Tecniche Attuariali delle Assicurazioni: Rendite Vitalizie e Calcolo Attuariale, Appunti di Matematica Finanziaria

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Tecniche Attuariali delle Assicurazioni

Lezione 7

a.a. 2018/

Richiami: RENDITE VITALIZIE PERIODICHE

Consideriamo solo il caso di rate pagabili annualmente.

Le rate possono essere pagate all'inizio di ogni anno (rendita anticipata) oppure alla ne (rendita posticipata).

La scadenza della prima rata può essere ssata già nel primo anno a decorrere dalla stipula del contratto (rendita immediata) o può essere dierita di m anni (rendita dierita).

La durata della rendita può essere limitata ad un numero massimo di anni (rendita temporanea) oppure può estendersi a tutta la durata residua di vita dell'assicurato (rendita illimitata).

Nel seguito consideremo il caso di rate costanti.

Nel caso di rendita unitaria (R = 1) il premio unico da versare all'epoca 0 (stipula della polizza) si indica con il simbolo ¨ax ed è pari a a ¨x = 1 + 1 Ex + 2 Ex + 3 Ex + · · · + (^) ω−x− 1 Ex

e quindi si può scrivere

U = R · ¨ax

Per semplicare la notazione, si può considerare una ulteriore rata R all'epoca ω − 1 (pagata con probabilità pari a zero):

¨ax = 1 + 1 Ex + 2 Ex + 3 Ex + · · · + (^) ω−xEx

Inne, ponendo 0 Ex = 1 e ricordando che (^) hEx = 0 per h > ω − x si ha

¨ax =

ω∑−x

h=

hEx =

h=

hEx

Esercizio

Per garantire al proprio glio di 23 anni una rendita annua di rata pari a 10.000 euro, il signor Rossi può scegliere tra due opzioni:

• rendita certa e perpetua, tasso di valutazione 2% annuo;
• rendita vitalizia illimitata, premio unico calcolato con tasso tecnico del 2% e tavola ISTAT 2014. In entrambi i casi la rendita è anticipata. Calcolare il capitale da versare subito nelle due opzioni.

Ripetere l'esercizio usando il tasso del 10%.

Rendita vitalizia posticipata (immediata e illimitata)

Prevede il pagamento di una rata R alla ne di ogni anno per tutta la durata residua di vita della testa assicurata.

Il premio unico in caso di rata unitaria (R = 1) è

ax = 1 Ex + 2 Ex + 3 Ex + · · · + (^) ω−xEx =

ω∑−x

h=

hEx =

h=

hEx

e per rata R qualsiasi è U = R · ax .

Rendite dierite di m anni (illimitate) - Rata posticipata

Se la rendita è posticipata il pagamento della rata R è previsto alla ne di ogni anno per tutta la durata residua di vita della testa assicurata a partire dall'epoca m + 1 (cioè al compimento dell'età x + m + 1).

Il premio unico in caso di rata unitaria (R = 1) è

m/ax^ =^ m+1Ex+m+2Ex+· · ·+ω−xEx^ =

ω∑−x

h=m+

hEx =

∑^ +∞

h=m+

hEx

e per rata R qualsiasi è U = R · (^) m/ax

Rendite temporanee (immediate)

Se la rendita è anticipata la rata R è pagata all'inizio di ogni anno per n anni a condizione che la testa assicurata (di età x alla stipula del contratto) sia in vita.

Il premio unico in caso di rata unitaria (R = 1) è

¨a (^) x :n = 1 + 1 Ex + 2 Ex + · · · + (^) n− 1 Ex =

n∑− 1

h=

hEx

e per rata R qualsiasi è U = R · ¨a (^) x :n

Tecniche Attuariali^. a.a. 18/19 11/ 26

Rendite vitalizie temporanee e dierite di m anni

Se la rendita è anticipata la rata R è pagata all'inizio di ogni anno per n anni, a partire dall'epoca m (cioè al compimento dell'età x + m) a condizione che la testa assicurata sia in vita.

Il premio unico in caso di rata unitaria (R = 1) è

m/¨a^ x:n =^ mEx +^ m+1Ex +^ · · ·^ +^ m+n− 1 Ex =

m+∑n− 1

h=m

hEx

e per rata R qualsiasi è U = R · (^) m/¨a (^) x :n

Tecniche Attuariali^. a.a. 18/19 13/ 26

Rendita vitalizia posticipata temporanea e dierita di m

anni

Se la rendita è posticipata la rata R è pagata alla ne di ogni anno per n anni a partire dall'epoca m + 1 (ossia al compimento dell'età x + m + 1) a condizione che la testa assicurata sia in vita.

Il premio unico in caso di rata unitaria (R = 1) è

m/a^ x:n^ =^ m+1Ex^ +^ m+2Ex^ +^ · · ·^ +^ m+nEx^ =

m∑+n

h=m+

hEx

e per rata R qualsiasi è U = R · (^) m/a (^) x :n

Funzioni di commutazione: Dx

Le funzioni di commutazione sono introdotte per semplicare il calcolo dei valori attuariali. Moltiplicando numeratore e denominatore per vx, il fattore di sconto attuariale (^) nEx si può scrivere come segue:

nEx =^ vn^

lx+n lx

vx+n^ · lx+n vx^ · lx Ponendo Dy = vy^ · ly il calcolo di (^) nEx si riduce al rapporto tra due valori della funzione Dy, detta funzione di commutazione, nei due valori y = x e y = x + n:

nEx =^

Dx+n Dx

I valori di Dx per x = 0, 1 , · · · , ω e per diversi livelli del tasso di interesse i sono calcolati e riportati su apposite tavole, dette tavole attuariali.

Funzioni di commutazioni: Nx

La funzione di commutazione Nx viene introdotta per semplicare il calcolo del premio unico nei vari contratti di assicurazione di rendita vitalizia. Nel caso di rendita vitalizia anticipata unitaria il premio unico è

¨ax = 1 + 1 Ex + 2 Ex + 3 Ex + · · · + (^) ω−xEx =

ω∑−x

h=

hEx^ =

Dx + Dx+1 + Dx+2 + · · · + Dω Dx Ponendo

Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 + · · · + Dω =

ω∑−x

h=

Dx+h

si ottiene ¨ax = Nx Dx

Esercizio

Un uomo di 60 anni vuole garantirsi una rendita vitalizia di rata annua pari a 10.000 euro. Determinare il premio unico puro nel caso in cui la rendita duri tutta la vita con la prima rata esigibile subito (tasso tecnico del 4% e tavola attuariale Istat 2014). Cal- colare, inoltre, il premio unico puro con rate posticipate. Soluzione Il premio unico puro per una assicurazione di rendita immediata (illimitata) anticipata è

U = 10. 000 · ¨a 60 = 10. 000 ·

N 60

D 60

Il premio unico puro per una assicurazione di rendita immediata illimitata posticipata è

U = 10. 000 · a 60 = 10. 000 ·

N 61

D 60

Funzioni di commutazioni: rendite dierite

Anticipata: m/¨ax^ =^ mEx^ +^ m+1Ex^ +^ m+2Ex^ +^ · · ·^ +^ ω−xEx^ =

Dx+m + Dx+m+1 + · · · + Dω Dx

=

Dx

ω∑−x

h=m

Dx+h = Nx+m Dx

Posticipata m/ax =^ m+1Ex +^ m+2Ex +^ m+3Ex +^ · · ·^ +^ ω−xEx =

Dx+m+1 + Dx+m+2 + · · · + Dω Dx

Dx

ω∑−x

h=m+

Dx+h =

Nx+m+ Dx