Tecniche Attuariali delle Assicurazioni: Durata Troncata di Vita e Vita Media, Appunti di Matematica Finanziaria

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Tecniche Attuariali delle Assicurazioni

Lezione 4

a.a. 2018/

Durata troncata di vita

L'uso delle tavole di sopravvivenza porta a considerare, invece della variabile aleatoria continua T 0 , la variabile aleatoria discre- ta durata di vita in anni compiuti.Chiamiamo questa variabile durata troncata di vita e la indichiamo con K 0 = bT 0 c

parte intera di T 0 cioè K 0 = k ⇐⇒ k ≤ T 0 < k + 1 per k = 0, 1 , 2 , ... La variabile aleatoria T 0 è continua dunque

P r{k ≤ T 0 < k + 1} = P r{k < Tx ≤ k + 1} Segue che P r{K 0 = k} = P r{k < T 0 ≤ k + 1} = (^) k/ 1 q 0

Vita media incompleta

Quanti anni, in media, l'individuo alla nascita si aspetta di vivere?

Questo numero medio di anni si dice speranza matematica di vita (o vita media) alla nascita ed è il valore atteso della v.a. discreta ottenuta dalla parte intera di T 0 (ossia K 0 ). Si indica con e 0 e si calcola come segue:

e 0 = E(K 0 ) =

ω∑− 1

x=

x · (^) x/ 1 q 0 =

ω∑− 1

x=

x lx − lx+ l 0

l 0

[

1 ·(l 1 −l 2 )+2·(l 2 −l 3 )+3·(l 3 −l 4 )+· · ·+(ω−1)(lω− 1 −lω)

]

l 1 + l 2 + · · · + lω− 1 l 0

l 0

ω∑− 1

x=

lx =

ω∑− 1

x=

xp 0 =

ω∑− 1

x=

S(x)

Vita media completa

L'aggettivo incompleta deriva dal fatto che troncando T 0 si ottiene un valore atteso minore di quello della v.a. T 0.

Se si vuole approssimare meglio il valore atteso di T 0 , pur restando nel modello discreto, si prende il punto medio di ogni intervallo, ottenendo la vita media completa:

e ˙ 0 =

ω∑− 1

x=

x +

x/ 1 q^0 =

ω∑− 1

x=

x · (^) x/ 1 q 0 +

ω∑− 1

x=

x/ 1 q^0

= e 0 +

Vita media e vita media residua

Vale la seguente formula ricorsiva per il calcolo di ex:

ex = px(1 + ex+1)

Infatti ex =

lx+1 + lx+2 + · · · + lω− 1 lx

lx+ lx

lx+1 + lx+2 + · · · + lω− 1 lx+

= px(1 + ex+1) Questa formula, con la condizione eω− 1 = 0, consente di ricavare ex per x = ω − 2 , ω − 3 , ..., 1 , 0.

Segue che

ex < 1 + ex+1 ⇒ x + ex < x + 1 + ex+

cioè l'aspettativa "complessiva" di vita all'età x+1 (pari agli anni già vissuti più la vita media residua: x + 1 + ex+1) è maggiore dell'aspettativa "complessiva" di vita all'età x (pari a x + ex).

Si dimostra quindi che

e 0 < ex + x

e ˙ 0 < e˙x + x

Ad esempio, la speranza di vita alla nascita secondo le tavole ISTAT del 2013 (popolazione maschile) è e 0 = 79, 31 anni. La vita media residua a 70 anni, invece, è pari a e 70 = 14, 23 anni. Ciò signica che la speranza di vita totale di un individuo di 70 anni è pari a x + ex = 70 + 14, 23 = 84, 23.

La vita media residua completa (all'età x > 0 ) si può calcolare anche con la formula seguente:

e ˙x =

Lx + Lx+1 + · · · + Lω− 1 lx

lx

ω−∑x− 1

h=

Lx+h

Infatti se x > 0 abbiamo

ω−∑x− 1

h=

Lx+h =

(lx + lx+1) +

(lx+1 + lx+2) + · · · +

(lω− 1 + lω)

ossia

ω−∑x− 1

h=

Lx+h =

lx + (lx+1 + lx+2 + · · · + lω− 1 )

e quindi divendo per lx ritroviamo

e ˙x =

lx+1 + lx+2 + · · · + lω− 1 lx

Vita probabile

La vita probabile è il numero di anni che un individuo di età x può ancora vivere con probabilità di sopravvivenza non inferiore alla probabilità di morte. Il problema consiste nel trovare t tale che tpx =^

lx+t lx

Risolvere questa equazione equivale a trovare dopo quanti anni si dimezzano i viventi all'età x.

lx+t = lx 2

Esempio

Ipotizzando una distribuzione uniforme dei decessi tra le età 80 e 81 , con l 80 = 69. 000 e l 81 = 65. 000 , calcolare:

0 , 5 p 80 , 25 0 , 25 q 80 0 , 75 q 80 , 25

.

Dall'ipotesi di unifomità dei decessi tra le età intere x e x + 1 segue per 0 < t < 1 : tqx =^ t qx mentre

1 −tqx+t =

(1 − t)qx 1 − t qx Nelle procedure statistiche spesso si approssima la probabilità 1 −tqx+t con la seguente formula:

1 −tqx+t = (1^ −^ t)^ qx

Questa formula deriva dall'ipotesi di Balducci (ipotesi di linearità a tratti della funzione 1 /S(x)).