MATEMATICA: LA PROGRAMMAZIONE LINEARE
La programmazione lineare occupa una parte importante della Ricerca Operativa
Quest’ultima fornisce gli elementi quantitativi di base necessari per le decisioni relative alle
operazioni controllate dal personale dirigente. Essa utilizza strumenti matematici per
controllare nel modo più efficiente un sistema reale, cercando di studiarlo nel suo
complesso. La ricerca operativa si attua attraverso le seguenti fasi. Nella 1° fase vi è la
formulazione del problema, l’equipe del lavoro, riceve informazioni generali, deve quindi
elaborarli, determinare gli obiettivi da raggiungere, i vincoli che li limitano. Nella 2° fase vi
è la raccolta delle informazioni, le informazioni vanno esaminate ed elaborate in modo da
individuare le variabili del problema. Nella 3° fase vi è la costruzione del modello
matematico: è un insieme di simboli ed espressioni matematiche che devono
rappresentare il problema in maniera chiara e precisa. Solitamente un modello contiene:
una funzione obiettivo dette variabili d’azione, l’insieme dei valori che possono essere
assunti dalle variabili viene detta regione o campo di scelta, relazioni fra variabili che
chiamiamo vincoli tecnici e vincoli di segno. Nella 4° fase vi è la risoluzione del modello, in
questa fase si usano i metodi tradizionali della matematica, da quelli classici all’analisi
numerica. La soluzione ottima è un elemento della regione o campo di scelta che rende
minima o massima la funzione obiettivo prefissata. Nella 5° fase si fa il controllo del
modello e delle soluzioni ottenute. Rappresenta la valutazione della soluzione ottimale
ottenuta, cioè se essa produce i benefici attesi. Se tutto questo funziona il gruppo di ricerca
passa i risultati alla direzione che a questo punto è in grado di prendere decisioni del caso.
La trattazione di un problema di programmazione lineare segue la metodologia indicata nei
problemi generali di ricerca operativa. Un problema di programmazione lineare si traduce
quindi in un modello matematico.
Un modello matematico è un insieme di simboli ed espressioni matematiche che debbono
rappresentare il problema in maniera chiara e precisa. E’ costituito da una funzione da
ottimizzare, da vincoli tecnici e di segno e dall’insieme dei valori che possono essere
assunti dalla variabile chiamata regione. I problemi di programmazione lineare sono
problemi di ricerca del massimo e del minimo di funzioni lineari.
-Ogni coppia di valori (x1,x2) che soddisfa il sistema e i vincoli è detta soluzione
ammissibile.
- Ogni coppia di valori (x1,x2) ottenuta come intersezione tra due rette che limitano il
dominio dei vincoli è detta soluzione di base.
-le coppie di valori (x1,x2) che hanno per immagini i vertici del dominio dei vincoli sono
dette soluzioni ammissibili di base e tra esse è da ricercare la soluzione ottima.
Per la ricerca del massimo e del minimo si opera con il metodo grafico che si applica se le
variabili sono due o riconducibili a due:
- Si determina il dominio dei vincoli, che è un poligono convesso o una regione
poligonale convessa riconducibile eventualmente ad un segmento;
- Si cerca mediante le linee di livello il vertice in cui la funzione economica assume
l’ottimo richiesto.
