mate mate mate mate mate mate mate, Appunti di Geometria

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Vivere Scienze Politiche

LEZIONI DI MATEMATICA E

GEOMETRIA

Assistest 16/17 Area Umanistica

Vivere Scienze Politiche

1. I numeri razionali relativi

Si chiama numero razionale l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data

frazione. Per indicare un numero razionale si utilizza una frazione, scelta tra

tutte quelle dell’insieme, possibilmente ridotta ai minimi termini.

Esempio

2

3

4

6

6

9

8

12

10

15

L’insieme Q è detto insieme dei numeri razionali relativi o, più semplicemente,

insieme dei numeri razionali.

Due numeri razionali sono concordi se hanno lo stesso segno, oppure discordi se

hanno segno opposto.

2. Le quattro operazioni con i numeri razionali

a) Addizione

La somma di due frazioni con lo stesso denominatore positivo è la frazione che

ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per

numeratore la somma algebrica dei numeratori.

Esempio

𝑚

𝑛

𝑝

𝑛

𝑚+𝑝

𝑛

Esercizi



12

5

7

5

= [

19

5

]

7

5

2

5

= [

9

5

]

3

5

= [−

7

5

]

3

10

1

15

= [

11

30

]

5

6

+ 2 = [

7

6

]

13

4

1

6

= [

41

12

]

b) Sottrazione

La differenza di due o più frazioni è una frazione avente per denominatore

lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori.

Es.

𝑚

𝑛

𝑝

𝑛

𝑚−𝑝

𝑛

5

8

3

2

) ÷ (

1

4

5

2

4

3

1

2

) ÷ (

5

6

5

3

) = [−

5

18

]

2

3

+ 1 ) ÷ (−

1

6

+ 2 ) = [

10

11

]

 − 11 ÷ (−

11

2

) ÷ (−

3

4

) = [−

8

3

]

1

4

3

2

1

6

) ÷ (

1

3

3

4

) = [− 1 ]

1

2

1

3

) [

2

5

1

2

2

5

] ÷ [− (

4

3

1

3

] = [−

1

12

]

 [(

1

2

3

4

) ÷ (−

1

2

)] ÷ [

2

− 3

2

÷ (

1

6

1

3

)] + 5 ÷ [−(− 2 )

3

] = [ 1 ]

3. Potenza di un numero razionale

La potenza di una frazione è la frazione i cui termini sono le potenze dei termini

della base. Se la base è positiva, anche la potenza è positiva. Se la base è

negativa, la potenza ha segno positivo se l’esponente è pari, ha segno negativo

se l’esponente è dispari.

Esempio (

3

2

4

81

16

2

5

2

4

25

3

4

3

27

64

a) Proprietà delle potenze

𝑚

× 𝑎

𝑛

𝑚+𝑛

𝑚

÷ 𝑎

𝑛

𝑚−𝑛

𝑚

𝑛

𝑚×𝑛

𝑚

× 𝑏

𝑚

𝑎 × 𝑏

𝑚

𝑚

÷ 𝑏

𝑚

= (𝑎 ÷ 𝑏)

𝑚

− 1

1

𝑎

𝑛

𝑎

𝑏

−𝑛

𝑏

𝑎

𝑛

Esercizi

2

3

4

= [

16

81

]

4

3

3

= [−

64

27

]

2

3

× (

2

3

2

= [

8

27

]

3

7

2

× (

3

7

3

= [(

3

7

5

]

4

3

2

× (−

4

3

3

× (

4

3

4

[− (

4

3

9

]

2

5

13

÷ (

2

5

7

= [(

2

5

6

]

 [(

6

5

2

]

5

= [(

6

5

10

]

1

3

2

× (

5

2

2

= [(

5

6

2

]

3

8

10

÷ (

5

4

10

= [(

3

10

10

]

− 3

= [(

1

4

3

)]

2

9

− 2

= [(

9

2

2

]

4. Polinomi razionali e interi

Il polinomio è la somma algebrica di monomi. I monomi addendi sono detti

termini del polinomio. Per la proprietà commutativa dell’addizione è sempre

possibile in un polinomio cambiare l’ordine dei suoi termini.

Il polinomio può essere costituito da numeri interi e/o da numeri razionali,

ovvero frazioni.

Un polinomio di dice ridotto se tra i suoi termini non vi sono monomi simili. I

termini simili si possono sommare, eseguendo la riduzione dei termini simili.

Tra i suoi termini vi può essere un solo numero diverso da zero, il termine noto.

I polinomi possono essere:

 uguali, − 2 𝑎𝑏 + 5 +

2

5

𝑥

4

𝑒 − 2 𝑎𝑏 +

2

5

𝑥

4

• 5

 opposti, − 2 𝑎𝑏 + 5 +

2

5

𝑥

4

𝑒 −

2

5

𝑥

4

• 2 𝑎𝑏 − 5

 nullo, se tutti i suoi termini hanno coefficienti uguali a zero

Il grado complessivo di un polinomio non nullo è il massimo dei gradi dei

monomi che lo compongono.

Esempio:

2

3

𝑥𝑦 + 9 𝑥

3

𝑦 + 2 𝑥

2

𝑦

2

1

2

𝑥𝑦

4

− 3 𝑦

2

𝑧 il grado del polinomio è 4

5. Operazioni con i polinomi

a) Somma algebrica

Per semplificare la somma algebrica di un polinomio, ovvero l’addizione e

la sottrazione, bisogna ricordare due regole che consentono di eliminare

due coppie di parentesi:

 se la prima parentesi è preceduta dal segno +, si riscrivono i termini

contenuti nella coppia di parentesi con i loro segni

d) Prodotto di polinomi

Il prodotto di due polinomi è un polinomio i cui termini si ottengono

moltiplicando ciascun termine di uno di essi per tutti i termini dell’altro. Il

grado del prodotto di due o più polinomi è uguale alla somma dei gradi dei

polinomi fattori.

Esempio

( 3 𝑥

2

− 7

) ×

( − 2 𝑥

2

• 1

) = 3 𝑥

2

×

( − 2 𝑥

2

)

• 3 𝑥

2

× 1 +

( − 7

) ×

( − 2 𝑥

2

)

( − 7

) × 1 = − 6 𝑥

4

• 3 𝑥

2

• 14 𝑥

2

− 7 = − 6 𝑥

4

• 17 𝑥

2

− 7

Esercizi

 (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 + 2 𝑏) = [𝑎

2

2

]

1

3

2

− 𝑥 + 3 ) × (

1

2

𝑥 − 2 ) = [

1

6

3

7

6

2

7

2

𝑥 − 6 ]

2

×

×

2

[

3

2

]

 3 𝑎(𝑎 − 2 )( 2 𝑎 + 3 )( 1 + 𝑎) = [ 6 𝑎

4

3

2

− 18 𝑎]

6. Prodotti notevoli

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio

prodotto dei due monomi, più il quadrato del secondo monomio

(𝐴 ± 𝐵)

2

= 𝐴

2

± 2 𝐴𝐵 + 𝐵

2

Esercizi

2

= [𝑥

2

+ 6 𝑥 + 9 ]

4

2

[

4

8

]

Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e

dei doppi prodotti di ciascun termine per ognuno di quelli che lo seguono

( 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

)

2

= 𝐴

2

+𝐵

2

• 𝐶

2

• 2 𝐴𝐵 + 2 𝐴𝐶 + 2 𝐵𝐶

Esercizi

2

= [ 9 𝑥

2

2

2

+ 12 𝑥𝑦 + 12 𝑦𝑧 + 18 𝑥𝑧]

3

4

2

1

2

2

3

2

2

= [

9

16

4

3

4

3

3

4

2

2

2

3

3

4

9

4

]

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al

quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio

( 𝐴 + 𝐵

)( 𝐴 − 𝐵

) = 𝐴

2

− 𝐵

2

Esercizi

 ( 2 𝑎 + 𝑏)( 2 𝑎 − 𝑏) = [ 4 𝑎

2

2

]

5

1

5

5

1

5

= [𝑥

10

1

25

]

1

4

1

4

+ 𝑥) = [𝑥

2

1

16

]

Il cubo di un binomio si ottiene moltiplicando il quadrato del binomio per il

binomio stesso. Avremo dunque:

(𝐴 + 𝐵)

3

= (𝐴 + 𝐵)

2

(𝐴 + 𝐵) = (𝐴

2

• 𝐵

2

• 2 𝐴𝐵)(𝐴 + 𝐵)

= 𝐴

3

• 𝐴

2

𝐵 + 𝐵

2

𝐴 + 𝐵

3

• 2 𝐴

2

𝐵 + 2 𝐴𝐵

2

= 𝐴

3

• 3 𝐴

2

𝐵 + 3 𝐴𝐵

2

• 𝐵

3

Esercizi

3

[

3

2

2

3

]

3

= [ 8 𝑥

3

2

2

3

]

La potenza di un binomio si risolve in tal modo:

(𝑎 + 𝑏)

8

= 𝑎

8

• 8 𝑎

7

𝑏 + 28 𝑎

6

𝑏

2

• 56 𝑎

5

𝑏

3

• 70 𝑎

4

𝑏

4

• 56 𝑎

3

𝑏

5

• 28 𝑎

2

𝑏

6

• 8 𝑎𝑏

7

• 𝑏

8

Esercizi sui polinomi

 3a+b+5c-6c-2a+3b=

[

]

 (𝑥 + 1 )(𝑥 + 3 ) − (𝑥 − 2 )(𝑥 − 2 ) = [ 8 𝑥 − 1 ]

𝑥− 1

2

𝑦−𝑥

3

𝑦

3

𝑥(𝑥− 1 )

2

= [

3 𝑥

2

− 2 𝑥− 3

6

]

− 18 𝑎

5

𝑏+ 12 𝑎

4

𝑏

2

− 15 𝑎

3

𝑏

3

− 3 𝑎

3

𝑏

[

2

2

]

7. Scomposizione in fattori di un polinomio

Si dice che un polinomio è riducibile quando può essere scomposto in fattori,

ciascuno dei quali di grado inferiore a quello del polinomio dato.

a) Raccoglimento totale a fattore comune

Esso si applica quando tutti i termini del polinomio hanno in comune un

fattore

Esempio 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧 = 𝑚

( 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

)