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Complimenti di logica
La negazione
La negazione di una proposizione , si può costruire tramite il connettivo “ non ” facendolo precedere al predicato verbale della proposizione. La negazione di una proposizione (^) p si indica con il simbolo (^) p. Il connettivo “non” produce una nuova proposizione la quale se la proposizione p è vera , p è falsa e viceversa.
Esempi:
p : oggi piove p : oggi non piove p : 2 + 2 = 4 p : 2+2 ≠ 4 Il connettivo “ non ” produce una nuova proposizione la quale se la proposizione p è vera , p è falsa e viceversa.
Quindi:
p q V F F V
La congiunzione
viene chiamato congiunzione , il legame tra due proposizioni fatto tramite “ e ”, che viene indicata con il simbolo “ ⋀ , in logica matematica.
Esempio:
p : paolo ascolta la musica e q: paolo disegna p ∧ q : paolo ascolta la musica e disegna La proposizione p ∧ q risulta vera quando sono vere entrambe le proposizioni p e q, risulta falsa negli altri casi.
Quindi:
p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
La disgiunzione
viene chiamata disgiunzione , il legame tra due proposizioni fatto tramite “ o ”, che viene indicata con il simbolo “ ⋁ , in logica matematica.
Esempio:
p : paolo giocaai videogiochi “ e q : paolo studia matematica p ∨ q : paolo gioca ai videogiochi o studia matematica In logica matematica, la congiunzione “o” viene utilizzata in senso inclusivo.
Quindi:
p ∨ q : paolo ascolta la musica o studia matematica sta per : paolo ascolta la musica, oppure studia matematica, oppure ascota sia la musica sia studia matematica La proposizione p ∨ q risulta vera quando almeno una proposizione tra p e q è vera, risulta falsa nel caso in cui sia p che q sono false.
Quindi:
p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F
“Prova tu” pag. 3
p : 6 è multiplo di 4 e q: 6 è divisibile per 5 Proposizione∈simboli Proposizione a parole Valore di verita p 6 non è multiplo di 4 è vera perchè 6 non è multiplo di 4 p ∧ q 6 è multiplo di 4 e è divisibile per 5 è falsa perchè non è nè multiplo di 4 nè dividibile per 5 p ∨ q 6 è multiplo di 4 o è divisibile per 5 è falsa perchè non è nè multiplo di 4 nè dividibile per 5 p ∨ q 6 è multiplo di 4 o non è divisibile per 5 è vera perchè 6 non è dividibile per 5 p ∨ q 6 non è multiplo di 4 o è divisibile per 5 è vera perchè 6 non è multiplo di 4
Leggi di De Morgan
Le leggi di De Morgan sono due e quivalenze logiche p ∧ q= p ∨ qe p ∨ q= p ∧ q, a parole: la negazione della congiunzione di due proposizioni elementari equivale alla disgiunzione delle loro negazioni; la negazione della disgiunzione di due proposizioni elementari equivale alla congiunzione delle loro negazioni.
Esempio:
Tramite le leggi di De Morgan, neghiamo la proposizione “paolo studia matematica e storia”. Consideriamo le due proposizioni: p : paolo studia matematica e q : paolo studia storia La proposizione data equivale a p ∧ q e la sua negazione è: p ∧ q : non è vero che paolo studia matematica e storia Possiamo riscrivere quest’ultima proposizione in forma equivalente utilizzando le leggi di De Morgan. Infatti, p ∧ q è equivalente a p ∨ q quindi la negazione di p ∧ q si può esprimere anche nella forma: p ∨ q :paolo non studia matematica o non studia storia
Proprietà dei connettivi
Le proprietà dei connettivi sono equivalenze logiche importanti.
Le più importanti sono:
Proprietà dei connettivi Espressione Legge della doppia negazione ´p= p Proprietà di idempotenza della congiunzione p ∧ p=p Proprietà di idempotenza della disgiunzione p ∨ p=p Proprietà commutativa della congiunzione (^) p ∧ q=q ∧ p Proprietà commutativa della disgiunzione p ∨ q=q ∨ p Proprietà associativa della congiunzione (^) ( p ∧ q ) ∧ r =p ∧ ( r ∧ q ) Proprietà associativa della disgiunzione (^) ( p ∨ q ) ∨ r =p ∨ ( r ∨ q ) Proprietà distributive (^) p ∧ ( r ∨ q) =( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ ( r ∧ q) =( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) Leggi di assorbimento (^) p ∨ ( p ∧ q)= p p ∧ ( p ∨ q)= p Leggi di De Morgan p ∧ q= p ∨ q p ∨ q= p ∧ q
“Prova tu” pag. 8
Esercizio 1:
Tavola verità p ∧ q: p q p p ∧ q V V F F V F F F F V V V F F V F Tavola verità( p ∧ q ) ∨ q: p q p ∧ q q (^) ( p ∧ q ) ∨ q V V V F V V F F V V F V F F F F F F V V Tavola verità ( p ∨ q ) ∧ r: p q r p ∨ q (^) ( p ∨ q ) ∧ r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F F F F F F F
Esercizio 2:
Dimostra che p ∧ q=q ∧ p p q p ∧ q q ∧ p V V V V V F F F F V F F F F F F Dimostra che p ∨ q= p ∧ q
V F F
F V V
F F V
Si ritiene falsa solo nel caso in cui la premessa p è vera ma di conseguenza q è falsa.
Esempi:
Date le proposizioni p: «Pisa è una città italiana» e q: «Pisa è una città europea», esprimiamo a parole le proposizioni p ⇒ q , p ⇒ q , p ⇒ q e determiniamone il valore di verità. Proposizione in simboli Proposizione a parole Valore di verità p ⇒ q “se Pisa è una città italiana, allora è una città europea” p ⇒ q è vera p ⇒ q “se Pisa è una città italiana, allora non è una città europea” p ⇒ q è falsa p ⇒ q “se Pisa non è una città italiana, allora non è una città europea” p ⇒ q èvera
I modi di leggere l’implicazione
(^) p implica (^) q se p allora q da p segue q p è condizione sufficiente per q q è condizione necessaria per p
Esempio:
Riscriviamo le seguenti proposizioni utilizzando le espressioni “condizione necessaria” e “condizione sufficiente”: a) «totalizzare un punteggio di 80 punti al test implica avere superato l’esame»; b) «se un triangolo è equilatero allora è isoscele». a) «Totalizzare un punteggio di 80 punti al test è condizione sufficiente per superare l’esame» oppure: “il fatto di avere superato l’esame è condizione necessaria per avere totalizzato al test un punteggio di 80 punti” b) “Condizione sufficiente perchè un triangolo sia isoscele è che esso sia equilatero” oppure: “il fatto che un triangolo sia isoscele è condizione necessaria perchè sia equilatero”
La negazione di un’implicazione
La negazione di una proposizione del tipo p ⇒ q equivale a p ∧ q.
Dimostrazione:
p q p q p ∨ q p ⇒ q p ∧ q p ⇒ q p ∧ q V V F F V V F F V V F F V F F V V F F V V F V V F V F F F V V V V F V F
Esempio:
Neghiamo la proposizione: “se finisco presto di studiare, esco con i miei amici”. p : finisco presto di studiare e q : esco con i miei amici la proposizione assegnata è l’implicazione p ⇒ q. In base a quanto abbiamo appena detto, la sua negazione è la proposizione: p ∧ q : finisco presto di studiare e non esco con i miei amici
Proposizione inversa, contronominale e contraria
A partire dall’implicazione p ⇒ q , si possono costruire altre tre implicazioni: (^) q ⇒ p detta inversa di (^) p ⇒ q q ⇒ p detta contronominale di p ⇒ q (^) p ⇒ q detta contraria di (^) p ⇒ q In questo contesto, la proposizione p ⇒ q viene detta implicazione diretta.
Esempio:
Data la proposizione: “Se 111 è un numero primo, allora non è divisibile per 11”, determiniamo la sua inversa, la sua contronominale e la sua contraria. La proposizione data è l’implicazione diretta p ⇒ q, essendo p la proposizione “111 è un numero primo” e q la proposizione «111 non è divisibile per 11». Abbiamo che: la proposizione inversaq ⇒ p, e: “Se 111 non è divisibile per 11, allora è un numero primo”; la proposizione contronominale, q _⇒_ p, è: “Se 111 è divisibile per 11, allora non è un numero primo”; la proposizione contraria, p _⇒_ q, e: “Se 111 non è un numero primo, allora è divisibile per 11”. p q p ⇒ q q ⇒ p q ⇒ p p q p ⇒ q V V V V V F F V V F F V F F V V F V V F V V F F
La doppia implicazione
Il connettivo “ se e solo se ” è indicato con il simbolo «⇔» è il modo di comporre due proposizioni tramite tale connettivo viene chiamato doppia implicazione. p q p ⇒ q q ⇒ p (^) ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) p ⇔q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Il connettivo “⇔” opera su una coppia di proposizioni p , q producendo la proposizione composta p ⇔q che risulta vera se e solo se p e q sono entrambe false o entrambe vere.
Esempio:
Date le proposizioni p : la Luna euna stellae q : Giove e un pianeta esprimiamo a parole le proposizioni p ⟺ q e p ⟺ q ; poi stabiliamo il loro valore di verità`. Proposizione in simboli Proposizione a parole Valore di verità q ⟺ p “la Luna è una stella se e solo se Giove è un pianeta” p è verae q è vera quindi : p ⇔q è falsa p ⟺ q “la Luna non è una stella se e solo se Giove è un pianeta” p èverae q è vera quindi : p ⇔q è vera
I modi di leggere la doppia implicazione
Anche la proposizione p ⟺ q può venire letta in vari modi: (^) p se e solo se (^) q (^) p equivale a (^) q se p allora q e viceversa (^) p è condizione necessaria e sufficiente per (^) q
“Prova tu” pag. 15
Esercizio 1:
Data la proposizione “se supero l’esame, ti invito a cena”, scrivi la sua inversa p :supero l'esame e q : ti invito a cena La proposizione di cui devo fare l’inversa è p ⇒ q : se supero l’esame, ti invito a cena la sua inversa è p ⇒ q : se ti invito a cena,allora supero l’esame”
Esercizio 2:
p : Venere è un pianeta e q : l’Acquario non è una costellazione Proposizione Proposizione Valore di verità
in simboli a parole p ⟺ q “Venere è un pianeta se e solo se acquario è una costellazione” p è vera e q è vera quindi : p ⇔q è vera p ⟺ q “Venere non è un pianeta se e solo se Acquario non è una costellazione” p è falsa e q è falsa quindi : p ⇔q è vera
Esercizio 3:
a e d perché hanno lo stesso valore di verità.
