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interpo
I a z i 0 n c
problema di
interpolazione
dati una serie di
punti
(xi,fi) con i = 0.1...R ntipantitrovare
un polinomio
di
grado
a tale che
Pr(Xi)= fi
con Xivalorisu asse x chiamati nodi
teorema diWeierstrass
my
exp(x)
se f(x) é continua in la.b)
per qualsiasi
o esiste un polinomio
di
grado
n tale che max) f(x)-Pn(x)) < con xc[a.b)
:
un polinomio che differisca per una quantità
minore di a
-- !
i
X
a
b
metodo diretto per
la ricerca del
polinomio
interpolante
esempio:
trovare parabola che interpola:
tre
punti(Xo,fo), (X., f.), (Xc, fz)
h
y
= ax
bx
c
foraxotboth
sistema lineare
con
tre
incognite
(a.b.
(f
=ax,
bx, + c
Xo? XO
f2 =aX + bxx + c
i...
(i)(l
X,
pu(X) =
do+a.x+a2x+ ...
anxr = aix"
pr(Xo)
=ao+a.Xo+azXot ... anXo" =
fo
pn(X,)
=Gota,Xi+AzX,+... AnX, = f,
pn(Xn)
=
AotAXn+AeXnt ...
AnXn =fr
e matrice
altrettanto
grande
->
INTERPOLAZIONEdi LAGRANGE
l'insieme
dei polinomi
di
grado in
informa
uno spazio
rettoriale didieu nte che avràuna base - la base monomia = (e,
Xix", ...
x4}
·raeratcludano
-l'interpolazione
di
lagrange
evita la soluzione diun sistema lineare levita
grandi
matrici) e usa una base diversa da
quella
monomia
ya
y,---
82
nodi (n+1) =
2
I
grado
= 1
xy, -x
Xoy,
yo----
82
I
cerchiamo una retta che passi per
i
nodi
o
y
-yo
o
y
=
Xoy
yo
y
= -
I X, - Xo
X ,
- XO
i
· 1
x
polin.
do
y
=
yxy(x
y
=
yo
y'
Si
Polin.
(t)
y
=
y0Lo(x) +y,L.(x)
Loe), sono polinomi di
grado
2 (o(Xo)= 2 (0(X,) = 0
↓
polinomi
di
Lagrange
(1(Xo) = 0 (1(X) = 1
(Xi,
fil
questa
base vale in un nudo e negli
altri nodi
base diun polinomio
e di
Lagrange (x
x
Prix -
Efficia
S Li(x) =
(X-Xo)
(X-x.) ... (X-Xi-.) (X-Xin ... (X-Xn)
(i(x5)
=
Siz
=
{ s
--
(Xi-xol(Xi-X. ... (Xi-Xin)(Xi-Xie
...(Xi-Xn)
(xi-x
5
= 1
sufficientmentali
usando
lagrange
o il metodo diretto siarriva allo stesso risultato
perché
il
polinomio
che
interpola
èl'unico
analisi dell'errore
F(x) =f(x)
- PN(x) - kw(x) conw(x) = (x-
xi) polinomio
di
gradon
d
costante
Sia f(x),
N+2 volte differenziabile allora xe
[Xo.
Xn)
15 e
[Xo. Xn] tale
che errore (x) =f(x)-PNCI)
wcxs
l'errore èun polinomio
di
gradon
esempio:
(Xo,
yol
lo(x) =
YY" xa
(X,,
y,
(X2,yz)
(X3,y3)
3
Ps(n) =
Ey:(i(x)
in
inte
13 (x) -
*"isYes
->
se aumento il
grado ottengo
sempre un'approssimazione
migliore quindi
l'errore
cala
problema:
l'errore
globalmente
può aumentare
f(x) =
5x
controesempio
di
Runge
finora gli
Xi erano
equispaziati quindi
la scelta deinudiinfluisce sull'errore ->inodidi
Chebyscher
sono xi=
cos
(II)
exiente ipuntinon sono
piùequispaziati
ma si
"ammassano,
in certe parti
Lunedi 27
marzo
Interpolazione con spline cubica
su
ogni
intervallo crea
polinomi
di
grado
sottuintervallo
·
partizione
di
[a,b] a
= xo(X,(X2 c...(Xn(Xr =
b
aiItsit, b
n +
1 punti, a
intervalli
·
cerchiaro S(x) che interpola
i
valorif(xi) tale che S(Xil-f(xi) con le condizioni che
s(x), six) es"(X) siano
continue,amidoctayticali
man un
in un
intervallo
(no
[Xi, Xitz) il polinomic
↑
deve essere continuo
s(x) e
una cubica
in
ogni
sotto intervallo I I
A
x es b
↓
si ottiene in polinomio a tratti
->
introduciamo una misura della curvatura diuna funzione
si
introduce lIf=(cr"xPdx conxetabl funzione che soddisfa le pr. sopra
dette
grandezza globale dell'integrale
che indica curvatura diun
punto
-è una norma?
prendiamo
v vettore e assumiof lo spazio
vettoriale delle funzioni
IvIl >0 ->lvl = 0 se V = 0
Ilfll
se é una vetta
ha derivata seconda nulla essendo
di
grado
1
quindianche se nun
é
nulla,
f" si annulla = seminora
- 111811=1AII211 vale
eX.
f(x) = x
2
f(x) =2x f(x) = 2 x e [0,2]
I2_)
adx=
teorema:la
spleen
cubica S(x) soddisfa
IIS (x)Il= 11f(x)I
se
una delle
sequenti
condizioni esoddisfatta bs"(a)
=0,s"(b) = 0 per cui
si ottiene la curvatura più
piccola possibile
rispetto
a
qualunque
altra funzione
S(a)
f(a),S(b)
=
f(b)
con a eb estremidell'intervallo
- CALCOLO dei Minit mit Mitt
Mita-
it
fit
-> per
trovare Mi dato che coinvolge
Mini e Mitz
quindi
si tratta diun sistema
lineare
tridiagonale
(compaiono, oltre a Mi,
il suo elemento
più
vicino
da dx e
sx)
MOMENTI
I
non ci sono esponenti -
1
esempio:
n = 7 punti
↓Sotwinterra"e
n - 2
7 -2 sottointervalli
impongo
condizionial
contorno:spline naturale impone Mo=Mn = 0 perché
altrimenti
avreiproblemi
di continuità
sugli
estremi
spline
vincolata s'(a)
= f(a) e si(b)
--
f(b)
impone
Mo+Mih=fo
S
Man
Mn=
f(b) - Ente
incognite
Mo e Ma
In
per
trovare spline naturale:
- determinare:momenti
i
Minit
hit Mitht Mita-iti
considerando le condizioni al contorno per
cuiM(a) =
M(b) =
0
- risolvere:S(x) =
fi-Mi+(f-
(Mitz
-Mi))
(x- xi)
Mix
Mine
per
ogni
intervallo xe [xi, Xit.)
quindi
si calcola S(x) per
tutti;sotto intervalli
- determinare s'(N) e 3"(x) so
ogni
sottointervallo
4. verificare S"(a)
= 3"(b)
= 0
!!! Gi =xitz-X:ampiezza sotto intervallo
->
sistema tridiagonale
Ax=b
7
AGX6:
the to
0 0 Mi -
problema
globale
che sisuddivide in sottointervalliin cui sicalcula la
spline per poi
mirli e ottenere cosi un'unica curva.
I s
0 ⑧ Mz
0
the
0 0 M
0 Ma
0 0 M
·
wish
to
re
