Logica matematica e letterale, Dispense di Matematica

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Elementi di logica matematica

Riccarda Rossi

Universit`a di Brescia

Analisi I

Scopo: introdurre nozioni di logica & terminologia per una corretta interpretazione delle dimostrazioni.

Proposizione:

E frase di^ senso compiuto, della quale si puo inequivocabilmente dire se `e vera o falsa. Indichiamo le proposizioni con P, Q,...

Esempi:

1. P 1 : quest’aula contiene studenti di ingegneria (proposizione VERA)
2. P 2 : Brescia e una citta di mare (proposizione FALSA)

N.B.: Una proposizione pu`o essere VERA o FALSA, ma NON, contemporaneamente, vera e falsa

Quantificatori: elementi fondamentali del linguaggio matemati- co.

• ∀ quantificatore universale: “per ogni”
• ∃ quantificatore esistenziale: “esiste”
• ∃! quantificatore esiste unico: “esiste uno e uno solo”.

• Un modo per trasformare predicati in proposizioni `e l’uso di uno dei quantificatori.

Esempio

Dal predicato P(x) = ”nel luogo x piove”

otteniamo le due proposizioni:

1. Piove in ogni luogo: ∀ x : P(x)
2. Esiste un luogo in cui piove: ∃ x : P(x)

Connettivi logici

Sono operatori che trasformano una o piu proposizioni in altre proposizioni, il cui valore di verita dipende dai valori di verit`a delle proposizioni di partenza.

non (NEGAZIONE)

Trasforma P nella proposizione non(P) che ha valore di verit`a contrario a P.

• L’operatore di negazione, applicato due volte, si elide,

non(non(P)) = P

e (CONGIUNZIONE) ∧

Date P e Q, PeQ `e la proposizione nella quale valgono sia la prima, sia la seconda.

I (^) PeQ `e vera unicamente se sia P sia Q sono vere.

o (DISGIUNZIONE) ∨

Date P e Q, PoQ `e la proposizione nella quale vale almeno delle due.

I (^) Quindi, PoQ evera se almeno una fra P o Qevera. I (^) Scrivendo PoQ, non escludo che siano vere entrambe.

⇒ (IMPLICAZIONE)

Date P e Q, il connettivo ⇒ crea la proposizione P ⇒ Q, che si legge I (^) P implica Q I (^) se P, allora Q

Terminologia alternative per P ⇒ Q: I (^) P `e condizione sufficiente per Q

I (^) Q `e condizione necessaria per P

N.B.:

[P ⇒ Q] equivale a [non Q ⇒ non P]

⇔ (DOPPIA IMPLICAZIONE)

Date P e Q, il connettivo ⇔ crea la proposizione

P ⇔ Q =

P ⇒ Q e Q ⇒ P

Si legge: I (^) P equivale a Q I (^) P `e condizione necessaria e sufficiente per Q I (^) P se e solo se Q

N.B.:

P ⇒ Q ⇔ non(Q) ⇒ non(P)

Negare proposizioni (predicati) contenenti connettivi

non(P e Q) = non(P) o non(Q)

non(P o Q) = non(P) e non(Q)

Negare proposizioni contenenti quantificatori

non(∀) equivale a ∃ non

cio`e

non(∀ x, P(x)) ⇔

“non e vero che P(x)e vera per ogni x” ⇔

“c’e almeno un x per il quale P(x)e falsa” ⇔

∃ x : non(P(x))

Per negare che una propriet`a sia verificata universalmente bisogna esibire un esempio in cui essa non sia verificata: un controesempio.

Negare proposizioni contenenti quantificatori

non(∃) equivale a ∀ non non(∃ x : P(x)) ⇔

“non e vero che esiste un x per cui P(x)e vera” ⇔

“per ogni x, P(x) `e falsa” ⇔

∀ x : non(P(x))

• Dimostrazione per assurdo: si vuole provare che

P Ipotesi

Q

Tesi

L’equivalenza

[P ⇒ Q] ⇔ [non Q ⇒ non P]

viene utilizzata nella dimostrazione per assurdo: si parte dalla negazione della tesi e si cerca di arrivare (tramite un processo deduttivo) alla negazione dell’ipotesi (il che e un assurdo, perche l’ipotesi P e vera!). Dunque la negazione della tesie falsa. Allora la tesi `e vera.