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Slides di statistica sulle medie. Contenuti: F orniscono una sintesi estrema di una serie di dati o di una distribuzione di frequenza Una media è un singolo valore (o una singola modalità) particolarmente rappresentativo del fenomeno osservato Principali medie: !La media aritmetica !La media quadratica !La media geometrica !La media armonica !La mediana !La moda !I quantili
Tipologia: Slide
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1 Forniscono una sintesi estrema di una serie di dati o di una distribuzione di frequenza Una media è un singolo valore (o una singola modalità) particolarmente rappresentativo del fenomeno osservato Principali medie: ! La media aritmetica ! La media quadratica ! La media geometrica ! La media armonica ! La mediana ! La moda ! I quantili
Medie analitiche Medie di posizione
dove: è il valore che assume il carattere sulla i-esima unità N è il numero dei casi osservati ∑ = =
= N i 1 i 1 2 N x N 1 N x x ..... x X i
Si calcola sommando tutte le osservazioni relative ad un collettivo e dividendo per la numerosità dei casi. Media aritmetica La media aritmetica è il punto di equilibrio (baricentro) della distribuzione di dati. Il calcolo della media aritmetica si basa su tutti i dati osservati
5 Esempio Di seguito sono riportati i dati relativi al numero di notti trascorse in albergo da 14 clienti: 2, 5, 4, 3, 1, 1, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 1, 2. 3, 14 44 14 2 5 4 3 1 1 5 6 2 3 4 5 1 2 N x X N i 1 i = =
Esempio: numero di notti trascorse in albergo da 90 clienti. 2, 90 257 90 1 25 2 21 3 15 4 12 5 8 6 6 7 3 n x n X k j 1 j j = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = ∑ = Numero di notti (xj) Clienti (nj) 1 25 2 21 3 15 4 12 5 8 6 6 7 3 Totale 90 I clienti hanno trascorso in media 2, notti in albergo.
Se il carattere è quantitativo suddiviso in classi e conosciamo la sua distribuzione di frequenza, possiamo approssimare la media aritmetica utilizzando i valori centrali di ciascuna classe. dove: è il valore centrale della j-esima classe del carattere (j=1,…k) è la numerosità complessiva dei casi è la frequenza assoluta della j-esima classe N c n N c n c n ..... c n X k j 1 j j 1 1 2 2 k k ∑ = =
≅ N c j n j Media aritmetica nel caso di un carattere suddiviso in classi
Prezzi e quantità di farmaci acquistati da un ospedale val.centr. (^) Prezzo a confezione (€) (questo è il carattere) Numero Confezioni (questa è la frequenza) Ammontare carattere (spesa sostenuta - €) 25 20 |– 30 11.000 2511.000 =^ 275. 32.5 30 |– 35 5.000 32.55.000 =^ 162. 37.5 35 |– 40 15.000 37.515.000 =^ 562. 45 40 |– 50 9.000 459.000 =^ 405. Totale 40.000 1.405. = 1.405.000 / 40.000 = 35.72 € prezzo medio a confezione Esempio a x
Media aritmetica ponderata ∑ ∑ = = =
= k j j k j j j k k k a p x p p p p x p x p x p 1 1 1 2 1 1 2 2 ... ... x
Per pj = nj o pj = fj si ottiene la formula utilizzata per le distribuzioni di frequenza. Un peso pj è un coefficiente che aumenta (se >1) o diminuisce (se <1) l importanza del termine xj
n Risposta 1: Per capire meglio supponiamo che la situazione sia: x = 10 + 11 + 15 3 = 12 Sbagliata! Perché non tiene conto delle quantità vendute. Sup. Prezzo
Quantità 1 10 1 2 11 1 3 15 998 Sareste ancora convinti che il prezzo medio (cioè il prezzo rappresentativo) è 12?
n Risposta 2 Ponderando i prezzi con le quantità: x = (^1 0!^100 ) +^ (^1 1!^50 ) +^ (^1 5!^850 ) 1000 = 14. 125 Questa è la risposta giusta!
min
max
x 1
(invarianza rispetto all’unità di misura)
1
N
1
N
= =
N i N i i i
1 1
1
N
1
N
1 N x i ( +^ b ) i = 1 N ! =^ 1 N x i i = 1 N ! "
$ % & ' +^ Nb "
$ $ % & ' ' = x + b
20 Esempio: supponiamo che la soglia di povertà per un individuo sia 700 € mensili (reddito necessario a soddisfare i bisogni primari). Il reddito che si percepisce in più si può quindi destinare ai bisogni secondari. Che in virtù della traslatività si poteva anche ottenere come: Indiv. Red. Percepito
Red. bisogni secondari
x = 1433 , 33 y = ( 300 + 800 + 1100 )/ 3 = 733 , 33 y = x − (^700) NB: b = 700
