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Metodo eliminaz di Gauss: se uno dei pivot=
algoritmo di thomas: mat A viene scritta come A=LU con L= mat con Pi sulla diag e sulla inferiore a21,a32… U= 1 sulla diag e sulla superiore q1,….. ; risolvo in avanti, poi LU*x=b (in cui Ux=z, risolvo in avanti) e poi Ux=z (risolvo all’indietro)
Metodo Jacobi: avendo il sistema Ax=b scritto andrò a isolare per ogni i-esima riga l’i-esimo termine di x ricordandomi di sottrarre e sommare quel i-esimo termine a dx es. ; nella riga successiva moltiplico a21 per se faccio così si chiamerà Gauss-Siedel. Se al posto di 1 metto ω (fattore rilassamento) allora si chiama S.O.R.
Metodo di Newton: per sistemi lineari avrò con J= jacobiano. Una variaz di newton consiste nell’usare ovvero Jacobiano ma con tutti gli elementi che non stanno sulla diagonale=
Metodo gradiente coniugato: con p direzione diversa da quella prima! Facendo sostituendo con quanto sopra e trovo (ricordo Ax-b=r) troverò , vedo. Mi servirà espressione in cui e troverò
Interpolaz lineare a tratti:
Interpolaz parabolica a tratti:
Interpolazione di Lagrange: si partiva da esempio con parabolica a tratti
Interpolaz spline cubica: S(x)=Si(x) di S’’ posso usare lagrange in quanto sarà lineare, (S invece è di terzo grado e troverò). avrò imposto oltre poi a risalgo ad Si(x) facendo due volte l’integrale. Imposto le prime condiz e trovato C2 e C1 poi impongo le seconde in cui ricordo che indica che ogni i sarà aumentata di fattore uno, anche le x e y(presenti in C1) non solo le z. imponendo l’uguaglianza troverò poi portando a sx le z che sono le inc, il nostro sistemino e vedo che A sarà non singolare per th 1.2; trovate le z, troverò le mie C1 e C
Minimi quadrati: per trovare a1 e a2 faccio la derivata rispetto ad a1 e a2 =0 potremmo avere anche una funz trigonometrica non per forza una retta che approssima i punti.
Metodo dei trapezi per risolvere integrali: vedo f(x) come un g(x)=L(x) lin a tratti di cui so fare l’integrale (rispetto x-xi) e trovo risolvendo anche la sommatoria da 0 a n-1 ; per vedere l’errore ho applicando due volte il th di Rolle e cioè facendo 2 volte la derivata prima G’(t) e poi G’’(t) (poste=0) si arriva ad avere con η un punto fra xi e xi+
Metodo di simpson (richiede n sia pari): uso P(x) e non L(x) ; per l’errore serve non come nei trapezi avrò Ei=simile a prima userò una funzione , applico th rolle 4 volte
Formula di Romberg: considero trapezi in cui vedo con M= media deriv seconda prendo un altro n cioè n rifaccio tutto e uguaglio i due errori e troverò se vedo caso in cui n1=2*n2 dovrò vedere ed e mi riduco a Simpson.
Diff. fin. avanti e indietro: si trovano con , esprimo con serie di taylor con x=h poi impongo βh= mentre α+β=0 e trovo i valori di α e β mentre è l’errore; per diff indietro metterò x=-h
Diff fin centrata: avrò terzo parametro aggiuntivo γf(xi-1) e userò taylor al 3° ordine i termini con f’’’ saranno gli errori. ; si vede anche per deriv 2° uguale come deriv 1° solo che taylor sarà fino al 4° ordine e quindi gli errori saranno quelli con.
Pb a valori iniziali: se avrò se risolvo il tutto con y’ che viene approssimata con DFA allora troverò metodo di eulero esplicito
Errore per metodo di eulero esplicito: Lemma 4.1: se |Ei|funz discreta sui nodi tale che || per i=0,1,..n dove A e B sono costanti non negative e A , allora per i=1,2,…,n dimostrazione: per i=0 nella seconda formula quindi i=1 e mi viene fuori proprio la formula. Per una i generica vado a sostituire la seconda nella prima e trovo || ; vedo ora il fattore 1 della B (finale) come || cvd.
Lemma 4.2: per x tali che 1+x per ogni a avrò ; dim: sviluppo di taylor tanto a è un valore positivo!
Avendo pb ai limiti ed Y …. vado a vedere caso generale perché ovviamente per i=0 avrò errore nullo perché essendo pb a valori iniziali, y(0) mi viene dato. per soluz esatta faccio taylor mentre per l’altra la scrivo col metodo di eulero, con varie semplificazioni arriverò a vedo A e B applico lemma 4.1 (ricordo Eo=0 nei pb a valori iniz) troverò e prendo n=a e Mh=x ed applico lemma 4.2 con h*n=L c.v.d. avrò solito th di convergenza: ; vedrò ora problema ceh seorge se tengo conto dell’arrotondamento Th 4.3: con le hp del 4.2 avrò dim: considerando che mentre per scriveremo solito taylor; faccio facendo le varie semplificazioni come vedere e arriveremo a che si vedrà come prendo A e B ; applico lemma 4.1 mi troverò ricordando che ora non avrò l’errore iniziale nullo ma uguale ad cioè errore di arrotondamento iniziale applico 4.2 c.v.d. per trovare h ottimale impongo la derivata =
Metodo Runge Kutta: come eulero ma avrò y’ (sempre con DFA) = ; sviluppo in serie di Taylor l’ultimo termine (però anche il primo) ; riscrivo prima formula (riordino e la parentesi che viene moltiplicata per , moltiplico fuori per e dentro per 2. Faccio la stessa cosa con sol esatta che essendo Y la sol esatta ho calcolo conY’=f(xi,Yi) immetto in quella sopra e poi confronto e troverò η,β,ϒ,δ in definitiva { per i=0,1,…,n-1} se f=f(x) mi verrà fuori metodo dei trapezi.
RK 3°ordine{ per i=0,1,…,n-1}
RK 4°ordine{ per i=0,1,…,n-1} questo se f=f(x) diventa simpson!
Metodo di Taylor: si fa serie di Taylor della soluz yi+1 e della sua derivata y’i+1, in base a dove tronco avrò di 1°,2°…. ordine ricordo e è la derivata parziale rispetto a xi,yi e yi’ della deriv 2°
Instabilità : es. di cui la soluz esatta è , con h=0,1 risolto con MEU e vedi che instabile quindi si lascia h inc per avere condiz di stabilità e poi si vedrà condiz di segno. Se invece di usare per y’ il MEU esplicito, uso quello implicito (con DFI) avrò sempre stabilità, con DFC mai poiché al PC non si possono mettere frazioni dim. con h=; lasciando h inc =0 , sostituisco ad yi (perché soluzioni tutte di questo tipo) e avrò |λ2|> SEMPRE quindi instabile!
Per Pb a soluz periodica per eq. diff. ord. del 2°ordine a soluz periodica uso Equazione di Van der Pol : con λ che è un parametro>0! faccio sistema in cui y’=V e y’’=…. Con V al posto di y’. Faccio primo tentativo con α1 e vado a risolvere con pb a valori iniziali, quando vedo che funz risale avrò trovato –β1(α1) vado avanti per tentativi equivale a risolvere con newton ritocco questa formula, riscrivo f’ con DFI arriverò a formula della secante:. ogni volta per calcolare f(α) dovrò avere β(α) che però lo trovo fissando α (valore di yo) e risolvendo il pb a valori iniziali…
Pb ai limiti: avendo si associano valori ai limiti esempio: con sol esatta si vede con DFC con h=1 ; scrivo sistemino per intero e vedo mat A dei coeff. è non singolare! Scrittura generale:.
