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MATEMATICA GENERALE
Prova generale del 13 dicembre 2024
Gli svolgimenti del Modulo I e del Modulo II devono essere riportati su fogli separati
Ogni risposta deve essere adeguatamente motivata. Soluzioni non motivate non verranno
prese in considerazione.
I modulo
- [8 punti] Data la funzione f (x) =
2 x → 1
x + 1
(a) Determinare il dominio di f (x).
(b) Determinare gli intervalli su cui f `e crescente.
(c) Determinare gli intervalli su cui f `e convessa.
(d) Si dia la definizione di funzione continua in un punto e si stabilisca se la funzione
f `e continua sul suo dominio.
- [4 punti] Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione
h(x) = e
x ln(x + 1)
a partire dal punto x = 0 con resto secondo Peano.
- [4 punti] Data la funzione in 2 variabili f (x, y) = 4x + 2y, con il vincolo e 2 x + y = 2,
determinare i punti stazionari (x → , y → , ω → ) della funzione Lagrangiana.
II modulo
- [8 punti] Data la matrice quadrata
A =
k 1 1
k 2 2
(^) con k ↑ R
(a) Discutere il numero di soluzioni del sistema lineare Ax =
(b) Dare la definizione di matrice inversa di una matrice quadrata e dire se A risulta
invertibile per k = 3.
- [4 punti] Si consideri la funzione f (x) = (x → 1)ex. Si giustifichi l’a!ermazione ”la
funzione data ammette primitive” e si calcoli
f (x)dx.
- [4 punti] Data la funzione
f (x) =
x 2 se x < → 1
x + 2 se x ↓ → 1
si calcoli la funzione integrale
∫ (^) x
↑ 1
f (t)dt.
II modulo
- (a) Il determinante della matrice A `e 0 per ogni valore del parametro reale k poich´e
i vettori sono linearmente dipendenti, per cui il rango della matrice `e sempre
minore di 3. Poich´e i vettori nella seconda e terza colonna sono uguali, si ha che
il rango di A `e 2 se il determinante della sottomatrice di ordine 2 A ↓ =
k 1
`e diverso da 0, ossia se k ≃= 0. Si trae analoga conclusione considerando tutte
le sottomatrici di A.
Sia ora k ≃= 0. Poich´e anche la matrice completa A|b =
k 1 1 3
k 2 2 3
(^) ha rango
2, segue che, per il Teorema di Rouch`e-Capelli, il sistema ammette soluzione e
in particolare ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro.
Se invece k = 0, il rango della matrice A `e 1, mentre il rango della matrice
completa `e 2 e quindi il sistema non ha soluzioni.
(b) cfr. Definizione 2.15, Appunti di Matematica Generale.. Poich´e il determinante
della matrice `e 0 per qualunque valore di k, la matrice non risulta invertibile.
- La funzione data, definita su R, ammette primitive in quanto funzione continua.
Integrando la funzione per parti, si ha:
∫
(x → 1)e x dx = (x → 1)e x →
e x dx = (x → 2)e x
- La funzione integrale `e
∫ (^) x
↑ 1
f (t)dt =
{ ∫^ x ↑ 1 t 2 dt se x < → 1 ∫ x ↑ 1 (t + 2)dt se x ↓ → 1
Poich´e
∫ (^) x
↑ 1
t 2 dt =
[
t 3
x
↑ 1
x 3
3
e
∫ (^) x
↑ 1
(t + 2)dt =
[
t 2
x
↑ 1
x 2
si ottiene
∫ (^) x
↑ 1
f (t)dt =
x^3 + 3 se^ x <^ →^1 x^2 2 + 2x^ +^
3 2 se^ x^ ↓ →^1
