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Codici di Hamming
Il codice di Hamming fornisce una procedura sistema- tica per generare codici ridondanti correttivi, tali che sia palese l’indicazione degli eventuali bit errati nella parola codice.
Verra considerato solo il caso di codice di Hamming autocorrettivo per bit singolo (in grado cioe di correg- gere un eventuale errore su un solo bit).
Siano: m bit di parola r bit di ridondanza n = m + r bit di parola codice
Ognuna dell 2m^ parole legali, ha n parole codice errate a distanza di Hamming 1, ottenute cambiando un bit alla volta nella parola originaria.
Ognuna dell 2m^ parole legali richiede (n + 1) configu- razioni di bit dedicate. Per cui deve essere:
2 n^ ≥ 2 m^ (n + 1) 2 m^ · 2 r^ ≥ 2 m^ (m + r + 1) 2 r^ ≥ (m + r + 1)
Codice di Hamming Autocorrettivo (4+3)
Con m = 4 si devono avere r = 3 bit di ridondanza.
Si dispongono gli m bit della parola e gli r bit di ridon- danza (o di controllo) nel seguente modo:
m = 4 bit parola ↑ ↑ ↑ ↑ 1 2 3 4 5 6 7 ↓ ↓ ↓ r = 3 bit controllo
Si dispongono i bit di controllo nelle posizioni cor- rispondenti a potenze di 2 (1, 2, 4, 8,.. .) a partire dalla pi`u significativa.
Ad ogni bit di controllo viene assegnato un valore di parit`a sulle sequenze di bit individuate come dalla seguente tabella:
Codice di Hamming Autocorrettivo (4+3)
La rilevazione e correzione di un eventuale bit errato avviene controllando il valore di parit`a dei bit di con- trollo.
Se il valore di parita del bit di controlloe corretto si pone a zero il valore nella tabella precedente; se non `e corretto si pone a 1 il valore.
ESEMPIO:
Se si riscontra errata la parita nei bit r 1 e r 3 , il bit erratoe b = 5. Infatti:
r 3 r 2 r 1 b 1 0 1 5
Se si riscontra errata la parita nei bit r 1 e r 2 , il bit erratoe b = 3. Infatti:
r 3 r 2 r 1 b 0 1 1 3
Codice di Hamming Autocorrettivo (4+3)
ESEMPIO: Si determini il codice di Hamming per la parola su m = 4 bit:
1 0 1 1
Si mettano i bit assegnati nelle posizioni corrette:
r 1 r 2 m 1 r 3 m 2 m 3 m 4
1 2 3 4 5 6 7
Deve essere:
− r 1 = 0 perche sia pari la sequenza 1, 3, 5, 7. − r 2 = 1 perche sia pari la sequenza 2, 3, 6, 7. − r 3 = 0 perch`e sia pari la sequenza 4, 5, 6, 7.
Il codice di Hamming completo per la parola data risulta: r 1 r 2 m 1 r 3 m 2 m 3 m 4
1 2 3 4 5 6 7
