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Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: sia Indipendente dalla variabile t Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: I/P oppure C/P Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia:
T
Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: (x+yv(1,3))/(x+2yv(1,3)) Comunque presi tre istanti successivi t,T,s la funzione valore a termine v(t,T,s): deve avere la seguente proprietà v(t,T,T)= Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V=(1,2) p=(1/2,1/2) essa, peril criterio del valore atteso, risulta preferibile a: V=(1,2) p=(3/4,1/4) Data l'operazione finanziaria con vettore dei flussi pari a (3, 1, 6), e vettore delle scadenze pari a (2, 4, 6), il suo valore all'istante 3 secondo la legge esponenziale, con parametro 0.3, è: 7.2298 W (3, x) = 3exp(–0.3(2-3)) + 1exp(–0.3(4-3))+ 6exp(–0.3(6-3)) = 31,349 + 10,7408 + 60,4066 = 7,2298 [sulla calcolatrice - 0,3 ex = 0,7408] Data l'operazione finanziaria x=(2,4,6), t=(1,2,3) e l'operazione y=(2,4,6), t=(1,2,4), l'operazione somma è pari a :
Data una legge finanziaria a tre variabili con funzione valore v(t,T,s), l'intensità di rendimento a scadenza è pari a:
- log(v(t,T,s))/(s – T) Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,7) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) il fattore di sconto dopo 10 anni è pari a : 1/Exp(7) Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,25) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) ,l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni è pari a:
Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,7) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) il fattore di sconto dopo 8anni è pari a: (Exp(5,6) - 1)/ Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,15) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) il fattore di sconto dopo 3 anni è pari a:
Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,7) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) il fattore di sconto dopo 9 anni è pari a: (Exp(6,3) - 1)/
Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,99) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) ,l'intensità istantanea di interesse, dopo 10 anni è pari a: Exp(9.9) Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp (0,15) (dove Exp(x) indica il num e elevato a x) ,l'intensità istantanea di interesse, dopo 2 anni è pari a:
Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo el 2%, il vaolore attuale è pari a: 50 1/i 1/0,02= Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo el 3%, il vaolore attuale è pari a : 33,33 1/i 1/0,03=33, Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo el 0,045%, il vaolore attuale è pari a: 22,22 1/i 1/0,45=22,
Data una rendita unitaria posticipata perpetua , differita di 5 anni , in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, i l valore attuale è pari a: 45.2865 v^k /i dove v=1/1+i = 0,9804 0,9804^5 / 0,02 = 45, Gli arbitraggi sono operazioni di compravendita: operazioni di compravendita, Con profitto sicuro, non rischiose Gli arbitraggi sono operazioni di compravendita: Con profitto sicuro, non rischiose I mercati dei capitali trattano strumenti finanziari di durata: Superiore a 12 mesi I MERCATI DEI CAPITALI: trattano strumenti finanziari di durata superiore a 12 mesi I mercati over the counter sono: Non regolamentati IL MERCATO DEI CAPITALI: trattano strumenti finanziari di durata superiore a 12 mesi
Il rischio di credito: è assente in tutti i mercati finanziari ideali In caso di funzione di utilità logaritmica, l'utilità attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a: 2log(2) In genere, l'importo relativo all'ultimo pagamento, previsto da un'obbligazione concedo la C e valore di rimborso R è: R+C oppure I+C In genere, il flusso di importi che riceve il possessore di un'obbligazione, pagata una cifra P con cedola C e valore di rimborso R è:
(-P,C,C,C,…,C,C+R)
In genere, l'importo relativo all'ultimo pagamento, previsto da un'obbligazione è: pari alla cedola In genere la legge esponenziale è usata perché: le corrispondenti grandezze assumono una forma alquanto semplice In prima approsimazione, se x è piccolo, Exp(x) è pari a : 1+x In prima approsimazione, se i è piccolo, log(1+i) è approssimativamente uguale a i In un mercato finanziario ideale: non ci sono costi per le transazioni né tassazioni In un piano di ammortamento a rate anticipate in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, in quota capitale C(k), al generico istante K, è pari a: alla differenza tra il debito in k e il debito dell'istatnte k+ In un piano di ammortamento, a rate annue (eque) costanti posticipate al tasso annuo i, di una somma prestata P, il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R è: Log(1-Pi/R)/Log(1/(1+i))) OPPURE log((R-Si/(1+i)/R)/log(1/1+i)) ANTICIPATE : log((R-Si/(1+i))/R/log(1/(1+i))* In un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo I, il debito residuo D(K) al generico istante È dato dalla seguente formula: D(K)=S-kC dove S è il capitale prestato a C è la quota capitale In un piano di ammortamento composto da n rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, la relativa quota capitale e pari: al prodotto tra il debito iniziale ed n In un piano di ammoratmento a rate anticipate in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, la quota capitale c(k),all'istante k è pari a: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all'anno successivo
In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo pari al 23%, presto un capitale pari a 15000 euro. Indicare quanto tempo sarà necessario affinché mi venga restituito il doppio (30000 euro): Meno di 4 anni t = log2/log(1+i) = log2 / log 1,23 = 3,348 = 3 anni + (0,348*365gg.) = 3 anni+127gg cioè meno DI 4 ANNI In un regime di capitalizzazione semplice il tempo di raddoppio di un capitale investito: dipende dal tasso di interesse In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 15%, presto un capitale pari a 15000 euro. Affinché mi venga restituito il doppio (30000 euro) sarà necessario attendere: *Dipende dal capitale iniziale, dal tasso scelto e dal tempo C (1+i t) Più DI 6 ANNI t=1/0,15=6, In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo ì, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: log(2)/log(l+1) CAP SEMPLICE: mai log CAP COMPOSTO: log/log In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo 5%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: log(2)/log(1,05) In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo 7%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: log(2)/log(1.07) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7,9% ,l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: log (1.079) log(1+i)= log(1+0,79)= log(1.079) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7,1%,l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: log(1.071) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso (annuo) del 2%; il tasso semestrale equivalente è: Un po' meno di 0.01 (1+i)^1/2-1= (1+0,02)^1/2-1= 1,02^1/2-1=0, Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 2%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: Log(1.02) Investo un capitale all'istante t=1, le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante t=2 (SEMPRE IL NUMERO DOPO) Investo un capitale all'istante t=29,5 le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=30. L'ipotesi della preferenza per la liquidità implica i titoli di durata più lunga siano considerati più rischiosi
L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, –2, –2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente equa: Se l'intensità istantanea di interesse è pari a zero L'operazione finanziaria x= (-13,8,10,7) t= (0,1,2,3): ha sicuramente uno dei suoi tassi interni di rendimento che è nullo L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, 2, 2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente non equa: Per qualunque valore dell'intensità istantanea L'operazione finanziaria x = (‒ 4, ‒ 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi interni di rendimento che è nullo L'operazione finanziaria x = (4, 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha tassi interni di rendimento immaginari L'INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE, RELATIVA ALLA LEGGE V(T,S) = 1 − K(S − T), È: K/(1 − k(s − t)) L'ultima quota capitale versata dal debitore, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) , in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari al rapporto tra la rata e il fattore sconto L'ultima quota capitale versata dal debitore, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) , in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari al prodotto tra la rata e il fattore sconto L'ultima quota capitale non nulla, il piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti) di durata pari a n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari: alla rata La duration di un portafoglio, valutato all'istante D (quindi le scadenze coincidono con le vite a scadenza) è: la media pesata di tutte le scadenze (i pesi sono proporzionali ai valori attuali delle rispettive poste La funzione v(t,T,s) deve essere tale che: v(t,T,T) = La funzione valore a termine v(t,T,s) deve essere tale che: v(T,T,s) = v(T,s) La legge dello sconto commerciale afferma che, se k è una costante positiva: v(t,s) = 1 – k(s – t) La legge di capitalizzazione esponenziale è molto usata perché: Le principali grandezze finanziarie, ricavate a partire da essa, assumono una forma relativamente semplice La legge esponenziale è scindibile ed uniforme La legge finanziaria è scindibile, se, indicato con v il rispettivo fattore di sconto,comunque presi gli istanti a,b,c con ac si ha: v(a,c)=v(a,b) v(b,c) La prima quota capitale in un piano di ammortamento (rate annue posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i(di durata pari alla durata dell'ammortamento)
La quota capitale finale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al prodotto della rata per il fattore di sconto 1/(1+i) La quota capitale, al k-esimo anno, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, all'istante k è pari: Al prodotto del fattore montante (1+i) per la quota capitale dell'anno precedente LA QUOTA CAPITALE, AL K-ESIMO ANNO, IN UN PIANO DI AMMORTAMENTO (A RATE ANNUE COSTANTI POSTICIPATE) IN UN REGIME A CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA AL TASSO ANNUO I, ALL'ISTANTE K È PARI: Al prodotto del fattore montante (1+i) per la quota capitale dell'anno precedente Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l’intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è (t < T < s):
- log(v(t,T,s))/(s – T) Nella legge di capitalizzazione semplice, indicare che caratteristica ha l'incremento del capitale: *Dipende dal capitale iniziale, dal tasso scelto e dal tempo C (1+i t) Presto un capitale pari a X e mi viene restituita una cifra Y. I l tasso di interesse relativo a questa operazione è
(Y-X)/X
Presto un capitale pari a 8000 eur o e mi viene restituita una cifra pari a 10000 euro. Il fattore di sconto è 0,2 d= S-C/S 10000-8000/10000=0, Presto un capitale pari a 6000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 10000 euro. Il fattore di sconto è
PRESTO UN CAPITALE PARI A 2500 EURO E ME NE VENGONO
RESTITUITI 3000: INDICARE QUAL È IL TASSO DI SCONTO:
16.67% d=S-C/S = I/S = 3000-2500/3000 = 0,166 = 16,67% Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000: l'operazione dura 4 anni. Indicare qual è l'intensità di interesse relativa a questa operazione: 5% y= S-C/C x t = I/Ct 3000-2500/2500X4 = 0,05 = 5% Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il fattore montante è
S/C
Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il tasso di sconto relativo a questa operazione è
(S-C)/S
Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000. Indicare qual è il tasso di interesse relativo a questa operazione: Il guadagno per unità di capitale investito
Se non vallese la derescenza rispetto alla scadenza della funzione valore, ossia se forsse v(T,t)>v(T,s) (con T<s<t), si potrebbe fare la seguente operazione: vendita in T di un TCN unitario scadente in t, acquisto in T di un TCN unitario scadente in s ed infine la vendita allo scoperto in T di un TCN unitario scadente in s Se non valesse la proprietà di indipendenza dall'importo,cioè se fosse v(t-x)>xv(t,x),potrebbe avre luogo un arbitraggio che garantirebbe un profitto pari a V(t,X)-Xv(t,X) Se il tasso di interesse è pari a i, il tasso di sconto è uguale a (1+i)/i Se i è il tasso di interesse e d è il l tasso di sconto, entrambi relativi ad una stessa operazione finanziaria, si ha che d= (1+i)/i Se una legge finanziaria è scindibile, indicato con v il rispettivo fattore di sconto, cmq presi gli istanti a,b,c si ha v(a,b,c)=v(a,c) Se un prestito prevede un piano di ammortamento a rimborso unico ( in due o più annualità) il capitale viene restituito alla scadenza e le rate vengono corrisposte solo a titolo di interesse Se una certa operazione finanziaria con flussi non nulli (a,b,c,d) con scadenze (1,2,4,5) è equa,lo è anche quella con gli stessi flussi (a,b,c,d) con scadenze (3,4,6,7) Se un'operazione finanziaria è equa in un determinato istante, essa è equa anche: In ogni altro istante Se un'operazione finanziaria ha valore (non nullo) pari ad x in un istante T, per renderla equa, è sufficiente: Aggiungere, al vettore dei flussi, un importo pari a – x all'istante T Se un'operazione finanziaria ha valore (non nullo) pari ad x in un istante T, per renderla equa, è sufficiente: Aggiungere un importo a-x componente T-esima del vettore dei flussi Se una certa operazione finanziaria con flussi non nulli (a, b, c, d) con le scadenze (2,3,5,6) è equa, lo è anche quella: Con gli stessi flussi (a, b, c, d) con le scadenze (5, 6, 8, 9) proprietà di uniformità nel tempo Un arbitraggio è Un'operazione di compravendita non rischiosa che garantisce un profitto positivo Un mercato over the couter è caratterizzato dall'assenza di uno specifico regolamento Un'opzione call è un contratto finanziario tale che concede al possesore la facoltà di acquistare un determinato bene Un'opzione put è un contratto finanziario tale che concede al possessore la facoltà di cedere un determinato bene Una legge finanziaria è scindibile, se indicatocon v il rispettivo fattore di sconto cmq presi gli istanti si ha v(a,c)=v(a,b)v(b,c) Un esempio, di funzione di sconto v(t,s) è uniforme, è dato da v(t,s)= exp (s-t) Un esempio di arbitraggio è x=1,3,-4) t=1,2,3)
