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PRESENTEREMO ORA ALCUNI ESERCIZI SVOLTI TRATTI DAI
TEMI D’ESAME ASSEGNATI NEGLI ULTIMI TRE ANNI
1) Si calcoli il seguente limite
Soluzione: e’ facile osservare che il limite presenta una forma di indecisione:
Utilizzando gli sviluppi di Taylor Mac Laurin si ottiene:
applicando infine il teorema degli infinitesimi si ricava:
2) Data la seguente funzione:
si determini il suo grafico identificando l’insieme delle immagini; si stabilisca inoltre se risulta essere continua in tutti i suoi punti; si classifichino le eventuali discontinuità presenti.
Soluzione: questa funzione è composta da due funzioni, rispettivamente da e ; la prima deve essere presa in considerazione sono nell’intervallo , mentre la seconda nell’intervallo.
Dal punto di vista grafico, la funzione sarà ottenuta nel seguente modo: ► si disegna il grafico di e si evidenzia solo il tratto per cui ; ► si disegna il grafico di e si evidenzia solo il tratto per cui ► il grafico della funzione definita a pezzi sarà dato dall’unione dei due tratti evidenziati in precedenza.
Come si può osservare, il grafico della funzione è formato dai “due pezzi” evidenziati: il dominio della funzione, per come è stata definita è. Nota bene : allo studente è richiesto di riportare nel grafico sono ed esclusivamente i “due pezzi” evidenziati!!!!!!
L’insieme delle immagine della funzione è dato da:
Chiediamoci ora se questa funzione è continua nel suo dominio. Entrambi i “pezzi” che costituiscono la funzione sono funzioni continue su tutto il loro dominio che, prese singolarmente coincide con. A maggior ragione tali funzioni risulteranno continue nei due rispettivi intervalli presi in considerazione, ossia: è sicuramente continua in è sicuramente continua in Il punto critico dal punto di vista della continuità è rappresentato da , punto nel quale vengono uniti i due pezzi. Per essere continua nel punto , la funzione deve soddisfare alla seguente relazione:
ossia deve esistere finito il limite sinistro e il limite destro, devono essere coincidenti e devono essere uguali al valore assunto dalla funzione nel punto in esame. Nel nostro caso si ha:
da cui si ricava dal momento che si deve sostituire il valore nel “pezzo” di funzione che contiene nel suo dominio il punto stesso. Inoltre si ha:
dal momento che avvicinandosi a zero da sinistra, quindi per valori leggermente minori di zero, si deve prendere in considerazione il primo “pezzo” il cui dominio è ; infine si ha:
dal momento che avvicinandosi a zero da destra si deve prendere in considerazione il secondo “pezzo” il cui dominio è
Definiamo la derivata prima della funzione:
Condizione sufficiente perché la sia derivabile in è che:
da cui si ricava:
la funzione di partenza è quindi derivabile in tutti i punti del suo dominio sole se: In particolare nel punto critico si ha
4) Studiare la seguente funzione
Soluzione:
Dominio : il denominatore deve essere posto diverso da zero: dom.
Ricerca di simmetrie: osservando che ; si deduce che la funzione non è ne pari () ne dispari ().
Limiti agli estremi del C.E : ; ; ; ;
Asintoti: Non sono presenti asintoti orizzontali. è asintoto verticale per la funzione. Per quanto riguarda l’eventuale presenza di asintoto obliquo si impone la condizione necessaria:
verificata la condizione necessaria si procede con la determinazione dell’eventuale quota della retta:
si ricava quindi che è asintoto obliquo (a ).
Intersezione con gli assi : asse delle ascisse: Punti di intersezione: e.
Positività:
Confronto dei segni: -1 0 1
Determinazione della funzione derivata prima: applicando la regola di derivazione per la derivata di un rapporto di funzioni si ottiene:
Determinazione del C.E. della funzione derivata prima e confronto con il C.E. della funzione di partenza: la funzione derivata prima ha come dominio l’intervallo: che risulta essere identico al dominio della funzione di partenza, quindi:
la funzione di partenza pertanto non presenta punti notevoli.
Studio del segno della derivata prima:
Confronto fra i segni:
N - -
D + +
max min
si ricava che è un punto di massimo relativo, mentre è un punto di minimo relativo per la funzione.
Studio della derivata seconda: applicando la regola di derivazione del rapporto tra funzioni si ottiene:
il denominatore è una quantità sempre positiva quando ; il numeratore si annulla per ma tale punto non può essere un flesso dal momento ce non appartiene al C.E. della funzione; inoltre il numeratore è positivo nell’intervallo e ciò ci permette di affermare che in tale intervallo la funzione è convessa
Grafico della funzione:
da cui si ricava che in la funzione non è continua e presenta una discontinuità di 3° specie dal momento che entrambi i limiti esistono, sono finiti e coincidono ma non esiste. In si ottiene:
da cui si ricava che in la funzione non è continua e presenta una discontinuità di 2° specie dal momento che entrambi i limiti risultano essere infiniti.
6) Date le seguenti funzioni, stabilire quale di esse risulta essere un in ;
Soluzione:
Sapendo che una funzione è un “o piccolo” di () in se
si ricava che solo in dal momento che:
negli altri casi invece si ottiene:
7) Data la seguente funzione
a) dire se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo ; b) stabilire se esiste un punto c che soddisfa la tesi del teorema di Lagrange; c) stabilire se esiste la tangente al grafico di f nel punto di ascissa zero?
Soluzione: a) La funzione deve essere continua in Punti critici: da cui si ricava che f è continua in ; La funzione deve essere derivabile in Punti critici: Si calcola
da cui si ricava che f non è derivabile in : quindi la funzione non soddisfa le ipotesi del teorema. b) Verifichiamo se la tesi è rispettata nonostante non lo sia l’ipotesi. E’ necessario verificare se esiste almeno un tale che:
tale valore può essere assunto solo nell’intervallo si impone quindi da cui si ricava che la tesi è verificata malgrado le ipotesi non lo siano! c) La retta tangente al grafico nel punto di ascissa zero non esiste dal momento che la funzione non è derivabile in.
8) Si calcoli il seguente limite
Soluzione: utilizziamo la regola di de l’Hopital: dal momento che
La funzione è derivabile negli intervalli e mentre presenta nel punto un punto angoloso dal momento che:
c) Il grafico della funzione è il seguente:
d) Il fascio di rette passanti per il punto è dato da:
la retta tangente alla curva sarà data da:
si ha quindi:
10) Date le seguenti funzioni ; a) definire, se è possibile o sotto quali ipotesi è possibile farlo, la funzione composta , specificando il suo dominio e la sua immagine; b) definire, se è possibile o sotto quali ipotesi è possibile farlo, la funzione composta , specificando il suo dominio e la sua immagine.
Soluzione: Consideriamo il dominio e l’insieme delle immagine delle due funzioni date: segue che segue che ●è possibile definire senza alcuna restrizione del dominio di dal momento che e si ha che con ;
●è possibile invece definire a patto di restringere il dominio di in modo tale che si abbia. Deve essere quindi verificata la seguente condizione:
Sotto questa restrizione si ha che con
11) Calcolare il seguente limite
sapendo che, in un intorno di zero, e che è un infinitesimo di ordine 2 rispetto al campione.
Soluzione Il limite equivale al per il teorema degli infinitesimi. il risultato finale, utilizzando il confronto fra infinitesimi, è infinito in quanto a denominatore è presente un infinitesimo di ordine superiore rispetto a quello presente a numeratore:
12) Calcolare il seguente limite
sapendo che, in un intorno di zero, e che è un infinitesimo di ordine 2 rispetto al campione.
Soluzione: sappiamo che al momento che è un infinitesimo di ordine 2 rispetto al campione ; inoltre anche dal momento che e quindi è un infinitesimo di ordine 2 rispetto al campione. Si ha quindi, applicando il teorema degli infinitesimi:
il cui risultato è
dal momento che è infinitesimo di ordine superiore a x.
14) Scrivere il rapporto incrementale della funzione a partire dal punto con incremento h ; utilizzare tale rapporto per calcolare la derivata della funzione f nel punto.
Soluzione: Rapporto incrementale di in e dal momento che:
si ottiene:
Per calcolare la derivata della funzione nel punto è sufficiente calcolare
sfruttando il limite notevole evidenziato.
