione, degli n oggetti in k posti, con k≥n ogni sequenza ordinata di k oggetti, scelti tra quelli assegnati ammettendo che sia possibile ripeterli. Dn,k = n x n x … x n x n = nk Permutazioni con ripetizione* Consideriamo il seguente problema: Quanti sono gli anagrammi della parola <>? Nella parola mamma la “m” è ripetuta 3 volte e la “a” è ripetuta 2 volte. x = 5!/3!x2! Si chiama permutazione con ripetizione ogni permutazione di n oggetti non distinti tra loro. Dati soggetti, di cui a 1 uguali tra loro, a 2 uguali tra loro (e distinti dai precedenti); ak uguali tra loro (e distinti dai precedenti) con a 1 + a 2 + … + ak = n, le permutazioni distinte di questi n oggetti sono: **n!

a 1! a 2 !,….ak!**

COMBINAZIONI

Combinazioni semplici Consideriamo il seguente problema: Gioco al lotto i cinque numeri: 1, 2, 3, 4, 5. In quanti modi posso fare terno? Bisogna determinare quanti terni è possibile costruire utilizzando i cinque numeri giocati: 1, 2, 3, 4, 5. I terni devono considerarsi non ordinati e in essi non possono esserci numeri ripetuti: per esempio, alcuni possibili terni sono {1,2,3}, {3,4,5}… Dati n oggetti distinti, si chiama combinazione degli n oggetti di classe k, ogni raggruppamento non ordinato di k oggetti scelti tra quelli assegnati, con il vincolo di non ripetere gli oggetti.

IL TEOREMA DEL BINOMIO DI NEWTON

Lo sviluppo della potenza del binomio con il triangolo di Tartaglia Punti fondamentali sul triangolo di Tartaglia:

Le prime righe del triangolo di Tartaglia sono riportate qui sotto
Lo sviluppo della potenza (a+b)n^ può essere seguito secondo la seguente regala che chiede la costruzione della n-esima riga del triangolo di Tartaglia. Lo sviluppo di (a+b)n^ è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a (a partire da quella di grado n) e crescenti di b (a partire da quello di grado di grado 0). I cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo di Tartaglia. ESEMPIO (a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 (a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5 Lo sviluppo della potenza del binomio secondo la formula di Newton Il metodo del triangolo di Tartaglia è efficiente per piccoli valori di n, diventa scomodo quando i valori sono più alti. Quindi si può introdurre un nuovo metodo che permette di superare questo inconveniente. a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 Ciascun termine dello sviluppo di (a+b)^3 si ottiene dalla somma algebrica dei prodotti ottenuti scegliendo o a o b da ciascuno dei tre fattori: (a+b)(a+b)(a+b)

E moltiplicando tra loro le variabili scelte.

Il coefficiente di a^3 è 1 perché è ottenuto solo dal prodotto di aaa.
Il coefficiente di a^2 b è 3 perché si ottiene da tre prodotti aab, aba e baa. In poche parole i modi in cui possiamo ottenere a2b sono tanti quanti le permutazioni di 3 lettere, di cui 2 uguali ad a e 1 uguale a b: 3! / 2! x 1! Questo ragionamento può essere generalizzato: lo sviluppo di (a+b)n ha come termini monomi di grado n, la cui parte letterale è della forma an-kbk, con k=0, 1, …, n: il coefficiente del monomio an-kbk^ è uguale al numero delle possibili permutazioni di n lettere, di cui n - k uguali a b, quindi è uguale a: n! / (n-k)!k! = (“n su k”) Sia n un numero intero positivo; allora per ogni a,b ∈ R:

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