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1. Insiemi Numerici
1.1 Introduzione; Concetti Generali su Q e R
Tra gli insiemi numerici più importanti, si ricordano N (numeri interi naturali), Z (interi relativi), Q (razionali, esprimibili sia sotto forma di frazioni che di numeri decimali), R (numeri reali, che comprendono anche gli irrazionali come radicali, π, e,
logaritmi) e C (numeri complessi, come i = √−1).
Riguardo all’insieme Q , si ricorda che, tra due numeri q 1 e q 2 ϵ Q , esiste sempre almeno un altro numero q 3 ϵ Q :
Per quanto riguarda, invece, l’insieme R , esso comprende anche i numeri irrazionali ed è possibile dimostrare che, tra due numeri q 1 e q 2 ϵ Q , esistono infiniti numeri irrazionali ϵ R (basti pensare alla retta dei numeri: fissati q 1 , q 2 e il punto medio tra essi, si può costruire un quadrato che abbia come estremi della base q 1 e il punto medio e individuare la diagonale
che, trasportata anch’essa sulla retta dei numeri, avrà lunghezza 𝑞^1 + 𝑞 2 2 ∙ √2, un numero, cioè, appartenente a R ). Gli
irrazionali, dunque, sono infinitamente densi e hanno una corrispondenza biunivoca con la retta dei numeri. Bisogna
inoltre ricordare che un numero irrazionale come (^) √2 ≠ 1,4; è corretta, invece, la dicitura (^) √2 ~ 1,4.
1.2 Insieme R: Struttura Algebrica, d’Ordine, Topologica
1.2.1 Struttura Algebrica di R
La Struttura Algebrica di R consiste nelle operazioni di somma e prodotto, che vengono assiomaticamente definite in tale
sistema numerico: è possibile, infatti, svolgere calcoli come √2 + √3 oppure 5√3.
1.2.2 Struttura d’Ordine di R
La Struttura d’Ordine di R permette di stabilire, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑹, se 𝑥 > 𝑦, 𝑥 < 𝑦, 𝑥 = 𝑦. La Struttura d’Ordine permette di introdurre il concetto di Intervallo in R , ovvero un sottoinsieme di R tale che due punti ad esso appartenenti possono essere uniti senza uscire dall’intervallo stesso (ad esempio, R è un intervallo, mentre N non lo è). Gli intervalli in R si dividono in:
Limitati : o [a, b] = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}, intervallo chiuso e limitato; o [a, b) = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}, intervallo aperto a destra e limitato; o (a, b] = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}, intervallo aperto a sinistra e limitato; o (a, b) = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}, intervallo aperto e limitato. Illimitati: o [a, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 ≥ 𝑎}, intervallo chiuso e superiormente illimitato; o (a, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 > 𝑎}, intervallo aperto e superiormente illimitato; o (-∞, b] = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 ≤ 𝑏}, intervallo chiuso e inferiormente illimitato; o (-∞, b) = {𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 < 𝑏}, intervallo aperto e inferiormente illimitato; o (-∞, +∞) = R
È possibile introdurre, all’interno degli intervalli, i concetti di maggiorante e minorante :
k ϵ R si dice MAGGIORANTE per un insieme A ⊆ R quando k ≥ a, ∀𝑎 ∈ 𝐴. L’insieme dei maggioranti di un insieme A si definisce Magg A.
Esempio: A = (- ∞ , 2). Un maggiorante è, ad esempio, 3. In generale, Magg A = [2, + ∞ ). Esempio: B = (1, 3] U (5, 7). Magg B = [7, + ∞ ). Esempio: N non ha maggioranti: è superiormente illimitato.
h ϵ R si dice MINORANTE per un insieme A ⊆ R quando h ≤ a, ∀𝑎 ∈ 𝐴. L’insieme dei minoranti di un insieme A si definisce Min A.
Di seguito a queste definizioni, si possono stabilire anche le condizioni di limitatezza di un insieme numerico:
Un insieme A ⊆ R si dice SUPERIORMENTE LIMITATO se esiste almeno un maggiorante di A (se Magg A ≠ ∅); Un insieme A ⊆ R si dice INFERIORMENTE LIMITATO se esiste almeno un minorante di A (se Min A ≠ ∅); Un insieme A ⊆ R si dice LIMITATO se è sia superiormente che inferiormente limitato.
Dalle definizioni di maggiorante e minorante si nota che due numeri k e h che siano rispettivamente un maggiorante e minorante di A devono essere ϵ R , ma non necessariamente ϵ A. Nel caso particolare in cui k o h appartengano anche ad A, essi vengono definiti massimo o minimo dell’insieme A:
k si dice MASSIMO per A ⊆ R (e si indica con max A ) se k ϵ A e k ≥ a, ∀𝑎 ∈ 𝐴 (ovvero, se k ϵ A ed è maggiorante di A); h si dice MINIMO per A ⊆ R (e si indica con min A ) se h ϵ A e h ≤ a, ∀𝑎 ∈ 𝐴 (ovvero, se h ϵ A ed è minorante di A).
Il massimo o il minimo di un insieme numerico esistono solo se esistono maggioranti o minoranti per l’insieme stesso (ovvero, se l’insieme è superiormente o inferiormente limitato: condizione necessaria):
∃ max A => 𝐴 è 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜; ∃ min A => 𝐴 è 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜.
Tali implicazioni non sono invertibili: la condizione è necessaria, ma non sufficiente.
Dai concetti di limitazione, di maggiorante e di minorante derivano anche le definizioni di estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme numerico:
Sia A ⊆ R un insieme superiormente limitato. Si dice ESTREMO SUPERIORE di A (e si indica come sup A ) il minimo dei maggioranti di A. Sia A ⊆ R un insieme inferiormente limitato. Si dice ESTREMO INFERIORE di A (e si indica come inf A ) il massimo dei minoranti di A.
N.B.: se esiste max A, sup A = max A; se esiste min A, inf A = min A.
Esempio: A = (2, 3]. x 0 = 2,5 è un punto interno di A. x 0 = 3 non è un punto interno: l’intorno completo non è ⊆ A. int A = (2, 3)
L’insieme A ⊆ R si dice INSIEME APERTO quando int A = A. (Sono insiemi aperti tutti gli intervalli aperti) L’insieme A ⊆ R si dice INSIEME CHIUSO quando AC^ (ovvero R \A) è un insieme aperto. (Sono insiemi chiusi gli intervalli di tipo [a, b], (-∞, b], [a, +∞) )
Esempio: A = (2, 3] AC^ = (- ∞ , 2] U (3, + ∞) int AC^ ≠ AC, perché x 0 = 2 ϵ AC^ ma non ϵ int AC. Quindi, A non è un insieme chiuso; A = (2, 3] non è aperto né chiuso.
Un insieme A ⊆ R può non essere aperto né chiuso; inoltre, gli unici due insiemi ad essere sia aperti che chiusi sono R e Ø. N.B.: Se A non è un intervallo, nessun elemento di A sarà un punto interno (ovvero, A non sarà un insieme aperto e int A = Ø.
Il punto x 0 ϵ AC^ si dice PUNTO ESTERNO di A quando x 0 è un punto interno di AC. L’insieme dei punti esterni di A si indica con ext A. Il punto x 0 ϵ R è PUNTO DI FRONTIERA di A quando x 0 non è né punto interno né punto esterno di A. L’insieme dei punti di frontiera di A si indica con δA.
Questa classificazione è completa: dati x 0 e A ⊆ R , x 0 sarà punto interno, esterno oppure di frontiera di A.
Esempio: A = (2, 3] Int A = (2, 3) Ext A = (- ∞, 2) ∪ (3, +∞) δA = {2, 3}
Teorema. Un insieme A ⊆ R è un INSIEME CHIUSO se e solo se δA ⊆ A. Si può quindi arrivare a un’ulteriore definizione di Punto di Frontiera: Un PUNTO DI FRONTIERA di A è un punto tale che in ogni suo intorno cadono sia elementi di A che elementi che non appartengono ad A.
Il punto x 0 ϵ R si dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE di A ⊆ R quando in ogni intorno Ir(x 0 ) cade almeno un punto x ϵ A, con x diverso da x 0. Ovvero, 𝐼𝑟(𝑥 0 ) ∩ (𝐴{𝑥 0 }) ≠ ∅, ∀𝑟 > 0
Un punto di accumulazione di A, quindi, può anche non appartenere ad A.
Il punto x 0 ϵ R si dice PUNTO ISOLATO per A ⊆ R quando x 0 non è punto di accumulazione per A. Ovvero,
L’insieme dei punti di accumulazione di A ⊆ R si dice INSIEME DERIVATO e si indica con A’.
Si può notare come int A ⊆ A’: quindi, se un punto x 0 è un punto interno di A, sarà anche un suo punto di accumulazione. Pertanto, si può estendere anche la definizione di Insieme Chiuso:
Se un insieme A contiene tutti i suoi punti di accumulazione (A’ ⊆ A), allora A sarà un INSIEME CHIUSO.
In maniera simile, si nota anche che ogni punto isolato di A è anche un punto di frontiera di A.
Allargando il concetto di punto di accumulazione in 𝑹̅, si può arrivare facilmente alle definizioni di insiemi illimitati :
A ⊆ R è SUPERIORMENTE ILLIMITATO se e solo se +∞ è un punto di accumulazione di A in 𝑹̅. A ⊆ R è INFERIORMENTE ILLIMITATO se e solo se - ∞ è un punto di accumulazione di A in 𝑹̅.
Ad esempio, l’insieme Q è sia superiormente che inferiormente illimitato, dal momento che sia +-∞ che - -∞ sono suoi punti di accumulazione. Inoltre, Q è denso in R : tutti i suoi punti sono punti di accumulazione, non ha alcun punto isolato.
Per verificare la biunivocità di una funzione, si usa il Terzo Test delle Rette Orizzontali : se tutte le rette orizzontali tracciabili hanno una e una sola intersezione con il grafico di f, allora f sarà biunivoca.
2.2 Funzioni Composte
Si supponga di avere f: AB e g: CD. Tuttavia, si ha anche che Im(f) ⊆ C: quindi, B≡C. Partendo da un elemento x in A, dunque, si otterrà un elemento z contenuto in B tramite l’applicazione di f e, in seguito, z subirà la trasformazione (rappresentata dalla funzione g) in un elemento y contenuto in D. Si può quindi trovare una funzione g(f): AD, ovvero la funzione composta di f di g :
Siano f: AB e g: CD, con Im(f) ⊆ C. Si dice FUNZIONE COMPOSTA fra f e g la funzione g(f): AD tale che: 𝑔(𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)), ∀𝑥 ∈ 𝐴
Esempio: f(x) = 3x – 4; g(x) = ex. g(f) = ef^ = e3x- f(g) = 3g – 4 = 3ex^ – 4
Esempio (tema d’esame): f(x) = 2ex+4; g(x) = 4x^3_. Trovare f(g(-1)). g(-1) = - f(g(-1)) = 2e+4-4_^ = 2
Occorre fare attenzione nella composizione di funzioni che hanno un dominio diverso l’una dall’altra: Im(g) deve essere ⊆ Dom(f).
Esempio: f(x) = (^) √𝑥 ; g(x) = x^2 – 1. g(f) = f^2 – 1 = (√2)^2 – 1 = x – 1, ma si tiene conto di Dom(f): x ≥ 0. f(g) = (^) √𝑔 = √𝑥^2 − 1 , ma si tiene conto di Dom(f(g)): 𝑥 ≤ −1 𝑒 𝑥 ≥ 1_._
2.3 Funzioni Inverse Se si ha f: AB e si vogliono scambiare dominio e codominio mantenendo le associazioni tra gli elementi (ovvero mantenendo le coppie (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ),…) si può utilizzare lo strumento della funzione inversa. Va ricordato che una funzione è invertibile soltanto se è iniettiva.
Sia f: AB iniettiva. Si dice FUNZIONE INVERSA di f la funzione f-1: Im(f)A tale che x = f-1(y) se e solo se y = f(x).
Esempio: f(x) = 3𝑥−14𝑥+2.
y =^34 𝑥𝑥−+^12 => (4x + 2)y = 3x – 1 => 4xy + 2y = 3x - 1 => x(4y - 3) = - 2y - 1 => x = − 42 𝑦𝑦−− 31 = f-^1 (x).
Per invertire una funzione iniettiva, dunque, sarà sufficiente esprimere la x in funzione della y. Graficamente, si noterà che le due funzioni saranno simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (y = x).
2.4 Massimi, Minimi, Estremi
Una funzione f si dice LIMITATA se la sua Immagine Im(f) è un insieme limitato (la definizione vale sia per la limitazione superiore che per quella inferiore). Il MASSIMO ASSOLUTO di f(x) è il massimo di Im(f). Il MINIMO ASSOLUTO di f(x) è il minimo di Im(f).
In corrispondenza dei valori di massimo e di minimo assoluto di Im(f) (ovvero sull’asse delle y) si identificano dei punti di massimo/minimo , che corrispondono alle controimmagini del massimo e del minimo sull’asse delle x:
Sia f: A⊆ R R. Il punto x 0 ∈ A si dice PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO per f(x) su A quando: 𝑓(𝑥 0 ) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐴
Sia f: A⊆ R R. Il punto x 0 ∈ A si dice PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO per f(x) su A quando: 𝑓(𝑥 0 ) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐴
È possibile trovare punti di massimo e di minimo assoluti anche per dei sottoinsiemi di A:
Sia f: A⊆ R R e sia C ⊆ A. Il punto x 0 ∈ C si dice PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO per f(x) su C quando: 𝑓(𝑥 0 ) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐶
Sia f: A⊆ R R e sia C ⊆ A. Il punto x 0 ∈ C si dice PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO per f(x) su C quando: 𝑓(𝑥 0 ) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐶
Perché esistano i valori di massimo e minimo assoluti di una funzione, occorre che la funzione sia limitata superiormente o inferiormente (o entrambe). Si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente: y = ex, ad esempio, è limitata inferiormente ma non ha un minimo assoluto.
Si dice ESTREMO SUPERIORE di f(x) l’estremo superiore di Im(f). Si dice ESTREMO INFERIORE di f(x) l’estremo inferiore di Im(f).
Una funzione limitata superiormente/inferiormente avrà un estremo superiore/inferiore finito. Se f(x) è illimitata superiormente/inferiormente e si sta studiando la funzione in 𝑹̅, l’estremo superiore/inferiore della funzione sarà ±∞.
Una funzione illimitata superiormente o inferiormente, dunque, mancherà di punti di massimo o di minimo assoluti. Tuttavia, sarà possibile individuare dei punti di massimo/minimo relativi :
Sia f: A⊆ R R. Il punto x 0 ∈ A si dice PUNTO DI MASSIMO RELATIVO (o locale ) per f(x) su A quando esiste un intorno Ir(x 0 ) tale che: 𝑓(𝑥 0 ) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐼𝑟(𝑥 0 )
3. Limiti
3.1 Concetti Generali
Si ha 𝐥𝐢𝐦𝒙 →𝒑 𝒇(𝒙) = 𝒍, con p, l ∈ 𝑹̅ e con p punto di accumulazione per Dom(f), quando, per ogni intorno I(l) esiste un intorno U(p) tale che, per ogni x che appartiene al dominio di f intersecato a U(p), con x diverso da p, si ha che f(x) è contenuto in I(l). Ovvero, ∀𝐼(𝑙) ∃ 𝑈(𝑝) 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝑈(𝑝), 𝑥 ≠ 𝑝, 𝑠𝑖 ℎ𝑎 𝑐ℎ𝑒 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼(𝑙)
3.1.1 Verificare l’Esistenza di un Limite
Esempio: Verifica di un limite esistente. f(x) = (^) {𝑥
Si vuole verificare che lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = −1 ; quindi, si vuole porre p = 0 e l = -1. Si viene quindi a identificare 𝐼𝜀(𝑙) = 𝐼𝜀(−1) = (−1 − 𝜀; −1 + 𝜀), 𝜀 > 0_._
Per la definizione di limite, si ha che ∀𝐼(𝑙) 𝑒 ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0: 𝑈𝛿 (𝑝) = 𝑈𝛿 (0) = (−𝛿, +𝛿) , tale che ∀𝑥 ∈ (−𝛿, +𝛿), 𝑥 ≠ 0, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼(−1).
Se 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼(−1) , significa che −1 − 𝜀 < 𝑥^2 − 1 < −1 + 𝜀 => (^) {−1 − 𝜀 < 𝑥
𝑥^2 − 1 > −1 + 𝜀
Il limite, dunque, è soddisfatto se, ∃𝐼𝛿(0): ∀𝑥 ∈ 𝐼𝛿 (0), 𝑥 ≠ 0, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼(𝑙). Quindi, si deve avere 0 < 𝛿 ≤ √𝜀 , una condizione che è valida se −𝛿 < 𝑥 < +𝛿, 𝑥 ≠ 0 , ovvero se x appartiene all’intorno di 0. In questo caso, quindi, come si può verificare anche graficamente, il limite è valido e le sue condizioni sono soddisfatte.
Esempio: Verifica di un limite non esistente. f(x) = (^) {𝑥
Si ipotizzi di voler verificare che lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 1. Perché questo limite sia verificato, occorre che ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝛿 = 𝛿(𝜀), 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 ∀𝑥 ∈ (−𝛿, +𝛿) 𝑠𝑖 ℎ𝑎 𝑐ℎ𝑒 1 − 𝜀 < 𝑥^2 − 1 < 1 + 𝜀.
Bisogna quindi trovare 𝛿 , preso un 𝜀 qualsiasi: {𝑥
1 − 𝜀 < 𝑥^2 − 1
𝑥^2 > 2 − 𝜀
Se 𝜀 > 2 , non ci sono problemi: si avrà che 0 < 𝛿 < √2 + 𝜀.
Tuttavia, se 0 < 𝜀 < 2 , si otterrà dal sistema precedente che { −√2 + 𝜀 < 𝑥 < √2 + 𝜀 𝑥 < −√2 − 𝜀, 𝑥 > √2 − 𝜀 La soluzione di questo sistema sarà: −√2 + 𝜀 < 𝑥 < −√2 − 𝜀, (^) √2 − 𝜀 < 𝑥 < √2 + 𝜀.
Questa soluzione non fa funzionare la definizione di limite: il punto 0 (ovvero p) non ha soluzioni nella disequazione, dal momento che sta tra −√2 − 𝜀 e (^) √2 − 𝜀 , ovvero in un intervallo dove la disequazione non è risolta. Pertanto, non si può trovare un 𝛿 : lim𝑥→0 𝑓(𝑥) ≠ 1.
Anche graficamente, si verifica che non esiste un U(0) tale che tutto U(0) stia nella striscia identificata da I(1), quindi il limite deve essere errato.
Esempio: Verifica di un limite con x → ±∞ e con l = ±∞ f(x) = x^2_. Si vuole verificare che_ lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = +∞ , 𝑐𝑜𝑛 𝑙 = +∞, 𝑝 = −∞. Prima di tutto si deve verificare che −∞ sia un punto di accumulazione di Dom(f); si può quindi procedere alla verifica del limite.
Si trova un 𝐼(𝑙) = 𝐼(+∞) = (𝑀, +∞), ∀𝑀 ∈ 𝑹 tale che ∀𝐼(𝑙), ∃ℎ: 𝑈(𝑝) = 𝑈(−∞) = (−∞, ℎ). Si deve quindi avere che 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 ∈ 𝐼(𝑙) => 𝑥^2 > 𝑀, ∀𝑀 ∈ 𝑹. Tra le soluzioni di 𝑥^2 > 𝑀 si troverà h:
- Se M < 0, 𝑥^2 > 𝑀 è valida ∀𝑥 ∈ 𝑹
- Se M > 0, 𝑥^2 > 𝑀 è valida per 𝑥 < −√𝑀 e per 𝑥 > √𝑀.
Il limite sarà verificato se esiste h tale che 𝑥^2 > 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝑈(−∞). Nel nostro caso, la definizione di limite sarà soddisfatta se ℎ ≤ √𝑀 : il limite lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = +∞ è corretto e verificato analiticamente.
È possibile anche effettuare una verifica grafica: si individua un semipiano (ovvero la rappresentazione grafica di 𝐼(+∞) ) tracciando la retta orizzontale y = M. Successivamente, per ogni possibile valore di M, si deve trovare un valore h sull’asse delle ascisse tale che, ∀𝑥 < ℎ , f(x) si trovi nel semipiano. Anche in questo modo, si trova che la condizione è soddisfatta e che il limite è verificato.
Esistono funzioni per le quali non esistono limiti in alcuni punti del loro dominio.
Esempio: La Funzione di Dirichélet. 𝑓(𝑥) = {1, 𝑥 ∈ 𝑹\𝑸0, 𝑥 ∈ 𝑸
Se si cerca di calcolare lim𝑥→0𝑓(𝑥) = 0 , dovrebbe avvenire che ∀𝜀 > 0 si possa trovare un U(0) = (−𝛿, +𝛿) 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝛿 = 𝛿(𝜀), 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 ∀𝑥 ∈ (−𝛿, +𝛿) 𝑠𝑖 ℎ𝑎 𝑐ℎ𝑒 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) < +𝜀.
Primo Teorema del Confronto. Se esiste U(p), tale che 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑈(𝑝), 𝑥 ≠ 𝑝, e se lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑹, allora 𝑙 ≥ 0.
Esempio: f(x) = ex. f(x) è > 0 per ogni valore di x.
𝑥→−∞^ lim 𝑓(𝑥) = 0. Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 in U(p), allora 𝑙 ≥ 0_. Se_ 𝑓(𝑥) ≤ 0 in U(p), allora 𝑙 ≤ 0_._
Secondo Teorema del Confronto (Teorema dei Carabinieri) Siano f: A ⊆ R R , g: A ⊆ R R , h: A ⊆ R R e sia p un punto di accumulazione per A. Se esiste un intorno U(p) tale che 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈(𝑝), 𝑥 ≠ 𝑝, e se lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝 ℎ(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑹, allora lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝑙.
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑥. La funzione 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑥 è sicuramente compresa tra − (^1) 𝑥 e^1 𝑥 , dal momento che sen x sarà compreso tra -1 e 1. Si ha inoltre che 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ − (^1) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞^1 𝑥 = 0_. Sono soddisfatte le condizioni del teorema: pertanto,_ 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑥 = 0_._
Teorema dei Limiti di Funzioni Monotone Per le funzioni crescenti: Sia f: A ⊆ R R una funzione crescente su (a, b) ⊆ A. Allora, esistono i limiti lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝑖𝑛𝑓𝑥∈(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑏−^ 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝𝑥∈(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥).
Oppure, per le funzioni decrescenti: Sia f: A ⊆ R R una funzione decrescente su (a, b) ⊆ A. Allora, esistono i limiti lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝𝑥∈(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑏− 𝑓(𝑥) = 𝑖𝑛𝑓𝑥∈(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥).
Esempio: f(x) = ex, funzione crescente su tutto R. Se si prende lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) , si ha che lim𝑥→−∞ 𝑒𝑥^ = 𝑖𝑛𝑓𝑥∈(−∞,0)𝑒𝑥^ = 0_. Se si prende_ lim𝑥→𝑏−^ 𝑓(𝑥) , si ha che lim𝑥→+∞ 𝑒𝑥^ = 𝑠𝑢𝑝𝑥∈(0,+∞)𝑒𝑥^ = +∞. Per p = 0, invece, si avrà che: lim𝑥→0−^ 𝑒𝑥^ = 𝑠𝑢𝑝𝑥∈(−∞,0)𝑒𝑥^ = 1_._ lim𝑥→0+ 𝑒𝑥^ = 𝑖𝑛𝑓𝑥∈(0,+∞)𝑒𝑥^ = 1_. Limite destro e limite sinistro coincidono, quindi_ lim𝑥→0 𝑒𝑥^ = 1 = 𝑓(0). Generalizzando, lim𝑥→𝑝 𝑒𝑥^ = 𝑒𝑝, ∀𝑝 ∈ 𝑹.
3.3 Algebra dei Limiti
Teorema della Somma Algebrica dei Limiti Siano f: A ⊆ R R , g: A ⊆ R R e sia p punto di accumulazione per A. Se lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑙 1 ∈ 𝑹̅ e lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝑙 2 ∈ 𝑹̅, allora lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑙 1 + 𝑙 2 , purchè l 1 e l 2 non siano infiniti di
segno opposto.
Vale quindi la seguente tabella:
+ g l 2 ∈ R +∞ −∞
f
l 1 ∈ R l 1 + l 2 +∞ −∞
+∞ +∞ +∞?
−∞ −∞?^ −∞
Il Teorema non può predire in anticipo cosa accadrà nel caso della somma tra infiniti di segno opposto: potranno verificarsi 4 diverse situazioni.
- lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = −∞ Esempio: f(x) = x; g(x) = -x^2_._
- lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = +∞ Esempio: f(x) = -x; g(x) = x^2
- lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑹 Esempio: f(x) = x + 3; g(x) = -x
- lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)^ non esiste Esempio: f(x) = x; g(x) = sen x Quella della somma di infiniti con segno opposto viene quindi definita Forma di Indecisione.
È inoltre possibile individuare una tabella per il prodotto tra i limiti :
x g l 2 ∈ R { 0 }^0 ±∞
f
l 1 ∈ R { 0 }^ l 1 ∙ l 2 0 ±∞
0 0 0?
±∞ ±∞? ±∞
La Forma di Indecisione , in questo caso, è la moltiplicazione ±∞ ∙ 0.
Per quanto riguarda il Quoziente tra limiti , si ottiene:
/ g l 2 ∈ R { 0 } 0 ±∞
Si supponga, quindi, di avere f(y) continua in y 0 e g(x) tale che lim𝑥→𝑥 0 𝑔(𝑥) = 𝑦 0. Se si vuole calcolare lim𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑔(𝑥)),
dal momento che f(x) è continua in x 0 , si avrà che lim𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑦 0 ).
Quindi, il limite di una funzione composta sarà 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒇(𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒈(𝒙)).
Esempio: f(x) = ey; g(x) = x^2_._
𝑥→0^ lim 𝑒𝑥^2 = 𝑒lim^ 𝑥→0^ 𝑥
2 = 𝑒^0 = 1
3.4.3 Conservazione della Continuità
La somma, la differenza e il prodotto di due funzioni continue daranno come risultato una funzione continua. Per quanto riguarda il quoziente tra due funzioni continue, invece, il risultato sarà una funzione continua se il denominatore del rapporto sarà diverso da 0.
Anche la composizione tra due funzioni continue conserva la continuità: se f: A ⊆ R R e g: B ⊆ R R , Im (g) ⊆ Dom (f). Pertanto, se f è continua in y 0 e g è continua in x 0 , con g(x 0 ) = y 0 , allora f(g) sarà continua in x 0.
Per quanto riguarda la funzione inversa di una funzione continua, anch’essa conserverà la sua continuità: se f: A ⊆ R R è iniettiva e continua in x 0 ∈ A, allora f-^1 (y) sarà continua in y 0 = f(x 0 ).
3.5 Calcolo dei Limiti
3.5.1 Confronto tra Infiniti
Siano f(x) e g(x) due funzioni tali che lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = ±∞ e lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = ±∞, con p ϵ R.
Volendo calcolare lim𝑥→𝑝𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), si aprono 4 possibili alternative:
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = ±∞, f(x) è INFINITO DI GRADO SUPERIORE di g(x).
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥
4 𝑥^3 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞^ 𝑥 = +∞.
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = 0, f(x) è INFINITO DI GRADO INFERIORE di g(x).
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥
3 𝑥^4 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
1 𝑥 = 0.
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑹̅{0}, f(x) e g(x) sono INFINITI DELLO STESSO GRADO.
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞3𝑥
(^2) − 2𝑥^2 +3 =^
3
lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) non esiste, f(x) e g(x) sono INFINITI NON CONFRONTABILI.
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥(𝑠𝑒𝑛
(^2) 𝑥) 𝑥 = lim𝑥→+∞^ 𝑠𝑒𝑛
(^2) 𝑥 non esiste.
3.5.2 Confronto tra Infinitesimi
Siano f(x) e g(x) due funzioni tali che lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 0 e lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 0, con p ϵ R.
Volendo calcolare lim𝑥→𝑝𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), si aprono 4 possibili alternative:
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = 0, f(x) è INFINITESIMO DI GRADO SUPERIORE di g(x).
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥
− 𝑥−3^ = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
1 𝑥 = 0.
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = ±∞, f(x) è INFINITESIMO DI GRADO INFERIORE di g(x).
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(^12 )𝑥 (^13 )𝑥^
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞(^32 )𝑥^ = +∞.
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑹̅{0}, f(x) e g(x) sono INFINITESIMI DELLO STESSO GRADO.
Esempio: lim𝑥→+∞
1 log2 𝑥 1 log3 𝑥
= lim𝑥→+∞loglog^32 𝑥𝑥 = lim𝑥→+∞log log3 𝑥^3 𝑥 log3 2
= lim𝑥→+∞ log 3 2 = log 3 2_._
- lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) non esiste, f(x) e g(x) sono INFINITESIMI NON CONFRONTABILI.
Esempio: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 𝑥 = lim𝑥→+∞
𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 = lim𝑥→+∞^ 𝑠𝑒𝑛𝑥^ non esiste.
3.6 I Simboli di Landau
Nel campo dei limiti, si possono utilizzare anche due simboli detti Simboli di Landau :
lim𝑥→𝑝𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = 0 𝑓 = 𝑜(𝑔) (“f è o piccolo di g”) Il simbolo o definisce tutte le funzioni f che, per x che tende a p, rapportate a g, danno lim = 0. Pertanto, si dice che il simbolo o definisce gli infinitesimi. In particolare, se f e g sono entrambe infinitesime per x che tende a p, dire che 𝑓 = 𝑜(𝑔) equivale a dire che f è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per x che tende a p (dal momento che il limite del loro rapporto tenderà a 0). Quando, invece, f e g sono entrambe infinite per x che tende a p, dire che 𝑓 = 𝑜(𝑔) equivale a dire che f è infinito di ordine inferiore a g per x che tende a p. Inoltre, avviene che lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑹 𝑓(𝑥) = 𝑙 + 𝑜(1), dove o(1) rappresenta un errore di approssimazione infinitesimo (f(x) è circa l).
𝑓(𝑥)𝑥→𝑝 ~ 𝑔(𝑥) lim𝑥→𝑝𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 1 (“f(x) è asintotico a g(x)”) Se 𝑓(𝑥)𝑥→𝑝 ~ 𝑔(𝑥) e f(x) e g(x) sono entrambe infinite per x che tende a p, allora saranno infiniti dello stesso ordine. Allo stesso modo, se 𝑓(𝑥)𝑥→𝑝 ~ 𝑔(𝑥)^ e f(x) e g(x) sono entrambe infinitesime per x che tende a p, allora saranno infinitesimi dello stesso ordine. Infine, se 𝑓(𝑥)𝑥→𝑝 ~ 𝑔(𝑥), allora lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥).
Un’importante proprietà che riguarda questi due simboli è la seguente: 𝑓(𝑥) + 𝑜(𝑓(𝑥)) 𝑔(𝑥) + 𝑜(𝑔(𝑥))
𝟏 𝒙 (^) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝒍𝒏(𝟏+𝒙)𝒙 = 𝒍𝒏 𝒆 = 𝟏 Si può quindi scrivere ln(1+𝑥)𝑥 = 1 + 𝑜(1) => ln(1 + 𝑥) = 𝑥 + 𝑜(𝑥), 𝑥 → 0. Quindi, ln(1 + 𝑥) ~𝑥, 𝑥 → 0.
𝒙−𝟏 𝒙 = 𝟏 Quindi, 𝑒
𝑥− 𝑥 = 1 + 𝑜(1) => 𝑒
Inoltre, 𝑒𝑥^ = 𝑥 + 1 + 𝑜(𝑥) => 𝑒𝑥^ ~ 𝑥 + 1, 𝑥 → 0.
3.8 Asintoti
Una retta è un ASINTOTO per una funzione f(x) quando la distanza tra il grafico di f(x) e la retta tende a 0 quando la distanza di un punto di f(x) dall’origine tende a ∞.
N.B.: Questo non significa che il grafico della funzione non possa avere intersezioni con l’asintoto: nel caso di 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥 ,
ad esempio, l’asse delle ascisse è un asintoto (vale la definizione sopra riportata) anche se la funzione ha infinite intersezioni con tale retta.
Gli asintoti di una funzione possono essere di vario genere:
ASINTOTO ORIZZONTALE : la retta y = k sarà asintoto orizzontale per la funzione f(x) per 𝑥 → ±∞ quando lim𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∈ 𝑹.
Esempio : 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥 Sappiamo che questa funzione sarà sempre compresa tra i valori -1 e 1, perché vincolata al valore di sen x. Il numeratore della funzione, quindi, sarà sempre un numero reale. Se si calcola lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) , si otterrà quindi la situazione 0 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥 ≤ 0, 𝑥 → +∞. Quindi, lim𝑥→+∞𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥 = 0 : y = 0, ovvero l’asse delle ascisse, sarà asintoto orizzontale di f(x) per 𝑥 → ±∞ (la stessa situazione vale per - ∞ ).
ASINTOTO VERTICALE : la retta x = p si dice asintoto verticale per la funzione f(x) quando lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = ±∞ oppure
lim𝑥→𝑝−^ 𝑓(𝑥) = ±∞. In ogni caso, p deve essere punto di accumulazione del Dominio di f(x).
Esempio: 𝑓(𝑥) = 𝑒
1 𝑥 Il Dominio è rappresentato da tutti i valori di R escluso lo 0, che tuttavia è comunque un punto di accumulazione del dominio stesso. lim𝑥→0+^ 𝑓(𝑥) = 𝑒+∞^ = +∞ : x = 0 sarà asintoto verticale per x che tende a 0 da destra. lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = 𝑒−∞^ = 0 : per x che tende a 0 da sinistra, invece, non ci sono asintoti verticali. Inoltre, questa funzione avrà anche un asintoto orizzontale per 𝑥 → ±∞ : è la retta y = 1.
ASINTOTO OBLIQUO : la retta y = mx + q, con 𝑚 ≠ 0, è asintoto obliquo per una funzione f(x) quando 𝑓(𝑥) ~ 𝑚𝑥 + 𝑞, 𝑥 → ±∞ e quando lim𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = ±∞ (condizione necessaria).
Inoltre, lim𝑥→±∞𝑓(𝑥)𝑥 = 𝑚, 𝑚 ∈ 𝑹{0}^ (condizione necessaria). Infine, lim𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = 𝑞 ∈ 𝑹 (condizione necessaria e sufficiente).
Esempio: 𝑓(𝑥) = 3𝑥
(^2) −2𝑥 2𝑥− lim𝑥→+∞3𝑥
(^2) −2𝑥 2𝑥−1 = +∞ : esiste un asintoto obliquo per^ 𝑥 → ±∞. 𝑚 = lim𝑥→±∞3𝑥
(^2) −2𝑥 2𝑥−1 ∙^
1 𝑥 =^
3 2 : si trova così il coefficiente angolare dell’asintoto. 𝑞 = lim𝑥→±∞3𝑥
(^2) −2𝑥 2𝑥−1 ∙^
3 2 𝑥 =^
1 4 : si^ trova così anche il valore dell’ordinata all’origine. L’asintoto obliquo di f(x) per 𝑥 → ±∞ , quindi, sarà 𝑦 = 32 𝑥 + 14_._
3.9 Teoremi sulle Funzioni Continue Teorema di Weierstrass. Sia f(x) una funzione continua su un insieme A chiuso e limitato. Allora, f(x) ammette massimo e minimo assoluti su A.
N.B.: Questo teorema è soddisfatto e applicabile se e solo se sono soddisfatte tutte e tre le ipotesi, ovvero la continuità della funzione in A, la chiusura di A e la limitatezza di A.
Teorema dei Valori Intermedi (di Darboux). Se f(x) è continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora f(x) assume tutti i valori compresi tra il massimo assoluto e il minimo assoluto. 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑚, 𝑀]
N.B.: In questo caso, l’ipotesi prevede la continuità su un intervallo, e non su un insieme come nel teorema di Weierstrass. Restano sempre anche le ipotesi della chiusura e della limitatezza dell’intervallo in oggetto.
Teorema degli Zeri. Sia f(x) continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] e sia 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0. Allora, esiste 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che 𝑓(𝑐) = 0.
Questo teorema è una conseguenza del Teorema dei Valori Intermedi: se f assume tutti i valori tra m e M e se si ha che m < 0 e M > 0, allora f dovrà assumere anche il valore 0.
Questi teoremi possono risultare utili per equazioni non risolvibili con i metodi algebrici tradizionali: permetteranno di capire se una soluzione esiste e anche di individuare l’intervallo in cui si trova la soluzione stessa, attraverso il metodo di bisezione.
Esempio: 𝑒𝑥^ + 2𝑥 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥^ + 2𝑥 è continua su tutto R (dal momento che è la somma di due funzioni continue). Per trovare il punto in cui la funzione assume valore 0, si può scegliere un intervallo in cui la funzione assume valori di segno discorde, per poi applicare il teorema degli Zeri. 𝑓(0) = 1; 𝑓(−1) ≤ 0 : ci sarà una soluzione nell’intervallo (-1, 0).
