Interpolazione di Lagrange, Appunti di Calcolo Numerico

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Sfegatata

• NON di (^) interpolazione : Pm ( Xi (^) ) ( prg 89 )

Xi e^ [ad^ ] i. o.... , n →^ NON

D= (^) to <^ Xi. (^)..^ L^ Xn =^6

Xiii -^ Xi^ =^ tu^ ti^ =^0 ,... in -

Puoi =^ È^ % Lin^ =^ È^ %^ È! Pnlxil = È Yr (^) È : = In - % mai

Pnlxi ) = Yi

° UNICITÀ

suppongo che^3 piu^

• (^) PIÙ) = Y: - y : = o i = (^) o.... in In lN si annida in (^) un (^) puti Ink) è (^) in (^) primis tutti per il^ torna^ fmhinh^ del^ caldo etichetta, _ punt = TI!!! (^) %. ix.xii (^) invio : Gerard

× e^ fa^ ,^ lo^ ]

dati (^) nei nodi (^) enigmisti

• NON (^) DI CHEBYSNEV (^) pag 96 )^ →^ indi^ utilizzati^ per citare^ il^ fenomeno di (^) Renga nn (^) opprime distribuzioni di nodi. ×: =^ ¥^ +^ È^ ii^ dna è =^ - era (^) li atb 2- ←^ O

a ←^ -

f 1

pm ( x ) = Lo +^ di X 1-^ da X^ ' t ... -1 In X^ "

POLYFIT →^ CREA^ approssimazione^ POLINOMIALE^ DEI^ dati

• INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE (^) 20/11/ Pnlx) :^ Pu (^) (x ) = % stati (^) un nodi distinti (^) xi (^) per i = o (^) ,... in →^ htt coppie e (^) yi valori da^ intendere

Xo <^ Xe l^... L Xn e I

Quando i nodi sono distinti allora :

Pu (^) lN esiste ed (^) è mica

→ Basi di LAGRANGE :

tini :^ siasi = 1 :^ :

→ DATI UH NON ERVISPAZIATI , non è detto CHE ALL'AUMENTARE del NUMERO di nodi

L' approssimazione dei dati o della funzione MIGLIORI

Pnlx) a^ fin dove (^) yi = fuit

→ casi :

1) ( Xi , Yi ) → punti assegnati

2. lei (^) , fuit )

→ perori DIPENDE DA COME sono disposti i nodi

⑨ (^) funzione di RVNOE : (^) fa, = È (^) XE f- (^) 5,5] introduco nodi di^ CNEBYSNEV (non farvi spaziati (^) ) →^ più sensi aohi ESTREMI

⑨ (^) voglio rntsireilpshhmir (^) intorpidimenti Laguna rhe (^) integra la (^) farina nei seguenti nodi^ : Xi e { 0 , È^ ,^1 } →^ non 10 f- (X^ )^ =^ X^ ? - sina.IE →^ grado^ DEL^ POLINOMIO^ INTERPOLATORE^ :^2 RIN =^ È (^) tai , In (^) due (^) fai = feat = I +^ io^.^ E^ =

μ, , μ, μ, μ, passare {

IL POLINOMIO : μ,^ =^ ,^ +^ ,^ +^ § (^) .gg Pat = da '

tbxxc → scrivo polinomio così e RISOLVO SISTEMA LINEARE :

tuit e II. I. È } incognite = c = ¥ t

t

!:b .

:* : "^

÷ ;^ ;^ l'Ill!!!!

fatti) =^ attore = È se avremo^ nodi^ aumentano^ dimensioni Pntlx (^) ) = a. taxi (^). (^).. tant" ✓ =^1 Xo^... Xo " → matrice (^) di VANDER MONDE ( TENDE Ad essere MALCONDIZIONATA) ! (^). : i 1 Xn.. (^). Xn" → (^) colonne tendono A DIVENTARE (^) LINEAMENTI INDIPENDENTI

→ SPLINE CUBICHE : (^) → (^) Allora introduco LE spine (^) CUBICHE

ht 1 Modi distinti xi

Ii = [Xi (^) , Xiii (^) ] → (^) INTERVALLO istriani su Ii (^) in (^) psliunir di (^) grado 3 che (^) interposta lxs (^) , fusi ) SPLINE (^) CUBICA Ss k) : (^53) è derivabile (^) in tutti (^) i nodi due volte 1 SÌ^ (Xo^ )^ =^ o^ e^ S "

s (^ An^ )^ =^ o^ →^ QUESTE^ condizioni^ servono^ PERCHE^ ALTRIMENTI^ NON ho^ sufficienti

condizioni PER CALCOLARE (^) I COEFFICIENTI → istruzione MAMAB : Vq = Interpol (^ ×^ , (^4) , plot) →^ calata^ i^ valori^ DELLA^ funzione^ INTERPOHATRICE^ NEI^ PUNTI^ Xphot

• MINIMI QUADRATI (^) LINEARI → UTILIZZO : tanti Anti -

coppie (^ Xiii^ )^ per i^ =^1.^.^.^ in^ →^ Morante^ M^ »^ n

ÀCN (^) approssima i divi^ Nin È^ ' À" " " → (^) minimizza rispetto Ad un (^) vettore as dj =D^.^.^. N ÀK)^ =^ §. 2 , × ' →

voglio costruire^ un POLINOMIO^ CHE^ approssima^ I^ DATI^ yi NEL

senso DEI^ MINIMI Quadrati Nei (^) coefficienti incogniti vi. È^ È l^ a. x:^ - %) ' as { (^) ( Easxi - %) ' -1 (^) ( (^)? asxi-y.tt (^)... + (^) taxi - vini 07 oa,

e TI Z = Io

ì se (^) %:"^ = È È. %.IE?asxis-iiI Perchè sorta di Quadrati 07cal in oar.^ =^ siete^ asx:^ - y ;)^ % .li?asxiy--E.?asxi-yi)x i =^1 :

07 (x. a) m Definita^ È oao È^ (^ Àlxi^ , do^ , ai^ )^ -^ Yi^ )^ -^1 = (^)? ormai (^) { (^) si c) Io (^) in ltlxi^ , a.^ , ai ) - ti )^ ti m RETTA { telai di^ "^ - f!!!! (^) a.

m I ,^ a^.^ →^ reazioni^ in^ rincorre

( (^) a. Xi t anti - Yi Xi (^) ) =^ o rovinio per Xi su { È a.^ +^ È a. x: =^ Èyi m z ^ € a. Xi t (^) È arte^ = È Yi ti^ →^ Xi^ e^ Yi sono^ VAAN^ Assegnati^ non { Ma (^). + di^ ÈX: = Èyi →^ sistema lineare m a. (^)? ti + a. (^) ÈXI = È Yi Xi → (^) rain in (^) fama entriate (^) : simmetrica su B (^) ( %) =^ È^ yi D= (^) μ E. xi (^) → (^) sistema di EAV Azioni

m NORMALI

E. (^) xiy: Èxi Èx: B e^ μ '"^ "trenta, in (^) grado pstivmiv (^) approssimate

1... X "

B =^ ÀA^ Asma^ è^ la^ inizia A^ =^ :^ :^ n

1 Xm

dm a Annan

À (^ Xi^ , a) =^ TÉ^ da^ putti )^ →^ se (^) È non è^ polinomio § K Xi (^) NEL CASO DEL POLINOMIO caso generico :^ dove (^) olnlx ) è un (^) finire regolare lei (^) , sinx (^).. (^). ) him I^ ix. ai fetenti in B = E. qui )^ È^ qui)^ A- 1 È (^) qui) È (^) kili (^) qui e (^) peni B. (^) e Rinnovate )