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MATEMATICA GENERALE E, 1/02/
1112COGNOME............................................................ NOME................................................. MATR....................
Istruzioni. Líesame dura 2 ore e 30 minuti. Non Ë consentito líuso di calcolatrici.
PREREQUISITI
Questa parte vale 4 punti. » indispensabile raggiungere almeno 3 punti a¢ nchË líelaborato sia corretto.
- Tracciare nello stesso graÖco le due rette di equazione y = 3 x + 1 e y = 13 x 1.
- Calcolare la derivata prima di f (x) = e^2 x^ + ln (3x 2) + sin (4x) :
- Tracciare il graÖco di f (x) = (x + 1)^2 2 ; mostrando tutti i graÖci intermedi.
DOMANDE A RISPOSTA APERTA
- (5 punti) Questa domanda ha quattro parti:
(a) Dato un insieme A Rn, dare la deÖnizione di punti interni, esterni e di frontiera di A. (b) Dato un insieme A Rn, dare la deÖnizione di punti di accumulazione e punti isolati di A. (c) Sia A = [0; 2] f 1 g [ f 3 g R; rappresentare graÖcamente líinsieme e determinare i seguenti insiemi: Ai dei punti interni, @A dei punti di frontiera, Ae^ dei punti esterni; A^0 dei punti di accumulazione e Ais^ dei punti isolati di A. (d) Dimostrare che se x Ë un punto isolato di A Rn, allora Ë un punto di frontiera per A.
- (4 punti) Questa domanda ha tre parti:
(a) Data una funzione f : A R! R con A aperto e x 0 2 A, quando si dice che f Ë continua in x 0? Quando si dice che f Ë continua su A? Fornire un esempio di funzione deÖnita su R e discontinua nel punto x 0 = 1. (b) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri, producendo un esempio di sua applicazione. (c) Enunciare e dimostrare il teorema dei valori intermedi.
- (5 punti) Questa domanda ha quattro parti:
(a) Dato x = (x 1 ; x 2 ; :::; xn) 2 Rn, come si deÖnisce la norma di x; kxk? (b) Dimostrare le seguenti propriet‡ della norma: kxk = 0 () x = 0 k xk = j j kxk ; con 2 R: (c) Dati due vettori x; y 2 Rn; deÖnire il prodotto interno tra x e y. Calcolare il prodotto interno tra x = (a; b; a + b) e y = (a; b; a b). (d) Dati due vettori x; y 2 Rn; quando si dice che x e y sono ortogonali? Fornire un esempio di vettori ortogonali di R^3 : Fornire un esempio di vettori di R^3 non ortogonali.
- Dato líinsieme E = B 2 (1) [ (3; 4] in R, líinsieme E^0 dei suoi punti di accumulazione Ë: a f 1 ; 3 ; 4 g b [ 1 ; 4] c ( 1 ; 4] f 3 g d manca la risposta esatta
- Se f (x) =
p ln x, líequazione della retta tangente al graÖco di f in corrispondenza del punto di ascissa x 0 = 2 Ë a y =
p ln 2 + 4 p^1 ln 2 (x 2) b y =
p ln 2 + 2 (x 2) c y =
p ln 2 + pln 2^1 (x 2) d nessuna delle precedenti
- La seguente funzione:
f (x) =
x + 1 x 0
p x x > 0
[a] presenta un punto di massimo assoluto in x = 0 [b] presenta un punto di minimo relativo in x = 0 [c] non presenta nË massimi, nË minimi [d] nessuna delle precedenti
- Data la funzione f (x; y) = cos
2 xy
2 ^ la derivata parziale prima di f rispetto a y nel punto (; 1) Ë
a 0 b c 12 d nessuna delle precedenti
- Date le funzioni g(x) =
p x e f (x) = 1+lnx 2 x, Dom(f g) Ë
a [e ^1 ; + 1 ) b fx > 0 g c (0; e) d nessuna delle precedenti
