Prof. Pansera
Prima Lezione 2 Ottobre 2025
Nelle ultime quattro lezioni di novembre avremo delle lezioni con la banca d'Italia, 10, 12, 19, 27 (correzione elaborato). Le Prime tre lezioni saranno svolte dai funzionari e l'ultima lezione
toccherà a noi esporre il nostro elaborato.
Guy Brousseau, nato in Marocco nel 1933, dal 1953 al 1962 ha insegnato nelle scuole elementari francesi, nel 1968 si è laureato in scienze dell'educazione all'università di bordeaux e
sempre nella stessa università ha conseguito il dottorato di ricerca in matematica e didattica matematica. Dal 1969 ha iniziato a lavorare come assistente di matematica presso la facoltà di
Scienze di bordeaux e dal 1992 è diventato professore ordinario. Brousseau è riconosciuto come il padre della didattica delle matematiche il cui campo di studi viene definito dallo stesso
nel 1986 come i fenomeni legati all'attività di insegnamento riguardanti in modo specifico il sapere insegnato. Lo studioso mette in evidenza il ruolo delle situazioni nell'apprendimento della
matematica e pone le basi della teoria delle situazioni didattiche in matematica. Brousseau sostiene che oltre agli attori principali di un'azione didattica, l'insegnante e l'alunno, bisogna
tener presente un terzo fattore ossia l'attore silenzioso, la situazione nella quale evolvono le azioni dell'insegnante e degli alunni. Per lo studioso il milieu è uno strumento attraverso i quali
il docente comunica con lo studente ed è costituito da oggetti fisici culturali sociali umani e con i quali il soggetto interagisce in una situazione.
In matematica un principio fondamentale è la logica fuzzy, un approccio matematico che consente di gestire l'incertezza e l'imprecisione andando oltre la tradizionale logica binaria per
attribuire ai gradi di verità parziali a proposizioni e concetti, questa logica nasce nel 1965 grazie a Lofti Zadeh, Fuzzy significa sfocato non nitido e nasce proprio per superare il limite del
principio classico del terzo escluso.
In matematica vige il principio del terzo escluso, o tertium non datur, è un principio fondamentale, della logica classica che afferma che data una proposizione , essa è o vera o falsa, senza
possibilità di una terza opzione, né di un valore intermedio. Caratteristiche principali:
BIVALENZA, ogni proposizione è o vera o falsa , non può essere entrambi.
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NEGAZIONE, se una proposizione è vera, la sua negazione è necessariamente falsa.
-
TERMINOLOGIA LATINA, tertium non datur, cioè non è data una terza cosa.
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Es. "Domani pioverà" , secondo il principio del terzo escluso, o questa proposizione è vera o la sua negazione è vera.
In matematica il termine COMPETENZA, indica la capacità degli individui di combinare in modo autonomo, i diversi elementi della conoscenza e delle abilità che possiedono. Il sostantivo
competenza deriva dal verbo competere, di origine Latina cum petere e sta ad indicare un'azione di andare insieme e di far convergere in uno stesso punto. Competente è colui che ha
autorità in un certo ambito, ovvero che se ne intende. La competenza non è uno stato od una conoscenza posseduta, la competenza è un saper agire riconosciuto naturalmente qualsiasi
competenza per esistere necessita del giudizio altrui.
Le competenze secondo D'amore, non possono ridursi ad una sola disciplina ma suppongono e creano delle connessioni tra conoscenze e suggeriscono nuovi usi e nuove perdonanze il che
significa che le competenze generano altre competenze.
Le competenze devono costituire un bagaglio non tanto di nozioni quanto di abilità nel risolvere delle situazioni problematiche sapendo scegliere le risorse le strategie e i ragionamenti.
La competenza e un'integrazione di conoscenze (sapere), abilità(saper fare), capacità metacognitive e metodologiche, Sapere come fare, trasferire, acquisire e organizzare informazioni,
risolvere problemi.
Nel " il modello delle competenze" William levati, descrive il concetto di competenza come un insieme articolato di elementi: capacità, conoscenze, esperienze finalizzate.
La capacità può essere definita come una dotazione personale che permette di seguire con successo una determinata prestazione quindi la possibilità di riuscita nell'esecuzione di un
compito.
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L'esperienza finalizzata consiste nell'aver sperimentato particolari attività che hanno consentito di esercitare di provare e di esprimere le capacità e le conoscenze possedute dalla
persona.
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In matematica non esistono frasi del tipo è l'eccezione che conferma la regola, questa frase in matematica non deve esistere, perché in matematica se c'è una eccezione, significa che
quella proprietà è falsa, questa è una cosa molto importante perché spesso il linguaggio comune cozza con la teoria matematica. Il linguaggio comune può avere più interpretazioni, ma la
matematica ne può avere solo UNA.
PRIMA OSSERVAZIONE: In matematica non bisogna dare peso al linguaggio comune.
SECONDA OSSERVAZIONE: I prerequisiti vanno verificati sempre. Non sin può fare didattica della matematica senza verificare i prerequisiti.
TERZA OSSERVAZIONE: Bisogna capire se gli studenti hanno maturato COMPETENZE=SAPER FARE CHE NASCE DALLA CONOSCENZA. Non possiamo fare didattica della matematica se
non fissiamo a priori le competenze che i nostri studenti devono acquisire. All'esame vi chiedo " quale competenza possa sviluppare la didattica per problemi" "quali competenze vogliamo
fare acquisire ai nostri studenti" e non parliamo delle competenze di cittadinanza attiva, perché quelle sono alcune delle competenze che vanno maturate, cosiddette long life learning,
apprendimento che mi accompagna tutta la vita ma non tutte le competenze servono a questo. Allora coadiuvate sempre la metodologia didattica con le competenze che volete far
acquisire.
Nella didattica per problemi una delle competenze che mi piace far acquisire è l'autonomia. La didattica per problemi crea autonomia ai nostri studenti, e allora che tipo di autonomia crea
la didattica per problemi? E come posso esaltare questa autonomia? Qual è il problema giusto per i nostri studenti? Il problema giusto per uno studente è quello che sa risolvere, basandoci
sull'aspetto emozionale che porta la risposta, ma perché l'aspetto emozionale? Pensiamo ad uno studente fragile in matematica, un esercizio che non va bene per loro può convincerli che
non sono portati per la matematica, si convincono di non essere adeguati, verso la matematica, si convincono che la matematica non fa per loro e abbandonano lo studio della
matematica.
Scegliere opportunamente un percorso formativo significa scegliere il successo o l'insuccesso dei nostri alunni.
Dobbiamo aiutare gli studenti a diventare autonomi, a diventare studenti che non si limitano semplicemente ad utilizzare un pensiero logico razionale ma bensì devono far leva su un
pensiero creativo e divergente. La matematica non è fatta semplicemente da un ragionamento logico e deduttivo. La matematica è anche logica e deduzione.
Il Brain storming è una tecnica utilizzata per incoraggiare i membri di un gruppo di lavoro a produrre idee o soluzioni ad un problema specifico. La tecnica fu ideata da Osborne il quale
notò che nei gruppi di lavoro della sua azienda intenti a risolvere un qualunque problema operativo si sviluppava un'eccessiva criticità e il gruppo trascorreva molto tempo a criticare le idee
degli altri anziché proporre nuove idee. Un atteggiamento fortemente controproducente in quanto non invogliava l'esposizione di nuove idee ma piuttosto che limitava visto che le persone
preferivano tacere anziché esporsi alle critiche degli altri. L'idea di Osborne fu geniale in quanto decise di separare la fase di discussione e produzione di idee da quella critica e di analisi
delle idee esposte. Pertanto nella sessione di brainstorming le persone sono invitate a dare libero corso alle idee e vi è un divieto assoluto di qualsiasi giudizio critico che viene rimandato in
un secondo tempo.
Le regole del brainstorming:
Evitare ogni critica.
-
Puntare sulla quantità
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Essere audaci, cioè non censurarsi
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Ricercare combinazioni e miglioramenti
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Un'altro elemento fondamentale per la buona riuscita di un brainstorming e la presenza di un moderatore deve coordinare il gruppo, il quale viene chiamato facilitatore. Brainstorming sta
per tempesta di idee.
Il termine Brainstormig nasce con Alex Osborn negli anni '30, e si basa sulla produzione di molte idee per stimolare la creatività. Se la mia idea non genera altre idee, la mia idea non serve
a niente, non ha senso. Il brainstormig serve a creare quel legame tra ciò che so e che non so, tra ciò che sono le mie certezze e ciò che sono le mie inquietudini, e questo passaggio dalla
fase della conoscenza alla fase della non conoscenza è la fase più bella. La matematica è anche creatività.
Per Frabboni la didattica è una scienza autonoma che già esiste per assolvere al compito di far interagire soggetto che apprende con gli oggetti dell'apprendimento realizzandosi in un
primo tempo analisi e preparazione dei dati di fatto riguardanti prassi educative e didattiche generalizzabili e categorizzabili.
Tale modellizzazione dell'esperienza va strutturata in un sistema di ipotesi su cui si possano esercitare due logiche simultaneamente: quella induttiva ovvero dalla pratica alla teoria che
parte dai fatti educativi e quella deduttiva ovvero dalla teoria alla pratica che riferisce criticamente con sintesi a priori sugli stessi fatti.
La didattica generale studia gli eventi educativi così come si configurano fenomenologicamente contestualizzati e si esprime nell'individuare specifiche categorie empiriche interpretative
degli eventi educativi e nel procedere nelle investigazioni e nelle azioni educative considerando le possibili connessioni tra le categorie medesime e le conseguenti variabili.
All'insegnante viene affidato il compito di creare delle condizioni opportune per l'apprendimento di tutti e di ciascuno sempre che ciascuno degli studenti si faccia carico dell'impegno di
responsabilità nella costruzione di tale apprendimento. Non ci può essere apprendimento o se non c'è la volontà di esso la piena responsabilità individuale nella costruzione della
conoscenza prima e della competenza poi.
Bruno D'amore suggerisce una distinzione nell'interpretare la didattica della matematica:
Tipo A, come divulgazione delle idee fissando l'attenzione sulla base dell'insegnamento, A sta per Ars.
-
Tipo B, come ricerca empirica fissando l'attenzione sulla fase dell'apprendimento, epistemologia dell'apprendimento della matematica.
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Tipo C, come epistemologia dell'insegnante come studio delle convinzioni personali degli insegnanti di matematica e della loro influenza nelle azioni d'aula e dell'apprendimento degli
studenti.
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Il didatta A è sensibile all'allievo lo pone al centro della sua attenzione ma la sua azione didattica non è sull'allievo bensì sull'argomento in gioco. La didattica A può servire a contribuire a
risolvere problemi di grande importanza come migliorare l'immagine della matematica migliorare l'immagine di sé nel fare matematica e migliorare l'attenzione, attivare interesse e
motivazione.
Limiti della didattica A:
Rischio di fraintendimento
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Esagerazione acritica nell'utilizzo degli strumenti e degli artefatti didattici
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Eccessiva fiducia negli strumenti didattici
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Mancanza di una verifica effettiva dell'apprendimento
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Il didatta B
Nel 1960 Brousseau sottolineava una serie di criticità gettando le basi della didattica B.
La didattica B pone la sua attenzione sul fenomeno dell'apprendimento ma dal punto di vista dei fondamenti e dunque non accettando un unico modello di apprendimento.
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Il focus della didattica B sta nell'individuazione delle caratteristiche peculiari dell'apprendimento al fine di approfondire le caratteristiche e le condizioni e le modalità delle conoscenze
matematica dell'allievo nel senso di un'articolazione della matematica come epistemologia della matematica.
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Epistemologia denota con lo studio sul come vanno costruite le basi per le conoscenze scientifiche di un determinato settore disciplinare.
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Il costruttivismo
Il costruttivismo è una scuola di pensiero di matrice psicologica che si fonda sul concetto secondo cui ogni individuo costruisce la conoscenza del mondo che lo circonda tramite la
riflessione sulle proprie esperienze.
Il sapere dunque non esisterebbe indipendentemente dal soggetto che si accinge a conoscere: tutto è soggettivo perché siamo noi a dare dei significati diversi alle cose.
Il sapere serve per adattarsi all'ambiente perché il soggetto partendo da una rielaborazione interna di sensazioni credenze ed emozioni costruisce la conoscenza grazie a mappe cognitive
che gli permettono di orientarsi.
Imparare quindi non significa possedere una rappresentazione oggettiva di ciò che ci circonda secondo un modello di sapere nozionistico ma piuttosto costruire una propria visione del
mondo pregna di significati soggettivi e ciò porta a vedere l'individuo sempre più protagonista della propria formazione.
In ambito educativo questo porta ad una prospettiva centrata più sull'apprendimento che all'insegnamento.
Il didatta B
Brousseau è riconosciuto come il padre della didattica della matematica il cui campo di studi viene definito dallo stesso nel 1986 come i fenomeni legati all'attività di insegnamento,
riguardanti specificamente il sapere insegnato, lo studioso mette in evidenza il ruolo delle situazioni nell'apprendimento della matematica e pone le basi della teoria delle situazioni
didattiche in matematica.
Nel suo contributo " the process of Mathematization", Brousseau Sostiene che oltre agli attori principali di un'azione didattica ovvero l'insegnante e l'alunno bisogna tener presente un terzo
fattore cioè l'attore vero la situazione nella quale evolvono le azioni dell'insegnante e degli alunni. Una situazione è caratterizzata in un'istituzione da un insieme di relazioni e ruoli reciproci
di una o più materie con un ambiente con l'obiettivo di trasformare questo ambiente secondo un progetto.
Il didatta B
Brousseau individua tre differenti situazioni:
A-didattica: costituita dagli studenti e dall'oggetto della conoscenza senza la presenza dell'insegnante che gioca un ruolo da regista. Gli allievi forniscono risposte in base alle
esigenze che vengono suggerite dal milieu, realizzano i propri tentativi e verificano la loro efficacia. La motivazione è data dall'attività stessa da quello che gli è stato proposto con
quella situazione. Solo se ci si interessa in prima persona della risoluzione del problema secondo Brousseau si costruisce conoscenza. Per giungere ad una nuova conoscenza l'azione
didattica si articola in sei diverse fasi: devoluzione, implicazione, costruzione di conoscenza privata, validazione, socializzazione, istituzionalizzazione. *MILIEU= Ambiente di
apprendimento e insegnamento della matematica progettato per facilitare l'acquisizione di conoscenze e competenze attraverso complessi e multidimensionali contesti educativi.
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Non-didattica: l'insegnante e l'allievo non ha un rapporto con il sapere che non è specifico;
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Didattica: l'insegnante predispone l'ambiente affinché l'allievo apprenda; entrambe le figure sono consapevoli del loro ruolo e dell'evolversi della situazione: si è immersi nel
contratto didattico.
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Il didatta C
A+B: Brousseau parla di buone situazioni di apprendimento
Seconda lezione 3 Ottobre 2025
https://site.unibo.it/rsddm-dm/it/pubblicazioni qui abbiamo un elenco di pubblicazioni scientifiche utili per studiare.
L'obiettivo di noi insegnanti è rendere autonomi i nostri studenti, non quello di supportarlo sempre e comunque. La cosa più bella è quando lo studente supera il maestro, riesce a fare
cose che noi non riusciamo a fare, e questo per un insegnante dev'essere motivo di orgoglio.
La didattica no può essere standardizzata ma deve essere cucita come un abito sartoriale sul nostro studente.
Il triangolo della didattica, è uno schema proposto da Yves Chevellard, 1982, sulle situazioni di apprendimento. Si parla anche di sistema didattico, costituito dalla terna Insegnante,
Allievo , sapere.
Insegnante allievo
Dida%ca
per la…
Terza Lezione 6 Ottobre 2025 Il contratto didattico
Dida%ca
per la…
Il contratto didattico da non confondere con il contratto pedagogico, rappresenta una serie di consuetudini, che nascono spontaneamente durante le normali attività in aula, e nascono dall'osservazione dei
fenomeni che avvengono durante le attività didattiche.
Sapere
Per sapere si intende quello ufficiale, che si impartisce all'università, quello che Chevellard chiama, savoir savant: nel caso specifico della matematica è stato chiamato sapere
matematico; si tratta del sapere storicizzato, accademico e della ricerca matematica.
Qual è il campo di studi della didattica della matematica?
Secondo Brousseau sono i fenomeni legati all'attività di insegnamento riguardanti in modo specifico il sapere insegnato.
-
Per Laborde ciò che noi chiamiamo didattica della matematica in Francia riguardo allo studio dei rapporti tra insegnamento ed apprendimento nei loro aspetti che sono
specifici della matematica.
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Per Margolinas , Oggetto di studio di questo campo scientifico e il sistema didattico (insegnante-allievo-sapere).
-
Nonostante le diversità espressive le tre precedenti definizioni possono essere considerate equivalenti e ci portano quindi ad occuparci del sistema didattico.
Il funzionamento del sistema didattico
Nonostante alcuni studi mettano l'accento su una sola delle componenti di questo sistema, esso è da considerarsi come un tutto inscindibile. Le sue componenti devono essere
studiate all'interno di una disciplina specifica, la didattica della matematica.
L'insegnante fa parte del sistema didattico ed è perciò oggetto di studio.
Il lato Sapere Insegnante: Trasposizione didattica del sapere
La Trasposizione didattica, ideata da Chevellard, che per primo ne ha fatto l'analisi in didattica della matematica. Consiste dal punto di vista dell'insegnante nel costruire
le sue lezioni attingendo dalla fonte dei saperi matematici tenendo conto degli orientamenti forniti dalle istituzioni e dai programmi, per adattarli alla propria classe:
livello degli allievi, obiettivi perseguiti.
Il lato insegnante - allievo
Difficoltà intrinseche della matematica: astrazione
Gli oggetti della matematica sono completamente astratti e non hanno alcun legame con il mondo reale a parte il fatto di essere astratti dalla realtà.
La matematica insegnata a scuola richiede in modo abbastanza categorico che gli allievi siano preparati al pensiero astratto. Si può dire che essa si dedichi quasi esclusivamente a
questo. Così le teorie matematiche hanno il loro fondamento più sul terreno logico che empirico. Inoltre l'insegnamento della matematica non può essere ristretto ad una trasmissione di
informazioni o ad una raccolta di fatti. Gli allievi devono capire e usare la loro conoscenza.
Il linguaggio matematico:
Utilizza una grande quantità di termini tecnici e di simboli.
-
Utilizza termini assenti dal linguaggio quotidiano come vettore, commutativo o con un significato diverso, angolo.
-
Utilizza termini presenti nel linguaggio comune ma con un significato diverso e questo può creare una sorta di interferenza di significato.
-
È molto conciso, informazione molto densa in poche parole o simboli.
-
Vi chiederò come i tre lati possono essere utili alla professione del docente, sono tre differenti sfaccettature di un rapporto privilegiato. Questi tre lati sicuramente possono aiutare il
nostro lavoro. La mia grande curiosità viene dal tirocinio a scuola.
Nascita del contratto didattico
Brousseau (1986), ha introdotto il concetto di contratto didattico. A differenza del contratto pedagogico che contiene i diritti e i doveri di docenti e di studenti, il contratto didattico pone al centro le aspettative
spesso implicite che la situazione didattica e le convenzioni pongono al docente e allo studente. Brousseau definisce il contratto didattico come l'insieme dei comportamenti, specifici delle conoscenze insegnate,
del maestro che sono attesi dall'allievo e l'insieme dei comportamenti dell'allievo che sono attesi dal maestro. Queste attese non sono dovute ad accordi espliciti ma sono progressivamente tacitamente costruite
nel corso della prassi didattica in relazione ad azioni abituali. Ciò induce la creazione di routine scolastiche responsabili spesso di disfunzionamento della relazione didattica. Se l'insegnante nel corso di alcune
settimane interroga gli studenti sempre nello stesso giorno per esempio il lunedì è possibile che nell'allievo si crea le convinzioni implicita che da quel momento in poi sarà sempre così. Una modificazione di
questa abitudine da parte dell'insegnante viene giudicata inopportuna o addirittura ingiusta dall'allievo perché non rientra nelle sue attese nel sistema di accordi impliciti che crede di aver stipulato con lui.
Quello tra insegnante e studente è una sorta di contratto.
La problematica del contratto didattico è particolarmente rilevante nella didattica della matematica in quanto la natura delle prestazioni matematiche è molto varia e quindi la scelta del comportamento
intellettuale è più adatto in ogni circostanza è assai impegnativa con il rischio inevitabile che l'allievo soprattutto quel nome più insicuro si interroghi non su cosa conviene fare ma su cosa l'insegnante si aspetti
che io faccia.
Rompere il contratto
E' nella rottura del contratto cioè ciò che non può comparire come condotta esplicita cioè le attese specifiche dell'insegnante, piuttosto che nell'adeguamento alla ripetizione di modalità che si realizza
l'apprendimento. Rompere il contratto didattico significa ammettere che le regole sono cambiate e far evolvere la propria conoscenza adeguandola ad una nuova situazione.
Il triangolo della didattica, è un nodello che schematizza il processo di insegnamento-
apprendimento. Questo modello aiuta a riflettere sulla dinamica complessa tra chi insegna, chi
impara e ciò che viene insegnato. Questi tre vertici sono interconnessi da relazioni dinamiche
evidenziando come il sapere non sia una mera trasmissione di contenuti, ma un complesso
processo di trasformazione e adattamento per renderlo comprensibile e interiorizzabile dallo
studente.
E' un modello teorizzato dal matematico Chevallard, per andare a spiegare le relazioni all'interno
del processo insegnamento-apprendimento. Come tutti i triangoli ha 3 vertici che
rappresentano, l'insegnante, lo studente, e il sapere che deve essere comunicato. Questi tre
vertici sono legati da tre relazioni didattiche fondamentali. La prima è quella insegnante e
sapere, e risponde alla domanda come devo insegnare? Come devo trasmettere il sapere e
trasformarlo affinchè i ragazzi lo possano capire, l'insegnante deve conoscere quello che deve
spiegare e deve trovare il modo esatto per poterlo comunicare ai suoi alunni; la seconda è la
relazione docente-alunno e risponde alla domanda come devo insegnare? Quali strategie devo
utilizzare per favorire l'apprendimento? riguarda feedback e gestione della classe. La terza
relazione è tra studente e sapere, cosa capisce lo studente? Quali sono le attività anche pratiche
che favoriscono l'apprendimento? come lo studente fa propri gli strumenti che impara in classe
e li rielabora, e poi li sa riutilizzare.
Questo modello è importante perché evidenzia come il sapere non è solo trasmissione di
contenuti ma tutto il lavoro che c'è per trasformare il sapere in qualcosa che possa essere
compreso e possa essere ritenuto dagli alunni. Mette in relazione dinamica tutti gli aspetti, chi
insegna, chi impara e ciò che viene insegnato e che deve essere imparato. Ma è anche utile per
riflettere e valutare i vari percorsi didattici.
Il triangolo didattico è un modello sistemico che serve ad individuare e analizzare i diversi rapporti che si instaurano tra i tre soggetti che fungono da vertici del triangolo:
Il sapere inteso come quello accademico universitario che rappresenta il polo epistemologico
-
L'allievo rappresenta il polo genetico o psicologico
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L'insegnante rappresenta il polo funzionale o pedagogico
-
Quello della trasposizione didattica è un processo che allude metaforicamente al situare altrove cioè ad uno spostamento non rettilineo in conseguenza del quale sapere cambia caratteristiche e forma,
anche in base al ruolo svolto da ogni soggetto coinvolto nella relazione di insegnamento apprendimento. Il concetto di trasposizione didattica fu coniato per la prima volta nei 1985 da Chevallard, data la
definizione di trasposizione come passaggio da un oggetto all'altro, si giunge alla conclusione che l'oggetto di insegnamento a volte addirittura il risultato di una creazione didattica.
La trasposizione di dati che è un processo di mediazione fondamentale che rende la conoscenza specialistica accessibile agli studenti trasformandola in un oggetto di insegnamento attraverso la selezione
la semplificazione e la rielaborazione dei contenuti. È una sorta di processo di trasformazione di un sapere sapiente in un sapere insegnato ovvero di un contenuto adatto ad essere trasmesso è appreso
all'interno di un contesto scolastico.
Per trasposizione didattica si intende un lavoro di adattamento di trasformazione del sapere in oggetto di insegnamento in funzione del luogo del pubblico e delle finalità didattiche ci si pone. La
trasposizione didattica consiste nel costruire le proprie lezioni attingendo dalla fonte dei saperi per adattarli alla propria classe. Trasposizione significa estrarre un elemento di sapere dal suo contesto per
ricontestualizzare nel contesto sempre singolare della propria classe. Si parla di trasposizione quando avviene un processo che si compie quando da elementi di sapere esperto diventano a sapere
insegnato.
Un conto è sapere una nozione e un conto è sapere descriverla da altri. Il sapere da insegnare è frutto o un filtraggio della scelta epistemologica da parte dell'insegnante.
L'età del capitano è un fenomeno didattico studiato da Brousseau e da Stella Baruk (Un'insegnante di francese, matematica, autrice e pedagogista di origine iraniana), In cui uno studente calcola una
soluzione numerica per un problema che in realtà non ha una soluzione numerica utilizzando dati irrilevanti dell'enunciato, come nell'esempio classico della nave del capitano in cui si chiede l'età del
capitano ma si forniscono dati come il carico e il porto di destinazione. Il concetto di contratto didattico fu introdotto per descrivere le regole implicite che governano l'interazione tra l'insegnante e
l'allievo e l'effetto dell'età del capitano evidenzia che nell'ambiente scolastico gli allievi sono portati a cercare una soluzione numerica anche quando la domanda è insensata perché è un
comportamento che si aspettano dal contesto scolastico come descritto nella teoria del contratto didattico. Gli Studenti o vivono passivamente le consuetudini oppure hanno il coraggio di alzarsi e dire
Professore questo esercizio non ha senso, ROMPENDO DI FATTO IL CONTRATTO DIDATTICO, facendo capire che quella consuetudine che tutti noi abbiamo, o convinzioni non sono del tutto vere,
perché non tutti gli esercizi portano ad una soluzione di senso compiuto. Vi è una netta differenza tra consuetudine e ribellione, che si ha quando qualcuno si accorge che quella cosa non ha senso e si
crea la frattura cognitiva.
EFFETTO TOPAZE= È un costrutto di Brousseau, il nome è tratto dal titolo della commedia a tuo padre di Marcel Pagnol, andate in scena per la prima volta nel 1928. Con questo termine viene
indicato il caso dell'insegnante che non mostra attenzione verso l'apprendimento dell'allievo ma vuole fare in modo che si raggiunga comunque l'obiettivo prefissato indipendentemente dalle
modalità in cui ciò avviene e dalla qualità della comprensione da parte dell'alunno. Brousseau Descrive una situazione in cui l'insegnante si concentra sul raggiungimento di un obiettivo prefissato
piuttosto che sulla qualità della comprensione dell'allievo ricorrendo anche a domande guida che suggeriscono la risposta corretta. Il termine deriva dalla commedia teatrale di Marcel Pagnol in cui
il protagonista topaze promuove un allievo senza che questi abbia realmente imparato soddisfacendo le aspettative di tutti senza che vi sia una vera conoscenza. Nell'effetto Topaze la risposta è
contenuta nella domanda; Nell'effetto topaze tutti sono contenti al momento però il problema verrà dopo perché il ragazzo non ha imparato nulla. Topaze docente di una scuola privata, faceva
molto bene il suo mestiere, si accorgeva che nonostante lui facesse bene il suo mestiere gli studenti, non seguivano le indicazioni del docente, poiché scuola privata…., non studiavano……, Topaze
fu costretto a suggerire le risposte in modo tale che gli studenti rispondessero.
Il Modello
Per modello intendiamo l'insieme delle immagini mentali elaborate e tutte relative ad un certo concetto che costituisce dunque il modello mentale interno del concetto stesso.
Farsi un modello di un concetto significa rielaborare successivamente in immagini per giungere ad una di esse definitiva che sia forte e stabile.
Ci sono due possibilità:
il modello si può formare nel momento giusto ovvero si tratta del modello corretto proprio quello che l'insegnante e auspicava e quindi l'azione didattica ha funzionato e lo studente si è costruito il
modello corretto.
-
Il modello si forma troppo presto quando ancora rappresenta solo un'immagine che avrebbe dovuto essere ulteriormente ampliata e a questo punto non è facile raggiungere la stabilità.
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Da quando si focalizza un modello nel nostro intelletto passano diversi modelli intermedi, che nascono da una serie di fratture. Può capitare che un modello che avevamo pensato non valesse più. Il
modello finale che raggiugiamo è la somma di tanti modelli intermedi. Il modello si scontra con un nuovo esercizio. Le mie sicurezze vengono distrutte, e la mia mente ha la necessità di creare un nuovo
modello, che migliora il primo modello che avevo in testa. Magari il primo modello si era forato troppo velocemente e non mi ha dato la possibilità di poterlo utilizzare e allora lo sostituisco. Il modello
ordinale è la somma di tanti modelli intermedi.
Il modello parassita è una Misconcezione o un'idea intuitiva errata che lo studente sviluppa che si aggrappa alla sua comprensione di un concetto matematico diventando difficile da sradicare.
Il concetto di misconcezione si deve sempre collegare al concetto di modello.
Proporre agli esami un discorso articolato sul concetto di misconcezione, modello, ostacolo.
ERRORI COME APPRENDIMENTO
Fraintendimento = MISCONOSCENZA
Non significa che il docente ha detto delle cose sbagliate. Non significa che lo studente non ha capito ciò che ha detto il docente, ma significa che nella trasposizione didattica, tra il docente e il discente
nascono dei fraintendimenti, non volutamente ma a causa della trasposizione didattica.
sono concezioni errate o idee sbagliate che gli studenti hanno riguardo a concetti matematici, spesso derivanti da modelli intuitivi parassiti o da didattica inadeguata.
I modelli intuitivi parassiti sono dei modelli incompleti o inaccurati.
Misconcezioni
Una Misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare. Essa però non va vista sempre come una situazione del tutto negativa infatti, non è escluso che per
poter raggiungere la costruzione di un concetto si renda necessario passare attraverso una misconcezione momentanea ma in corso di sistemazione.
Spesso all'origine della misconcezione c'è una mancata comprensione oppure una errata interpretazione.
Le Misconcezioni si possono interpretare come delle concezioni momentanee non corrette in attesa di sistemazione cognitiva più elaborata e critica. Però dobbiamo fare attenzione perché lo studente non
lo sa e quindi ritiene che quelle sono delle concezioni vere e proprie dunque in questo caso è l'adulto che deve proporre degli strumenti che possano favorire una elaborazione critica, perché chiamarle
errori sarebbe troppo semplicistico e banale perché non dobbiamo punire o valutare negativamente.
Immagini e modelli
Immagine mentale e il risultato figurale o proposizionale prodotto da una sollecitazione interna o esterna. L'immagine mentale è condizionata da influenze culturali stili personali in poche parole è
prodotto tipico dell'individuo ma con costanti e connotazioni comuni tra individui diversi.
L'insieme delle immagini mentali elaborate e tutte relative ad un certo concetto costituisce un modello mentale interno del concetto stesso. Farsi un modello di un concetto significa rielaborare
successivamente immagini, deboli e instabili, per giungere ad una di esse in modo definitiva forte e stabile.
Quando un'insegnante propone un'immagine forte e convincente confermata da continui esempi ed esperienze di un concetto, l' immagine si trasforma in un modello intuitivo.
Quarta Lezione 7 Ottobre 2025
Quando si parla di approccio al numero ci sono 2 parole che dobbiamo approfondire :
CONTA, operazione prescolare
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CONTEGGIO, operazione scolare
-
Sembrano sinonimi ma non lo sono. Nella CONTA non si ha contezza di ciò che significa numero e non si ha contezza di ciò che significa ordinamento.
APPROCCIO ORDINALE: ORDINE i bambini riescono a capire non solo che il simbolo rappresenta un numero e cominciamo a leggerlo, ma tramite l'approccio ordinale noi insegnanti, collochiamo questi
numeri all'interno di una retta. Numeri che prima erano descritti in modo inconsapevole, diventavano degli oggetti, che rappresentano qualcosa, e si possono collocare in modo spaziale su una retta.
Facendo capire che il numero non è qualcosa di disordinato (approccio prima quantitativo non qualitativo).A scuola l'approccio diventa qualitativo perché l'insegnante si sforza di far capire che il 4 si
disegna in un certo modo e che rappresenta l'insieme delle 4 zampe di un gatto, i piedi di una sedia, non è più un numero che descrive qualcosa di inconsapevole ma diventa un ente a tutti gli effetti
che porta alla conoscenza di questa versione ordinata di numeri. Con la retta spieghiamo ai bambini cosa significa unità di misura, cosi nasce il concetto di distanza. Ad ogni numero corrisponde un
simbolo, e ad ogni simbolo una parola. Se dico 123, 1 centinaia 2 decine 3 unità.
La matematica diventa quanto più chiara quanto all'interno della nostra mente si crea dell'ordine.
Piaget "La Genesi del numero nel Fanciullo" libro pubblicato nel 1968, Piaget professore di logica e di psicologia all'università di Ginevra (non è un matematico) troppo spesso il matematico non riesce a
rendersi conto secondo Piaget delle difficoltà che incontra il ragazzo nell'afferrare i concetti e ragionamenti a determinate età. L'iniziazione al calcolo porta a considerare due concetti ovvero il numero e
la misura. Il Piaget vuole provare che queste due nozioni si formano insieme passando attraverso stadi paralleli e che per afferrarne appieno il significato occorre una sintesi di operazioni logiche.
Molto spesso ci sembra che il bambino abbia chiara l'idea di un numero intero almeno dei primi numeri e invece questo concetto gli sfugge perché l'idea che ha il bambino è semplicemente una
comprensione spaziale. Se si mostrano al bambino sei gettoni blu e si dispongono allineati e gli si dà poi una collezione di gettoni Rossi di uguale grandezza dicendogli di trovare tanti punti Rossi quanti
quelli blu i più piccoli verso i quattro anni e mezzo giudicano la quantità dello spazio occupato e disporranno in riga una serie di gettoni Rossi ravvicinati uno all'altro in modo da occupare la stessa
lunghezza dei blu. Questo stadio è stato presto superato e così il bambino riesce a fare una corrispondenza perfetta disponendo ogni gettone rosso sotto a uno blu.
Come fa il bambino ad arrivare a costruire delle equivalenze permanenti e a comprendere il vero concetto di numero? Innanzitutto grazie alla conservazione del tutto condizione che è verificata solo se il
bambino ha la nozione che il tutto è un insieme di parti che si possono disporre a piacere e il bambino deve dunque comprendere la relazione delle parti al tutto e poi la comprensione del numero come
ordinale infatti nel campo numerico limitato il numero ordinale corrisponde sempre al numero cardinale quindi bisogna studiare a fondo quella che piange e chiama la seriazione, cioè il modo con cui il
bambino ordina una serie di elementi. Quindi secondo piagge il numero non è accessibile al fanciullo se non dopo una sintesi di operazione logiche.
Solo intorno ai 7 anni emerge la consapevolezza della permanenza della corrispondenza biunivoca al variare della collocazione spaziale degli oggetti. I bambini nello stadio preoperatorio cioè dai 2 ai 7
anni non possiedono il principio di conservazione quindi non si rendono conto che la quantità di una certa sostanza non cambia al cambiare della sua forma.
Piagge indaga la corrispondenza di univoca nello specifico nella corrispondenza fra oggetti eterogenei ma qualitativamente complementari e si tratta di una corrispondenza provocata dalle circostanze
stesse tra gli esperimenti più importanti ricordiamo uovo porta uovo, bicchiere bottiglia, fiore vaso (corrispondenza biunivoca), es. ad ogni tazzina corrisponde un piattino, ad ogni piattino corrisponde
una tazzina, bisogna maturarlo questo concetto.
L'acquisizione del concetto di numero non è così semplice, dice Piaget, quindi secondo lo studioso l'acquisizione del concetto cresceva con la crescita dello studente, intorno ai 7 anni.
Piaget considera la conservazione della quantità un prerequisito indispensabile per l'apprendimento della matematica. Cos'è la conservazione della quantità? La capacità di astrarsi da indizi superficiali
quali la forma, la densità dello spazio occupato dagli oggetti di più insiemi per stabilire relazioni di confronto di tipo quantitativo. La conservazione della quantità costituisce una condizione necessaria per
qualsiasi attività razionale e in particolare per il pensiero aritmetico. Lettera C =terza lettera dell'alfabeto. L'ordine c'è anche nelle lettere.
Grazie al principio della conservazione della quantità, il bambino riesce ad individuare una corrispondenza biunivoca tra più insiemi. Confrontare due quantità presuppone la nozione dell'unità. Piaget
approfondì l'apprendimento della matematica nei bambini, in modo particolare indago molto sulla conservazione della quantità, egli sostiene che i bambini nello stadio preoperatorio ovvero dai 2 ai 7 anni
non possiedono il principio della conservazione, ovvero non si rendono conto che la quantità di una certa sostanza non cambia al cambiare della forma.
Per Piaget il concetto di numero non era innato, insito nella persona, ma appariva ad un certo punto della nostra vita. Il concetto di numero si evolveva con l'età anagrafica dello studente. Questa teoria
è stata approvata fino al 1970 (scuola piagetana), successivamente fu negata dalla comunità scientifica. La comunità scientifica criticava fortemente Piaget sostenendo che il concetto di numero
rappresenta una proprietà innata, della persona. Ciò significa che appena nasciamo abbiamo delle conoscenze matematiche che nascono dal nostro essere.
APPROCCIO CARDINALE: MISURA cardinalità significa dimensione dell'insieme. La cardinalità e il numero di elementi di un insieme che può essere pensato come la quantità degli oggetti presenti. Questo
concetto è fondamentale per il senso della cardinalità che è una delle competenze chiave per la comprensione dei numeri perché è legata all'idea di tanti quanti ed al processo di contarli. I numeri
cardinali restituiscono la misura di un insieme.
IL PROBLEMA
Rosetta Zan: secondo la Zan i problemi sono eteroposti, cioè chi formula il problema è differente da chi lo deve risolvere. Chi formula il problema è diverso da chi è chiamato a risolverlo. Quindi il testo lo
devo capire, non basta estrapolare i dati, bisogna capire come estrapolare i dati. Una volta che ho capito il testo ed estrapolato i dati qual è la difficoltà che incontra lo studente? Il problema in
matematica non diventa solo computazionale, ma diventa principalmente un problema linguistico e di comprensione del testo.
Perché non basta estrarre i dati del problema? ma bisogna educare i nostri studenti verso uno studio consapevole della matematica. Uno degli errori più usuali che si fa nelle classi, è quando lo studente
non riesce a visualizzare il problema.
ERRORE= secondo D'Amore, l'errore è il malessere cognitivo. D'Amore attribuisce all'errore quasi un malessere fisico, quasi fosse un raffreddore, qualcosa che ci manca in quel preciso momento.
Un errore se trattato correttamente può diventare fonte di apprendimento. Quando si parla di errore un ruolo chiave lo gioca l'età. Quando capita di compiere un errore, soprattutto alla nostra età
l'errore diventa apprendimento. Perché mettiamo la nostra maturità nel capire come abbiamo commesso l'errore e non lo rifacciamo. E ci chiediamo anche il perché lo abbiamo commesso. Quell'errore
così diventa apprendimento significativo perché non si rifà più, perché ho capito il motivo per cui l'ho commesso e l'ho superato. Questo si chiama apprendimento dal punto di vista pedagogico. Non è
andare a dire hai sbagliato non capisci niente, non è questa la scuola che vogliamo.
Errore sistematico è un errore che si ripete sempre uguale. Non tutti gli errori quindi sono gli stessi, e non tutti gli errori vengono valutati in modo analogo. Noi dobbiamo portare l'alunno a correggere
l'errore che ha fatto , come? Possiamo farlo solo comprendendo il tipo di errore. Se l'errore è di tipo sistematico, io devo fare esercizi per rendere sempre più robusta, la preparazione di quella persona
per superare le difficoltà. Noi dobbiamo accompagnare gli studenti nella risoluzione degli esercizi fino a lasciarli andare da soli, un po' come imparare la bici, prima 2 rotelle poi una….gradualmente.
L'errore non ci deve spaventare è solo un campanello d'allarme. Il docente in questo caso si mette in discussione lui per primo, se ha trasmesso in modo corretto il sapere o ha creato un fraintendimento.
Oppure dobbiamo cercare di capire se il nostro studente ha in testa un modello parassita, un modello sbagliato, che va sostituito che va modificato. Ci deve essere qualcosa che va analizzato.
Quinta lezione 8 Ottobre 2025
LE MISCONCEZIONI possono indurre un immagine sbagliata di ciò che stiamo spiegando.
Le misconcezioni sono un tema di forte rilevanza didattica della matematica per capire cosa si intende con questo termine possiamo riportare le parole di D'amore…" una misconcezione è un concetto
errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare essa però non va vista sempre come una situazione del tutto o certamente negativa non è escluso che per poter raggiungere la
costruzione di un concetto si renda necessario passare attraverso una concezione momentanea ma in corso di sistemazione."
Le immagini deboli e instabili che uno studente si fa di un determinato concetto possono essere in certi casi delle vere e proprie misconcezioni cioè interpretazioni errate delle informazioni ricevute.
Queste misconcezioni essendo in continua evoluzione nella complessa scalata verso la costruzione di un concetto non sempre risultano di ostacolo all'apprendimento futuro degli allievi a meno che esse
non diventino forti e stabili modelli erronei di un concetto. In questo caso la stabilità del modello costituisce un ostacolo al futuro apprendimento. Per chiarire ciò che intendiamo facciamo nostra la
distinzione tra immagine e modello riportata in D'amore.
" Farsi un modello di un concetto dunque significa rielaborare successivamente immagini deboli e instabili, per giungere ad una di esse definitiva, forte e stabile."
Dal punto di vista didattico quando un'insegnante propone un'immagine forte convincente persistente e addirittura univoca di un concetto l'immagine si trasforma in un modello intuitivo e quindi si crea
una sorta di rispondenza diretta tra la situazione proposta ed il concetto matematico che si sta utilizzando ma questo modello potrebbe non rispecchiare e sapere matematico nato in gioco generando
così un modello parassita che vincola l'apprendimento futuro. Più forte è il modello intuitivo più difficile sarà infrangerlo per assimilare e accomodare una nuova immagine più comprensiva del concetto.
In questi casi le misconcezioni che potrebbero non essere considerate in senso negativo se viste e proposte come momento di passaggio diventano forti ostacoli per i successivi apprendimenti difficili da
essere superati.
Misconcezioni inevitabili ed evitabili
Noi insegnanti dobbiamo andare più in profondità nell'esposizione di un concetto. Evitabili perché con un po' più di attenzione non si sarebbe creata nessuna misconoscenza, serve solo più tempo e più
attenzione; inevitabili perché avvengono per motivi didattici.
Le misconcezioni inevitabili
Le mie concezioni inevitabili sono quelle che derivano solo indirettamente dalla trasposizione didattica effettuata dall'insegnante in quanto sono una conseguenza dall'esigenza di dover dire e mostrare
qualcosa per poter spiegare un concetto.
Le misconcezioni inevitabili non dipendono direttamente dalla trasposizione didattica effettuata da docente né dall'ingegneria didattica ma dalla necessità di dover dire e mostrare qualcosa per poter
spiegare un concetto che non potrà mai essere esaustivo di ciò che si sta proponendo anche a causa delle caratteristiche ontogenetiche legate alla allievo. Queste misconcezioni sono quindi imputabili
alla necessità di dover partire da un certo sapere iniziale da dover necessariamente comunicare in modo non ineccepibile. In questo caso le mie concezioni possono essere viste come inevitabili momenti
di passaggio nella costruzione dei concetti, che derivano dalle rappresentazioni che gli insegnanti sono costretti a fornire per poter iniziare la presentazione di un concetto, rappresentazioni che
potrebbero contenere delle informazioni ancora non del tutto corrette del concetto matematico che si vuole trattare.
Esempio: quando un'insegnante mostra per la prima volta ad un bambino di scuola dell'infanzia o un modello di cubo rosso di legno di una certa dimensione e gli dice guarda questo è un cubo il bambino
potrebbe credere che il cubo deve essere sempre rosso di legno di quelle determinate dimensioni e tutte queste informazioni percettive nel contesto della matematica sono avvertite come parassite
potrebbero essere invece quelle considerate dall'allievo come caratterizza anche l'oggetto del quale si sta parlando essendo più percepibili e immediate. Sono inevitabili perché sono dei momenti di
passaggio che derivano dalla rappresentazioni che gli insegnanti sono costretti a fornire per poter rappresentare un concetto che potrebbero contenere delle informazioni parassite rispetto al concetto
matematico che si vuole trattare.
Nell'affermare che nel presentare un concetto si è costretti a fare i conti con rappresentazioni realizzate per mezzo di disegni ossia con la semiotica stiamo affermando in linea con il pensiero di Duval che
non c'è nessuna acquisizione concettuale di un oggetto senza la rappresentazione realizzata per mezzo disegni ovvero senza semiotica quindi in matematica necessariamente l'acquisizione concettuale di
un oggetto passa attraverso l'acquisizione di uno o più rappresentazioni semiotiche, eppure qualsiasi rappresentazione quindi un disegno una frase un grafico un modello tridimensionale non avranno mai
le caratteristiche concettuali di astrattezza idealità perfezione e generalità tipiche della matematica e questo potrebbe essere la fonte di quelle misconcezioni che abbiamo chiamato inevitabili. Tuttavia
dovendo fare i conti con la semiotica di un concetto potrebbe accadere che lo studente confonda la semiotica con la noetica ovvero con l'acquisizione concettuale di un oggetto associando le
caratteristiche peculiari della specifica rappresentazione al concetto stesso. L'inevitabilità del passaggio attraverso la semiotica cioè attraverso la rappresentazione realizzata per mezzo disegni rende le
misconcezioni inevitabili. Inizialmente quella allievo di scuola dell'infanzia potrebbe credere che il cubo debba essere rosso o di legno di quella dimensione tutte caratteristiche che derivano dalla
semiotica cioè dall'immagine che è stata proposta e dall'associazione della rappresentazione al concetto ma se l'insegnante avrà in seguito la sensibilità didattica di creare le condizioni per superare
queste misconcezioni mostrando modelli di cubi di legno nonno Rossi non di quelle dimensioni per poi fornire nel tempo diverse rappresentazioni in vari registri il bambino lentamente compirà dei passi in
avanti nella costruzione del concetto ampliando le vecchie immagini misconcezioni fino a creare una nuova immagine in grado di contemplare tutte le successive sollecitazioni che gli verranno proposte.
Ossia lentamente lo studente annullerà i tratti distintivi dell'oggetto che non lo caratterizzano dal punto di vista matematico per puntare l'attenzione su quelli che invece lo rappresentano in questo
contesto in questo modo l'insegnante eviterà il formarsi di modelli parassiti nella mente dello studente.
Al contrario se l'insegnante mostrerà all'allievo sempre la stessa rappresentazione del concetto senza pensare alle conseguenze che questa scelta potrebbe comportare si potrebbero verificare ostacoli di
tipo didattico per il futuro apprendimento in quest'ultimo caso le misconcezioni sono chiamate evitabili.
Le misconcezioni evitabili
Lei misconcezioni evitabili derivano direttamente dalla trasposizione didattica del sapere in quanto sono una diretta conseguenza delle scelte degli insegnanti. Le misconcezioni evitabili dipendono invece
proprio dalle scelte che l'insegnante fa per effettuare la trasposizione didattica e scelte riguardanti l'ingegneria didattica. Queste misconcezioni sono state assai studiate sembrano dipendere dalla prassi
scolastica minata da improprie consuetudini proposte dagli insegnanti ai propri allievi capita infatti spesso che a complicare l'apprendimento dei concetti matematici incidano le decisioni prese
dall'insegnante a volte derivanti dalle proposte della noosfera quindi dai libri di testo dai programmi di fornire all'allievo giorno dopo giorno sempre e solo univoche rappresentazioni convenzionali che
vengono così accettate ciecamente dall'allievo come univoche e anzi obbligate a causa del contratto didattico instaurato in classe e del fenomeno di scolarizzazione. Le continue e univoche sollecitazioni
fornite dall'insegnante fanno sì che lo studente confonda la rappresentazione proposta con il concetto matematico che si vuole far apprendere lo studente non sa che sta apprendendo segni che stanno
per concetti e che dovrebbe invece apprendere concetti se l'insegnante non ha mai riflettuto su questo punto crederà che lo studente stia apprendendo concetti mentre questi sta in realtà prendendo
solo a far uso di segni. Ne consegue che occorre didatticamente fare molta attenzione alla scelta ai contesti e alle modalità d'uso dei segni che rappresentano il concetto matematico che si vuole far
apprendere ai propri allievi. Un'attenzione che è spesso sottovalutata o data per scontata.
La ripetitività delle rappresentazioni fornite non rappresenta l'unica causa delle misconcezioni evitabili queste possono dipendere anche dalle rappresentazioni scelte o dall'insegnante stesso.
ERRORE
L'esplicitazione da parte dell'allievo di una misconcezione avviene con quella segnalazione di un malessere cognitivo che si chiama usualmente banalmente errore: lo studente sbaglia cioè non dà la
risposta attesa dall'insegnante. Dare agli errori solo connotazioni negative e non interpretarli come dei segnali di malessere cognitivo è troppo semplicistico e banale: non si tratta solo di valutare
negativamente lo studente che sbaglia si tratta invece di dare gli strumenti necessari per l'elaborazione critica. L'errore come riporta D'amore, non è necessariamente solo frutto di ignoranza ma potrebbe
invece essere il risultato di una conoscenza precedente una conoscenza che ha avuto successo che ha prodotto risultati positivi ma che non tiene alla prova di fatti più contingenti o più generali.
IMMAGINI E MODELLI
L'immagine mentale è il risultato figurale o proposizionale prodotto da una sollecitazione. L'immagine mentale è condizionata da influenze culturali, stili personali in poche parole è prodotto tipico
dell'individuo ma con costanti e connotazioni comuni tra individui diversi. L'immagine mentale e interna ed almeno in prima istanza involontaria. L'insieme delle immagini mentali elaborate più o meno
coscientemente tutte relative ad un certo concetto costituisce il modello mentale interno del concetto stesso.
Farsi un modello di un concetto significa rielaborare successivamente immagini deboli e instabili per giungere ad una di esse definitiva forte e stabile.
Ci sono due possibilità:
-Il modello si forma al momento giusto nel senso che si tratta davvero del modello corretto proprio quello che l'insegnante auspicava per quel tale concetto, quindi l'azione didattica ha funzionato e
lo studente si è costruito il modello corretto del tale concetto.
-Il modello si forma troppo presto quando ancora rappresenta solo un'immagine che avrebbe dovuto essere ulteriormente ampliata e a questo punto non è facile raggiungere il concetto sperato
perché la stabilità del modello è di per se stesso un ostacolo ai futuri apprendimenti.
Quando un'insegnante propone un'immagine forte convincente questa diventa persistente, confermata da continui esempi ed esperienze di un concetto, L'immagine si trasforma in modello intuitivo. C'è
una rispondenza diretta tra la situazione proposta ed il concetto matematico che si sta utilizzando ma questo modello potrebbe non essere ancora quello che del concetto ci si aspetta all'interno del
sapere matematico. Dunque tra i modelli si riserva il nome di modello intuitivo a cui i modelli che rispondono pienamente alle sollecitazioni intuitive e che hanno un'accettazione immediata forte. Si parla
anche talvolta di modelli parassiti. Per esempio avendo gettato il modello intuitivo di moltiplicazione tra numeri naturali ed avendolo erroneamente esteso a tutte le moltiplicazioni, modello intuitivo
rafforzato dalle raffigurazioni schematiche si forma un modello parassita che si può enunciare così: la moltiplicazione accresce sempre deve accrescere sempre. Analogo è il modello parassita della
divisione.
Didatticamente quindi conviene lasciare immagini ancora instabili in attesa di poter creare modelli adatti e significativi vicini a sapere matematico che si vuole raggiungere. Più forte sarà il modello
intuitivo e più difficile sarà infrangerlo per accomodarlo ad una nuova immagine.
Insomma la immagine-mi concezione non deve diventare modello visto che per sua stessa natura è in attesa di definitiva sistemazione. Si tratta allora di non dare informazioni distorte sbagliate, non solo
non darle in modo esplicito ma addirittura evitare che si formino autonomamente per non favorire l'insorgere di modelli parassiti.
OSTACOLO
L'ostacolo non è un vincolo, la misconoscenza non è un errore, ma può portare ad un errore, essa è un fraintendimento, l'errore è quando io compio un errore. L'ostacolo è legato allo studente alla sua
maturità, alla scelta strategica del docente, alla natura stessa dell'argomento.
La parola ostacolo segnala in origine qualche cosa che si oppone ad un cammino anche in senso figurato o metaforico che costituisce un impedimento oppure un contrasto. In una prima approssimazione
sembrerebbe indicare qualcosa di negativo in assoluto. Nel caso della costruzione di conoscenza dunque corrisponderebbe in modo ingenuo a qualche cosa che impedisce o tenta di impedire tale
costruzione.
Brousseau Ci ha insegnato dal 1976 che è ostacolo non è necessariamente una mancanza di conoscenza bensì una conoscenza. Questo modo di intendere il termine ostacolo fu ripreso poi
successivamente dagli studi filosofici di bachelard. Da ostacolo funziona un'idea che al momento della formazione di un concetto è stata efficace per affrontare dei problemi anche solo cognitivi
precedenti ma che si rivela fallimentare quando si tenta di applicarla ad un problema nuovo. Visto il successo ottenuto si tende a conservare l'idea già acquisita e comprovata e nonostante il fallimento si
cerca di conservarla ma questo fatto finisce con l'essere una barriera verso successivi apprendimenti ed in particolare Brousseau fornisce alcune caratteristiche degli ostacoli:
-Bisogna saper tenere presente che un ostacolo non è una mancanza di conoscenza ma una conoscenza
-L'allievo usa questa conoscenza per dare risposta adatta in un contesto noto già incontrato
-Se l'allievo tenta di usare questa conoscenza fuori dal contesto noto già incontrato fallisce generando risposte scorrette ci si accorge allora che si necessita di punti di vista diversi
-L'ostacolo produce contraddizioni ma lo studente resiste a tali contraddizioni sempre allora necessitare di una conoscenza più generale maggiore e più approfondita che generalizzi la situazione nota
e risolta e che comprenda la nuova nella quale si è fallito, bisogna che questo punto venga reso esplicito e che lo studente se ne renda conto.
-Anche una volta superato in modo sporadico l'ostacolo riappare.
L'errore dunque non è necessariamente solo frutto di ignoranza ma potrebbe invece essere risultato di una conoscenza precedente una conoscenza che ha avuto successo che ha prodotto risultati
positivi ma che non tiene alla prova di fatti più contingenti o più generali.
MODELLI INTUITIVI
Si riserva il nome di modello intuitivo a quei modelli che rispondono pienamente alle sollecitazioni intuitive e che hanno dunque un'accettazione immediata forte, il livello intuitivo si riferisce alla dinamica
dell'accettazione soggettiva di un enunciato matematico come cosa evidente è certa.
Misconoscenza è una interpretazione erronea, un malinteso.
Rosetta zan in un testo del 1998 parla di misconcezioni come causa di errori: le convinzioni specifiche scorrette (misconception) sulla matematica sono quelle responsabili di errori che si presentano in
forme diverse ed in contesti diversi. Si tratta spesso di convenzioni implicite di cui cioè il soggetto non è consapevole e per questo agiscono in modo ancora più subdolo e sottile. La stessa autrice
afferma che mi concetti misconcezioni o concezioni errati o fraintendimenti sono termini italiani utilizzati in letteratura in corrispondenza del termine inglese Misconception.
Fin dagli anni 70 fece ingresso nel mondo della ricerca in didattica della matematica l'idea di
contratto didattico lanciata da Brousseau, che si rilevò subito fruttifera e che venne
definitivamente sancita dalle sue ricerche dei primi anni 80. Furono poi gli studi della seconda
metà degli anni 80 a decretarne il trionfo e la teorizzazione piena. Ad essi partecipavano vari
studiosi di tutto il mondo, e li deve prima riconosciuta ed entrava a far parte del linguaggio
condiviso dell'intera comunità internazionale. Uno dei primi tentativi di definire il contratto è il
seguente " in una situazione di insegnamento preparata e realizzata da un'insegnante l'allievo ha
generalmente come compito di risolvere un problema matematico che gli è presentato, mah
l'accesso a questo compito si fa attraverso un'interpretazione delle domande poste, delle
informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare del maestro.
Queste abitudini specifiche del maestro attese dall'allievo ed i comportamenti dell'allievo attesi
dal docente costituiscono il contratto didattico. Spesso queste attese non sono dovute ad accordi
espliciti imposti dalla scuola o dagli insegnanti o concordati con gli allievi ma alla concezione della
scuola della matematica alla ripetizione di modalità.
Uno degli studi più noti è quello che va sotto il nome di l'età del capitano. Bruno d'amore lo ha
vissuto personalmente in la classe quarta elementare dove l'età degli allievi è intorno ai 9 10
anni, ah la classe a proposito il problema celeberrimo del capitano, nel quale il capitano diventa
un pastore…. Un pastore ha 12 pecore e sei capre quanti anni ha il pastore?"
In coro con sicurezza e tutti senza eccezioni o riserve i bambini hanno dato la risposta attesa 18.
Di fronte allo sgomento della maestra d'amore ha reagito spiegando che si tratta di un fatto
legato al contratto didattico lei non aveva mai dato problemi senza soluzione o impossibili
dunque i bambini avevano introdotto nel contratto didattico una clausola in base alla quale se la
maestra ci dà un problema questo deve essere risolto certamente.
E poiché vige un'altra clausola micidiale secondo la quale i dati numerici presenti nel testo vanno presi tutti e possibilmente nell'ordine in cui compaiono i bambini di quella classe non avevano nessuna altra
possibilità non avevano nessuno scampo dovevano rispondere utilizzando i dati 12 e 6. L'unico imbarazzo stava semmai nella scelta delle operazioni da eseguire. Ora può darsi che quella addizione sia stata
una scelta casuale ma va detto che alla richiesta di D'amore ad un biondino particolarmente vivace di spiegare perché non avesse fatto uso ad esempio della divisione questo ha spiegato che è troppo piccolo
riferendosi ovviamente all'età del pastore…. Gli studi sul contratto didattico sono stati praticati in tutto il mondo e si sono rilevati molto fruttiferi.
Misconcezioni o Misconoscenze rappresentano il FRAINTENDIMENTO DIDATTICO, e possono nascere quando durante la nostra trasposizione didattica, compiamo degli errori, più o meno voluti, possono
essere anche subdoli dettati dal fatto che durante la trasposizione didattica, l'insegnante non è stata brava a trasmetter quel determinato concetto……non rappresentano un errore ma un fraintendimento. La
misconoscenza può indurre un immagine sbagliata di ciò che stiamo spiegando. Gli esercizi servono a consolidare il modello che si è creato nella nostra mente. L'esercizio è una esecuzione statica
dell'algoritmo.
Didattica della matematica + LAB
