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Identità ed equazioni
- Un' identità è un'uguaglianza tra due espressioni
letterali che è vera per qualsiasi valore numerico che si
può attribuire alle lettere.
(x + 2x = 3x è un'identità, perché sempre vera)
- Un' equazione è un'uguaglianza tra due espressioni
letterali che può essere verificata per determinati valori
numerici attribuiti alle lettere. I valori che rendono vera
l'uguaglianza si dicono soluzioni dell'equazione; le
lettere alle quali si sostituiscono i valori si dicono
incognite.
(x + 2 = 2x è un'equazione)
IL Linguaggio delle Equazioni
- In un'equazione si distingue il primo membro (i termini prima del segno =) e il secondo membro (i termini dopo il segno =). Primo membro e secondo membro sono separati dal segno =. 3x + 2 = 2x + 3
- Le lettere che compaiono in un'equazione si dicono incognite. I termini che non contengono le lettere incognite si dicono termini noti.
- Il valore numerico (o i valori) dell'incognita che soddisfano l'equazione si dicono soluzioni. 3x + 2 = 2x + 3 ha per soluzione x = 1, infatti 3·1+2=2·1+
Primo principio di equivalenza
Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un'equazione lo stesso valore numerico e/o letterale, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Carico…
La bilancia e il primo principio
Eliminazione dei termini uguali
Se uno stesso termine compare sia al primo membro dell'equazione sia al secondo membro, è possibile semplificare l'equazione eliminando i due termini uguali. 4x + 5 4x 2x+ 2x +8+ 5 =
Equivalente a
Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo per uno stesso valore numerico e/o letterale (diverso da zero) entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza.
Cambiamento di segno
(conseguenza del Secondo principio di equivalenza) Cambiando il segno a tutti i termini di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. -2x- 2x+12 -6+x 6-x =
Equivalente a
Carico…
Forma normale di un'equazione di primo grado
Usando i principi di equivalenza, un’equazione
che si presenta in forma complessa, si può
trasformare in un’equazione equivalente di
forma più semplice. La forma più semplice in
cui si può trasformare un’equazione di primo
grado è un'uguaglianza tra due monomi del tipo
ax = b , detta di forma normale.
Equazioni indeterminate
Un'equazione si dice indeterminata se ammette un
numero infinito di soluzioni.
Un'equazione di primo grado che ridotta a forma
normale si presenta nella forma 0x=0 è
indeterminata.
ESEMPIO 7x - 3 + 2x = 12x - 3 - 3x Portiamo i termini con la x nello stesso membro e quelli senza x nell'altro membro. 7x + 2x - 12x + 3x = - 3 + 3 Sommiamo i termini simili e otteniamo: 0x = 0 0 = 0 EQUAZIONE INDETERMINATA 0
Equazioni impossibili
Un'equazione si dice impossibile se non ammette soluzioni.
- Un'equazione di primo grado che ridotta a forma normale si presenta nella forma 0x=b, con b≠0 è impossibile perché non ha soluzioni. ESEMPIO 5x + 2 - 3x = 2x + 1 Portiamo i termini con la x a primo membro e quelli senza x al secondo membro. 5x - 3x - 2x = 1 - 2 Sommiamo i termini simili e otteniamo: 0x = - 0 = - EQUAZIONE IMPOSSIBILE
Verifica della soluzione di un’equazione Dopo aver risolto un'equazione è utile controllare se la soluzione trovata con i procedimenti descritti sopra è effettivamente soluzione dell'equazione. Per fare questa verifica, occorre sostituire all'incognita il valore trovato ed effettuare i calcoli: se i due membri dell'equazione sono uguali, la soluzione trovata è soluzione dell'equazione.
