MATEMATICA / STATISTICA, Schemi e mappe concettuali di Matematica

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AFFIDABILITÀ

DEFINIZIONI E METRICHE DI BASE

INTRODUZIONE

Il concetto di affidabilità, prima ancora che ad un contenuto tecnico, fa riferimento al significato originario della parola che riguarda un attributo umano.

Una persona affidabile, nell’accezione comune, è una persona fidata, coerente, che non tradisce le aspettative.

L’essere affidabile è quindi una caratteristica positiva per un individuo, anche se è difficile precisare esattamente il contenuto di questa caratteristica, o addirittura darne una valutazione quantitativa.

La domanda di affidabilità che viene dall’utenza pone specularmente un problema di offerta di affidabilità, che coinvolge produttori, progettisti, gestori d’impianti, enti normativi, etc.

In generale, produrre ed offrire prodotti più affidabili comporta maggiori costi, ma nello stesso tempo può determinare risparmi per minori costi associati a malfunzio- namenti ed inefficienze, può produrre vantaggi sociali, può ridurre il rischio di perdita di vite umane.

Si tratta di volta in volta di effettuare un bilancio tra i costi dell’affidabilità ed i vantaggi che da essa possono derivare.

Per fare ciò, tuttavia, è necessario non solo sapere che un oggetto è affidabile, ma occorre stabilire quanto esso è affidabile, ed è quindi necessario sviluppare una serie di criteri operativi che consentano di misurare l’affidabilità.

A tale scopo, nel corso degli ultimi decenni si è andata formalizzando una disciplina, la

“Teoria dell’Affidabilità”

la quale, pur derivando i suoi metodi dalla Teoria della Probabilità e dalla Statistica, è andata via via assumendo una sempre maggiore autonomia, tanto da innescare un processo di arricchimento con le discipline di origine.

Funzione Richiesta

In genere ad uno stesso dispositivo possono essere richieste funzioni o prestazioni diverse.

Ad esempio, ad una autovettura potrebbe essere richiesto di:

• garantire il completamento di un assegnato percorso
• garantire il completamento di un assegnato percorso, nel rispetto delle condizioni di sicurezza

Affinché l’affidabilità del dispositivo sia correttamente valutata è quindi necessario che la funzione richiesta sia precisamente definita.

Condizioni di funzionamento

Uno stesso dispositivo può essere chiamato ad operare sotto sollecitazioni o condizioni ambientali diverse.

Ad esempio, un’autovettura può essere chiamata a svolgere un certo percorso:

• a pieno carico ed alla velocità massima
• con il solo guidatore ed alla velocità di crociera.

È intuitivamente evidente che la possibilità di portare a termine la missione è legata alle condizioni d’uso e qindi la valutazione dell’affidabilità deve tener conto della situazione in cui il dispositivo si trova ad operare.

Probabilità

Ogni oggetto sarebbe perfettamente affidabile se non intervenissero degli eventi indesiderati comunemente definiti “guasti”, che determinano il venir meno della funzione ad esso assegnata.

Le cause, le modalità e le conseguenze dei guasti sono estremamente varie, ma il dato comune è rappresentato dal fatto che i guasti sono degli eventi difficilmente prevedibili.

In effetti, definita la funzione richiesta al dispositivo, mentre in generale siamo in grado stabilire quali sono le condizioni per le quali viene a mancare il soddisfacimento di tale funzione, di solito invece non siamo in grado di stabilire con certezza se queste condizioni si presenteranno nel corso del periodo di missione fissato.

Pertanto ne consegue che una misura dell’attitudine di un oggetto ad adempiere alla funzione richiesta non può che basarsi sul concetto di probabilità , in quanto misura del grado di incertezza di eventi non deterministici.

DEFINIZIONE OPERATIVA DI AFFIDABILITÀ

L’Affidabilità di un dispositivo è la probabilità che esso adempia alla funzione richiesta per un tempo prefissato, in determinate condizioni di funzionamento.

Dal momento che un’unità non riparabile può portare a termine una missione solo se non sperimenta mai il guasto nell’arco della missione stessa, la formalizzazione del problema si basa sulla descrizione probabilistica di un’ unica variabile aleatoria: il «tempo alla comparsa del guasto», che corrisponde alla «durata di vita» dell’unità.

Nel formalismo della Teoria della Probabilità, pertanto, il problema può essere impostato come segue.

La descrizione delle prestazioni e delle condizioni operative relative a un’unità non riparabile definisce un

esperimento il cui risultato è rappresentato dall’istante ξ in

cui l’unità si guasta, misurato a partire da quando l’unità entra in funzione.

L’insieme di tutti i possibili risultati sperimentali definisce lo spazio Σ = [0, ∞). Su tale spazio viene definita la v.a. X ,

«durata di vita» dell’unità, secondo la regola che, in

corrispondenza del risultato ξ , si ha X ( ) ξ = ξ con ξ ∈ Σ.

Sia la «durata di missione», misurata anch’essa a partire dall’istante in cui l’unità è messa in funzione per la prima volta.

x

L’affidabilità dell’unità, che verrà indicata con il simbolo R (dall’iniziale del termine inglese reliability ), è per definizione la probabilità del verificarsi dell’evento { X > x }≡ «la durata di

vita dell’unità è superiore alla durata di missione x »

R ≡ Pr { X > x }

In maniera speculare, il problema può essere formalizzato facendo riferimento all’evento { X ≤ x }≡«la durata di vita

dell’unità è inferiore alla durata della missione». La probabilità del verificarsi di tale evento, che viene generalmente indicata con il simbolo F

x

F ≡ Pr { X ≤ x }

è detta inaffidabilità dell’unità.

Le funzioni affidabilità e inaffidabilità

L’affidabilità o l’inaffidabilità di un dispositivo, come si è visto, sono sempre riferite ad una durata entro la quale deve essere garantita una certa funzione.

Nel caso di un’unità con un tempo di missione definito, l’unico valore di affidabilità o di inaffidabilità che interessa è quello relativo a tale durata di missione.

In molti casi, tuttavia, è utile disporre del valore dell’affidabilità o dell’inaffidabilità in corrispondenza di più valori del tempo di missione di un dispositivo.

In termini matematici potremmo dire che, in molti casi, si è interessati a conoscere la funzione affidabilità , oppure la funzione inaffidabilità

R x ( ) F ( ) x , si è cioè interessati a

conoscere come varia la probabilità di buon funzionamento, oppure di guasto, di un dispositivo al variare della durata x della missione.

Per definizione, la funzione inaffidabilità rappresenta la funzione distribuzione della v.a. X , durata di vita dell’unità. Essa pertanto deve essere una funzione non decrescente di x , con F (0) = 0 e F ( ∞ =) 1.

Questi requisiti matematici, comuni ad ogni funzione distribuzione, hanno un evidente significato intuitivo nello specifico contesto.

Infatti, è logico presupporre che in corrispondenza del tempo l’unità sia funzionante e quindi l’inaffidabilità sia nulla, come è intuitivamente evidente che la probabilità di non soddisfare una certa prestazione tende ad aumentare al crescere del tempo di missione considerato.

x = 0

Pertanto, per valori di molto elevati, osservare un guasto diventa in pratica un evento certo , in quanto ogni prodotto umano, per quanto ben costruito, non può soddisfare indefinitamente la funzione ad esso assegnata, e l’inaffidabilità è pari a 1.

x

Al contrario, è intuitivamente evidente che la funzione affidabilità deve essere una funzione non crescente del tempo, con e

R x ( ) R (0) = 1 R ( ∞) = 0.

Esempio 1 - Si supponga che in relazione ad una popolazione di condensatori sia noto il valore dell’affidabilità in corrispondenza di un periodo di utilizzo da uno a cinque anni. R (1 anno) = 0. R (2 anni) = 0. R (3 anni) = 0. R (4 anni) = 0. R (5 anni) = 0.

Da tale informazione si ricava, ad esempio, che la probabilità che un condensatore si guasti nei primi tre anni di vita è pari a

F (3 anni) = 1 − R (3 anni) = 1 − 0.741 =0.

mentre la probabilità che si guasti nei primi cinque anni è data da

F (5 anni) = 1 − R (5 anni) = 1 − 0.606 =0.

Nell’ambito di una interpretazione frequentistica, queste quantità possono essere viste come la frazione di condensatori nella popolazione che si guastano nello specifico intervallo di tempo.

Ad esempio, in una popolazione di

condensatori, ci si deve aspettare che in media condensatori si guasteranno prima

di aver compiuto tre anni di vita.

N = 10,

n = 10,000 × 0.259 =2,

Disponendo delle funzioni R x ( ) o F ( ) x è quindi possibile

conoscere la probabilità di buon funzionamento, o viceversa la probabilità di guasto di un dispositivo, in relazione ad una qualunque durata di missione , semplicemente calcolando il valore assunto da tali funzioni in corrispondenza di_._

x x

Tali funzioni, tuttavia, possono essere utilizzate anche per calcolare la probabilità che un dispositivo si guasti nell’intervallo di tempo compreso tra e , con diverso

da zero. Infatti, dalla definizione di funzione distribuzione, risulta

x 1 x 2 x 1

Pr (^) { x 1 (^) < X ≤ x 2 (^) }= F x ( 2 (^) ) − F x ( 1 (^) ) = R x ( 1 ) − R x ( 2 )

Esempio 2 - La probabilità che un condensatore, scelto a caso dalla popolazione caratterizzata dalla funzione affidabilità dell’esempio precedente, si guasti nel corso del quinto anno di vita è data da

Pr 4 anni { 5 anni} (4 anni) (5 anni) 0.670 0.606 0.

< X ≤ = R − R =