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LIMITI La forma indeterminata +∞−∞ lim x →+∞
( √x + 7 −√ x− 5 )=
lim x →+∞
( √x + 7 −√ x− 5 ) ( √x + 7 + √x− 5 )
( √x + 7 + √x− 5 )
lim x →+∞
x + 7 −( x− 5 )
√x + 7 + √x− 5
lim x →+∞
√x + 7 + √x− 5
+∞ =^0
lim x →−∞
( x^3 + 2 x^2 − 3 )=
lim x →−∞ [ x^3 ( 1 + 2 x − 3 x^3 )] =−∞ La forma indeterminata 0 ⋅∞ lim x → 0 + ( sin 2 x⋅cotan x )= lim x → 0 + 2 sin x cos x⋅ cos x sin x = lim x→ 0 + 2 cos^2 x= 2 La forma indeterminata ∞ ∞ lim x →+∞ 2 x− 3 x^4 + x^2 2 x^2 − 2 = lim x →+∞ x 42 ( 2 x^3 − 3 + 1 x^2 ) x 2 ( 2 − 2 x^2 )^ = lim x →+∞ x^2 ( 2 x^3 − 3 + 1 x^2 ) ( 2 − 2 x^2 )^ =+∞⋅(− 3 2 ) =−∞ lim x →−∞ √ x (^2) + 1 2 x− 1 = lim x →−∞ √ x^2 ( 1 + 1 x (^2) ) x (^) ( 2 − 1 x )^ = lim x →−∞ |x| √ 1 + 1 x^2 x (^) ( 2 − 1 x )^ = −x √ 1 + 1 x^2 x (^) ( 2 − 1 x )^ =− 1 2 Per x^ →−∞^ :^ x^ <^0 ⇒|x|=−^ x La forma indeterminata
lim x → 2 2 x 3 −x 2 − 5 x− 2 2 x^2 − 5 x+ 2
lim x → 2 ( x− 2 ) (^2 x 2
- 3 x + 1 ) ( x− 2 ) ( 2 x− 1 )
lim x → 2 ( (^2) x^2 + 3 x + 1 ) ( 2 x− 1 )
Limiti notevoli lim x → 0 sin x x = 1 ⇒ lim x → 0 tan x x
lim x → 0 1 −cos x x = 0 , lim x → 0 1 −cos x x
lim x → ∞ (
x ) x =e ⇒ lim ( 1 +x ) 1 x x → 0 =e , lim x → 0 loga (^ x + 1 ) x =loga e , lim x → 0 ln( x + 1 ) x
lim x → 0 a x − 1 x =lna , lim x → 0 e x − 1 x
lim x → 0 ( 1 + x ) k − 1 x =k , lim x →∞(
k x ) x =e k .
lim x → 0 tan x + 3 x x+ sin x =lim x → 0 sin x cos x
- 3 x x+ sin x = lim x → 0 sin x+ 3 x cos x cos x x+ sin x =lim x→ 0 sin x + 3 x cos x cos x (^ x+ sin x)^ = lim x → 0
x(
sin x x
+ 3 cos x)
x cos x
1 + sin x
x )^
= 1 + 3 1 ( 1 + 1 ) = 2 lim x → π 2 cos x x− π 2 =lim y → 0
cos( y+
π
y
lim y → 0 −sin y y
lim
x →+∞ (
5 + x
x )
x = lim
x →+∞(
5 x
x
lim y →+∞
5 5 y
5 y = lim
y →+∞[
1 + 1
y )
y
]
5 =e 5
Le forme indeterminate 0
0
∞
0
lim
x → 0 +
x
1 ln x
=lim
x → 0 +
e
ln x 1 ln x
=lim
x→ 0 +
e
1 ln x ⋅ln x
=e
Nel calcolo del limite per
x →x 0
ogni funzione infinitesima (infinita) può essere sostituita con un infinitesimo (infinito) equivalente. Ogni somma di infiniti è equivalente all’infinito di ordine superiore. Qualunque siano α^ ,^ β^ >^0 ;^ a^ ,^ b>^1 l’ordine
di infinito di (^
loga x )
α è minore dell’ordine di infinito di x β che è minore dell’ordine di infinito di b x . INFINITESIMI EQUIVALENTI PER x^ →^0
INFINITESIMI EQUIVALENTI PER f^ (^ x^ )^ →^0
sin x x tan x x 1 −cos x
x 2 arcsin x x arctan x x
ln ( 1 + x ) x
a x − 1 x^ ln^ a e x − 1 x ( 1 + x ) k
− 1 kx
n
√ 1 + x − 1
x n
sin f ( x ) f ( x )
tan f ( x ) f ( x )
1 −cos f ( x )
[ f^ (^ x^ )^ ] 2
arcsin f ( x) f ( x )
arctan f ( x ) f ( x )
ln ( 1 + f ( x ) ) f ( x )
a f ( x )
− 1 f^ (^ x^ )^ ln^ a
e f ( x )
− 1 f^ (^ x^ )
( 1 +f ( x ) ) k
− 1 kf ( x )
n √^1 +^ f^ (^ x^ )−^1 f ( x ) n
