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alcune dispende su matematica generale miglierina
Tipologia: Dispense
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Algebra lineare
2
n
inversa
La retta reale
La differenza sostanziale tra Q ed R è la
proprietà di completezza. Essa assicura che
ad ogni numero reale si può associare uno ed un
solo punto di una retta orientata (retta reale).
Ad ogni numero reale x si associa il punto che
dista |x| dall’origine (associata a 0 ), a destra di
questa se x > 0 e a sinistra di essa se x < 0.
Operazioni in R
In R sono definite due operazioni: la somma
(+) ed il prodotto (·), che soddisfano le
seguenti proprietà: siano a, b, c ∈ R
(inverso rispetto alla +)
− 1 tale che a · (a
− 1 ) = 1
(inverso rispetto al ·)
rispetto alla +).
Si dice allora che R è un campo.
Esempi di spazi vettoriali reali: R
2
Consideriamo il piano cartesiano. Ogni punto
del piano è individuato da una coppia ordinata
di numeri reali:
P = (x 1 , x 2 ).
Ad esso si associa un vettore x che indicheremo
con
x =
x 1
x 2
L’insieme di tutti i vettori con due componenti
sarà indicato con R
2 .
L’insieme
x =
x 1
x 2
(^) : x 1 , x 2 ∈^ R
con le operazioni di somma tra vettori
x + y =
x 1
x 2
y 1
y 2
x 1 + y 1
x 2 + y 2
e prodotto per uno scalare
k
x 1
x 2
kx 1
kx 2
(^) ∀k ∈ R.
è uno spazio vettoriale reale.
k
x 1
x 2
xn
kx 1
kx 2
kxn
∀k ∈ R.
L’insieme R
n , con queste due operazioni, è uno
spazio vettoriale reale.
L’elemento neutro della somma è
n componenti
mentre l’opposto del vettore x è
−x =
−x 1
−x 2
−xn
Esempi di spazi vettoriali reali:
lo spazio dei polinomi di grado ≤ n
Consideriamo l’insieme Pn di tutti polinomi a
coefficienti reali di grado minore o uguale a n
fissato:
Pn = {A(x) = anx
n
Esempio: n = 3
A(x) = a 3 x
3
2
Elementi di P 3 sono ad esempio
A(x) = 2x
3 − 3 x
2 −
5 x + 1
(a 0 = 1, a 1 = −
5 , a 2 = − 3 , a 3 = 2)
B(x) = x
3
(a 0 =
, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 1)
C(x) = x
2 −x (a 0 = 0, a 1 = − 1 , a 2 = 1, a 3 = 0)
D(x) = 3 (a 0 = 3, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 0).
Osservazione 2.
Lo spazio vettoriale Pn può essere facilmente
identificato con lo spazio vettoriale R
n+ ; basta
infatti associare ad ogni polinomio
A(x) = anx
n
il vettore dei coefficienti
a =
a 0
a 1
an
n+ .
Sottospazi vettoriali
Un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale V è
un sottospazio vettoriale quando, considerato
con le operazioni indotte da quelle di V , è a sua
volta uno spazio vettoriale.
L’insieme {O} formato dal solo vettore nullo e
l’intero spazio V sono sempre due sottospazi
vettoriali di V (sottospazi impropri ).
Teorema 1.
Un sottoinsieme S, non vuoto, di V è un
sottospazio vettoriale di V se e solo se per ogni
x, y ∈ S si ha che
x + y ∈ S e kx ∈ S ∀k ∈ R.
Teorema 2.
Un sottoinsieme S, non vuoto, di V è un
sottospazio vettoriale di V se e solo se per ogni
x, y ∈ S e per ogni a, b ∈ R si ha che
ax + by ∈ S.
Molto utile è anche la seguente condizione.
Osservazione.
Se un sottoinsieme S, non vuoto, di V è un
sottospazio vettoriale allora 0 ∈ S.
La condizione dell’osservazione è però solo
necessaria, come mostra il seguente esempio.
Esempio.
In R
2 il sottoinsieme del tipo
x 1
x 2
(^) ∈ R^2 : x 2 =^ x
2 1
(parabola con vertice nell’origine) non è un
sottospazio vettoriale di R
n (perchè?...) ma
contiene 0.
Combinazioni lineari
Sia V uno spazio vettoriale reale.
Definizione.
Siano x 1 , x 2 , ..., xn n vettori di V e
a 1 , a 2 , ..., an ∈ R, il vettore
x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + anxn
si dice combinazione lineare dei vettori
x 1 , x 2 , ..., xn (con coefficienti a 1 , a 2 , ..., an).
Esempi.
n consideriamo gli n vettori
e 1 =
, e 2 =
, ..., en =
Dipendenza ed indipendenza lineare
Sia V uno spazio vettoriale reale.
Definizione.
I vettori x 1 , x 2 , ..., x m di V sono linearmente
dipendenti se esistono m numeri reali, non tutti
nulli, a 1 , a 2 , ..., am, tali che risulti
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + amxm = 0.
In caso contrario, cioè se
a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+amx m = 0 ⇐⇒ a 1 = a 2 = ... = am = 0,
i vettori x 1 , x 2 , ..., xm si dicono linearmente
indipendenti.
Proprietà dei vettori linearmente
indipendenti.
vettore nullo 0 allora questi vettori sono
linearmente dipendenti.
linearmente dipendenti, allora almeno uno
di essi si può scrivere come combinazione
lineare degli altri.
linearmente indipendenti, allora
scegliendone l (con l ≤ m) si hanno ancora
l vettori linearmente indipendenti.
sono l (con l ≤ m) linearmente dipendenti,
allora anche gli m vettori sono linearmente
dipendenti.
