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Statistica 3 è un corso monografico dedicato ai Modelli Lineari Generalizzati GLM , considerati una delle tecniche di regressione più influenti e ampiamente applicabili del XX secolo. Il corso rappresenta l'evoluzione naturale dei modelli lineari classici verso un framework unificato e elegante che estende significativamente le possibilità di analisi statistica. Prima di affrontare questo corso, è fondamentale aver acquisito competenze in: I modelli lineari classici nascono con Gauss e Legendre per l'analisi di dati astronomici, con l'idea di predire la media di una distribuzione normale come funzione di covariabili: Già nel 1922, Fisher introdusse modelli più avanzati per dati di proporzione, sviluppando modelli binomiali. Successivamente si svilupparono: L'unificazione avvenne con il paper fondamentale di Nelder e Wedderburn 1972 , che consolidò tutti questi approcci in una teoria coerente.
Riassunto Completo - Statistica 3 Modelli Lineari
Generalizzati GLM
Introduzione al Corso
Obiettivi e Struttura del Corso
Prerequisiti Essenziali
Regressione lineare semplice (da Statistica I
Statistica inferenziale (da Statistica II
Modelli lineari (da Analisi Statistica Multivariata ed Econometria)
Software R (da Analisi Statistica Multivariata)
Sviluppo Storico dei GLM
Le Origini
Evoluzione verso i GLM
Modello probit Bliss, 1935
Modello logit Dyke e Patterson, 1952
I Modelli Lineari Generalizzati sono caratterizzati da tre componenti essenziali: La variabile risposta segue una distribuzione della famiglia esponenziale: dove: Il predittore lineare η_i è definito come: Collega la media μ_i = E Y_i al predittore lineare: Tabella: Principali Modelli Lineari Generalizzati Modello Distribuzione Link Function Supporto Y Esempi Regressione Lineare Normale Identità (η=μ) ℝ Peso, altezza Regressione Logistica Bernoulli/Binomiale Logit (log(π/1 π)) 0,1] o 0,1 Successo/fallimento Regressione Poisson Poisson Logaritmo (log(μ)) ℕ = 0,1,2,...} Conteggi, eventi Modelli Gamma Gamma Inversa 1/μ) o Log ℝ⁺ Tempi, costi Modelli Multinomiali Multinomiale Logit per categorie Categorico Scelte multiple L'Unità A del corso affronta il tema cruciale della misspecificazione nei modelli lineari e le relative soluzioni. Un modello lineare generale può essere scritto come: Componenti Fondamentali dei GLM
- Componente Casuale Random Component)
θ_i è il parametro naturale
φ è il parametro di dispersione
a_i(φ), b(θ), c(y,φ) sono funzioni specifiche della distribuzione
- Componente Sistematica Systematic Component)
- Funzione di Collegamento Link Function) Modelli Lineari e Misspecificazione Il Processo di Modellazione
La densità di appartiene a una famiglia di dispersione esponenziale univariata se esprimibile nella forma: con , ,. Dalla teoria delle famiglie esponenziali: Nella parametrizzazione con la media : dove è la funzione di varianza. La log-verosimiglianza per osservazioni indipendenti è: Le equazioni di verosimiglianza per sono: Per la soluzione iterativa: dove: dove è il contributo dell'i-esima osservazione alla devianza. Famiglia di Dispersione Esponenziale Media e Varianza Funzione di Varianza Stima per Massima Verosimiglianza Algoritmo IRLS Iteratively Reweighted Least Squares)
con
è la variabile risposta aggiustata
Diagnostica e Verifica del Modello Residui
Residui di Pearson:
Residui di devianza:
La devianza è definita come: Per grandi campioni, sotto il modello corretto. Per dati binari : Interpretazione: rappresenta l'odds ratio per un incremento unitario di. Per conteggi : Interpretazione: rappresenta il fattore moltiplicativo sulla media per un incremento unitario di. Quando , si usa la quasi-verosimiglianza: Le trasformazioni delle variabili, pur essendo storicamente importanti, presentano limitazioni significative: I GLM superano elegantemente questi problemi mantenendo interpretabilità e utilizzando direttamente la distribuzione appropriata dei dati. Devianza e Bontà di Adattamento Modelli Specifici Regressione Logistica Regressione Poisson Over-dispersione e Quasi-verosimiglianza
Mantiene la relazione media-varianza:
Stima robusta di anche con over-dispersione
Correzione degli errori standard tramite
Vantaggi dei GLM rispetto alle Trasformazioni
Interpretazione complessa: i coefficienti perdono significato diretto
Distinzione media/predizione:
Approssimazioni asintotiche: validità solo per grandi campioni
Dipendenza dai parametri: alcune trasformazioni dipendono da parametri noti
Esempio Applicativo: Consumi Automobili
Il corso getta le basi per argomenti avanzati in Statistica Multivariata e Data Mining: I GLM rappresentano uno dei contributi più significativi della statistica del XX secolo, fornendo un framework unificato ed elegante per l'analisi di diversi tipi di dati, mantenendo sempre interpretabilità teorica e applicabilità pratica. ⁂ Preparazione Efficace
Ripassare bene LM e diagnostica
Comprendere link e varianza per Bernoulli/Poisson/Gamma
Esercitarsi su correzioni sandwich/WLS
Saper scegliere tra trasformazioni e GLM nativi
Prospettive Future
Tabelle di contingenza e modelli log-lineari
Modelli multinomiali e ordinali
Modelli con risposte correlate (effetti casuali)
Regressione non parametrica e metodi penalizzati
1 2 Modelli-lineari-generalizzati.pdf Generalized-Linear-Models_25_09_22_15_49_19.pdf
