Interpolazione, Appunti di Metodi Numerici

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INTERPOLAZIONE

Francesca Pelosi

Dipartimento di Matematica, Universit `

a di Roma “Tor Vergata”

CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE

http://www.mat.uniroma2.it/

∼

pelosi/

INTERPOLAZIONE – p.1/

INTERPOLAZIONE

Nella pratica si presentano spesso i seguenti problemi:

(i)

da misure sperimentali sono state ricavate le coppie di valori (

x

i

, f

i

, i

,... , n

che esprimono un campionamento di un fenomeno

fisico. Supponendo tali valori esatti si vuole conoscere il valore

y

f

x

per

x

x

i

e quindi ottenere una funzione che rappresenti il fenomeno.

Es: si può misurare la temperatura corporea di un malato in vari periodi dellagiornata e desiderare una stima della temperatura in funzione del tempo

T

t

(ii)

Si ha una funzione estremamente complicata (

f

x

e

x

√

1+

∫

t

0

sinh(1+

|

x

|

)

...

), il

cui calcolo richiede un elevato tempo macchina

si tabula la funzione in un

prefissato numero di punti ed si approssima mediante

interpolazione

In entrambi i casi, si suppone che i dati appartengano ad una funzione chenon presenta difficoltà di calcolo (

polinomiale o razionale

) e la si utilizza per

determinare i valori cercati

INTERPOLAZIONE – p.2/

INTERPOLAZIONE

La scelta dello spazio di funzioni

S

cade su

spazi lineari a dimensione finita (

n

si può fissare una base

φ

j

x

, j

,... , n

ed esprimere

g

x

S

come

g

x

n

j

=

a

j

φ

j

x

trovare la funzione interpolante

g

S

equivale a trovare

a

0

, a

1

,... , a

n

tali che

g

x

i

nj

=

a

j

φ

j

x

i

f

i

i

,... , n

a

0

φ

0

x

0

a

1

φ

1

x

0

a

n

φ

n

x

0

f

0

a

0

φ

0

x

1

a

1

φ

1

x

1

a

n

φ

n

x

1

f

1

a

0

φ

0

x

n

a

1

φ

1

x

n

a

n

φ

n

x

n

f

n

G

φ

0

x

0

φ

1

x

0

φ

n

x

0

φ

0

x

1

φ

1

x

1

φ

n

x

1

φ

0

x

n

φ

1

x

n

φ

n

x

n

Matrice di Gram

La scelta dello spazio di funzioni

S

dipende dalle applicazioni ed è molto importante:

interpolazione polinomiale:

g

x

nk

=

a

k

x

k

interpolazione trigonometrica:

g

x

a

0

a

1

cos

x

b

1

sin

x

interpolazione spline

INTERPOLAZIONE – p.4/

INTERPOLAZIONE POLINOMIALE

S

= I

P

n

φ

j

x

x

j

j

,... , n

g

x

p

x

a

0

a

1

x

a

n

x

n

si vuol determinare un polinomio di grado minore o uguale a

n

p

x

I

P

n

tale che

p

x

i

n

∑ j

=

a

j

x

j i

f

i

i

,... , n

ovvero

a

0

a

1

x

0

a

2

x

20

a

n

x

n 0

f

0

a

0

a

1

x

1

a

2

x

21

a

n

x

n 1

f

1

a

0

a

1

x

n

a

2

x

2 n

a

n

x

nn

f

n

Il problema consiste nel risolvere un sistema lineare nelle incognite

a

0

, a

1

,... , a

n

INTERPOLAZIONE – p.5/

INTERPOLAZIONE POLINOMIALE

La situazione ottimale si ha per

G

I

a

0

...

a

n

f

0

...

f

n

a

0

f

0

a

n

f

n

Ovvero, occorrono

n

funzioni

`

(

n

)

0

x

, `

(

n

)

1

x

,... , `

(

n

)

n

x

tali che:

`

(

n

)

j

x

I

P

n

lineramente indipendenti

`

(

n

)

j

x

i

δ

ij

i

j

i

j

ESEMPIO:

n

, si devono costruire 3 funzioni lin. indip.

`

(2) 0

x

`

(2) 1

x

`

(2) 2

x

IP

2

t.c.

`

(2) 0

x

0

`

(2) 0

x

1

`

(2) 0

x

2

`

(2) 1

x

0

`

(2) 1

x

1

`

(2) 1

x

2

`

(2) 2

x

0

`

(2) 2

x

1

`

(2) 2

x

2

x

0

x

2

x

1

1

INTERPOLAZIONE – p.7/

Polinomio interpolante di LAGRANGE

In generale funzioni di questo tipo assumono la forma:

`

(

n

)

i

x

n

j

=

j

6 =

i

x

x

j

n

j

=

j

6

i

x

i

x

j

i

,... , n

funzioni fondamentali

di Lagrange

Si verifica facilmente che i polinomi

`

(

n

)

i

di grado

n

soddisfano

`

(

n

)

j

x

i

δ

ij

e il

polinomio di grado

n

interpolante

x

i

, f

i

, i

,... , n

assume la forma:

L

n

x

f

f

0

`

(

n

)

0

x

f

1

`

(

n

)

1

x

f

n

`

(

n

)

n

x

polinomio interpolante

di Lagrange

Essendo

x

i

x

j

per

i

j

, tale polinomio esiste sempre ed è univocamente

determinato. Le funzioni fondamentali

`

(

n

)

i

dipendono esclusivamente dai punti

x

i

punti

fondamentali

), pertanto risultano univocamente determinate una volta fissati i

punti

x

i

INTERPOLAZIONE – p.8/

Polinomio interpolante di LAGRANGE

Il polinomio interpolante di Lagrange presenta difficoltà di applicazione se sivogliono aumentare le informazioni su

f

x

ovvero il numero di coppie

x

i

, f

i

Poichè le funzioni fondamentali

`

(

n

)

i

dipendono da

tutti

i punti

x

i

l’inserimento di un nuovo punto obbliga a ricostruire ex-novo tutte le funzioni

fondamentali

ESEMPIO:

Se nell’esempio di prima si volesse aggiungere un nuovo punto:

x

3

, f

3

si ha

`

(3) 0

x

x

x

x

x

3

x

2

x

`

(3) 1

x

x

x

x

x

3

x

2

x

`

(3) 2

x

x

x

x

x

3

x

2

x

`

(3) 3

x

x

x

x

x

3

x

L

3

x

f

x

3

x

2

x

x

3

x

2

x

x

3

x

2

x

x

3

x

−

−0.

0

1

2

−1.

−

−0.

0

1

2

3

INTERPOLAZIONE – p.10/

Polinomio interpolante di LAGRANGE

Conviene esprimere in una forma diversa il polinomio interpolante, in modo da poteraggiungere dei punti senza modificare i calcoli precedenti.Sia

L

n

x

f

il polinomio di grado

n

interpolante

x

i

, f

i

, i

,... , n

supponiamo di voler aggiungere la nuova coppia

x

n

, f

n

, si vuol ottenere

L

n

x

f

I

P

n

L

n

x

i

f

f

i

i

,... , n,

n

L

n

x

f

L

n

x

f

qualcosa

qualcosa

deve:

essere un polinomio di grado

n

assumere valore zero nei

vecchi

punti di interpolazione:

qualcosa

x

i

, i

,... , n

si esprime

qualcosa

C

n

ω

n

x

C

n

x

x

0

x

x

1

x

x

n

, da cui

L

n

x

f

L

n

x

f

C

n

ω

n

x

Da

L

n

x

n

f

f

n

si ottiene:

C

n

f

n

− L

n

x

n

f

ω

n

x

n

INTERPOLAZIONE – p.11/

Polinomio interpolante di NEWTON

C

n

ω

n

x

L

n

x

f

− L

n

x

f

: permette di inserire la nuova coppia di valori

x

n

, f

n

utilizzando

L

n

x

f

. Se si hanno più coppie da inserire:

L

n

x

f

L

0

x

f

− L

0

x

f

L

1

x

f

− L

1

x

f

L

n

−

1

x

f

− L

n

−

1

x

f

L

n

x

f

L

0

x

f

) + [

L

1

x

f

− L

0

x

f

)] + [

L

2

x

f

− L

1

x

f

)] +

+[

L

n

x

f

− L

n

−

1

x

f

)]

f

0

C

1

ω

1

C

2

ω

2

C

n

ω

n

INTERPOLAZIONE – p.12/

Polinomio interpolante di NEWTON

C

n

ω

n

x

L

n

x

f

− L

n

x

f

: permette di inserire la nuova coppia di valori

x

n

, f

n

utilizzando

L

n

x

f

. Se si hanno più coppie da inserire:

L

n

x

f

L

0

x

f

− L

0

x

f

L

1

x

f

− L

1

x

f

L

n

−

1

x

f

− L

n

−

1

x

f

L

n

x

f

L

0

x

f

) + [

L

1

x

f

− L

0

x

f

)] + [

L

2

x

f

− L

1

x

f

)] +

+[

L

n

x

f

− L

n

−

1

x

f

)]

f

0

C

1

ω

1

C

2

ω

2

C

n

ω

n

f

0

nk

=

C

k

ω

k

x

Polinomio interpolante

di Newton

N

n

x

f

Il polinomio nella forma di Newton permette di aggiungere più coppie di valorisfruttando i calcoli fatti in precedenza.Se ad esempio si vogliono aggiungere

coppie di valori

x

n

, f

n

x

n

, f

n

si ha

L

n

x

f

f

0

n

k

=

C

k

ω

k

x

L

n

x

f

n

k

=

n

C

k

ω

k

x

INTERPOLAZIONE – p.12/

Polinomio interpolante di NEWTON

Assegnata una funzione

f

x

definita (almeno) sui punti

x

0

, x

1

,... , x

n

si definiscono

differenze divise del primo ordine

relativamente agli

x

i

le quantità:

f

[

x

i

, x

i

] :=

f

x

i

f

x

i

x

i

x

i

e ricorsivamente

differenze divise di ordine

k

f

[

x

i

, x

i

,... , x

i

k

] :=

f

[

x

i

,... , x

i

k

]

f

[

x

i

,... , x

i

k

−

1

]

x

i

k

x

i

e per definizione

differenza divisa di ordine

f

[

x

i

] :=

f

x

i

I calcoli possono essere organizzati in tabelle:

x

i

f

x

i

f

[

x

i

, x

i

]

f

[

x

i

, x

i

, x

i

]

f

[

x

i

, x

i

, x

i

, x

i

]

x

0

f

x

0

x

1

f

x

1

f

[

x

0

, x

1

] =

f

(

x

1

)

−

f

(

x

0

)

x

1

−

x

0

x

2

f

x

2

f

[

x

1

, x

2

] =

f

(

x

2

)

−

f

(

x

1

)

x

2

−

x

1

f

[

x

0

, x

1

, x

2

] =

f

[

x

1

,x

2

]

−

f

[

x

0

,x

1

]

x

2

−

x

0

x

3

f

x

3

f

[

x

2

, x

3

] =

f

(

x

3

)

−

f

(

x

2

)

x

3

−

x

2

f

[

x

1

, x

2

, x

3

] =

f

[

x

2

,x

3

]

−

f

[

x

1

,x

2

]

x

3

−

x

1

f

[

x

0

, x

1

, x

2

, x

3

] =

f

[

x

1

,x

2

,x

3

]

−

f

[

x

0

,x

1

,x

2

]

x

3

−

x

0

INTERPOLAZIONE – p.13/

Polinomio interpolante di NEWTON

ESEMPIO:

Date le coppie

x

i

f

x

i

f

[

x

i

, x

i

]

f

[

x

i

, x

i

, x

i

]

3

−

2

−

1+

1

−

3

0+

−

2

−

1

0+

32

Per costruzione le differenze divise sono funzioni simmetriche degli argomenti:

f

[

x

1

, x

2

, x

3

] =

f

[

x

2

, x

1

, x

3

]

Si dimostra

f

[

x

0

, x

1

,... , x

k

] =

C

k

N

n

x

f

f

0

nk

=

f

[

x

0

, x

1

,... , x

k

]

ω

k

x

INTERPOLAZIONE – p.14/

Polinomio interpolante di NEWTON

ESEMPIO:

Date le coppie

:

Tavola differenze divise

x

i

f

x

i

f

[

x

0

, x

1

]

f

[

x

0

, x

1

, x

2

]

f

[

x

0

,... , x

3

]

1

−

0

1

−

0

0

−

1

2

−

1

−

1

−

1

2

−

0

1

−

0

3

−

2

1+1 3

−

1

1+1 3

−

0

2 3

Polinomio interpolante:

N

3

x

f

f

0

3

k

=

f

[

x

0

, x

1

,... , x

k

]

ω

k

x

f

0

f

[

x

0

, x

1

]

x

x

0

f

[

x

0

, x

1

, x

2

]

x

x

0

x

x

1

f

[

x

0

,... , x

3

]

x

x

0

x

x

1

x

x

2

x

x

x

x

x

x

x

3

x

2

x

0

1

2

3

−0.

0

0.8 0.6 0.4 0.

1

INTERPOLAZIONE – p.15/

Sia la forma di Lagrange che di Newton permettono la costruzione di semplicialgoritmi Per la forma di Newton: è facile costruire un algoritmo separando i due passi:

costruzione delle differenze divise calcolo del valore del polinomio utilizzando (

schema di Hörner

p

x

a

0

a

1

x

a

n

x

n

p

x

a

0

x

a

1

x

a

2

x

a

n

−

1

a

n

x

INTERPOLAZIONE – p.16/