Modelli Lineari Generalizzati (GLM), Sintesi del corso di Statistica Inferenziale

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Il modello lineare

Luca Greco

Econometria(6 CFU) Corso di laurea in Scienze Statistiche e Attuariali A.A. 2015-

Econometria

I (^) L’Econometria è una scienza che fornisce un contenuto quantitativo alle relazioni (principalmente di natura socio-economica) esistenti tra alcune variabili, sulla base dei dati disponibili e con l’ausilio di tecniche statistiche. I (^) L’obiettivo è quello di costruire un modello per descrivere, comprendere, controllare, prevedere fenomeni reali I (^) Un modello statistico fornisce una rappresentazione (semplificata) della realtà I (^) Problema: costruzione di un modello adatto alla natura dei dati e dei fenomeni che si vuole studiare I (^) La specificazione del modello permette di tradurre un problema reale in un problema statistico

Modello statistico

I (^) La variabile  rappresenta il termine d’errore, la variabile in cui confluisce tutto ciò che le covariate non riescono a spiegare della risposta I (^) Il termine d’errore rappresenta lo scostamento del modello dalla realtà fenomenica

I (^) La variabile  consente di trasformare un modello deterministico in un modello statistico capace di fornire una rappresentazione semplificata della realtà da utilizzare ai fini interpretativi e previsivi.

I (^) Al fine di rendere operativo il modello è necessario fare delle ipotesi sulla distribuzione della variabile  o su alcuni sui aspetti caratteristici (i momenti della distribuzione) I (^) Queste ipotesi introducono nel modello ulteriori parametri da stimare

Fasi dell’analisi

I (^) Specificazione di un modello qualitativamente compatibile con la natura dei dati e il tipo di relazione funzionale

I (^) Stima dei parametri del modello

I (^) Verifica della bontà del modello stimato: queste verifiche potranno riguardare l’adeguatezza delle scelte relative alla forma funzionale adottata, delle ipotesi sulla natura del termine d’errore, delle variabili esplicative selezionate I (^) La specificazione di un modello non è mai conclusiva ma il modello può essere modificato alla luce dei risultati delle procedure di inferenza e di diagnostica poste in essere I (^) Previsione, sulla base del modello finale selezionato

Il modello lineare

I (^) μ(X , β) è la componente sistematica del modello

I (^) μ(X , β) è funzione lineare nei coefficienti β

I (^)  è la componente d’errore o accidentale, che rappresenta gli scostamenti di natura casuale tra la risposta e la componente sistematica I (^) Se la prima colonna della matrice di disegno è costituita da un vettore i cui elementi sono tutti pari ad uno,

X 0 = ( 1 , 1 , 1 ,... , 1 )T

allora il modello prevede un termine d’intercetta

Il modello lineare

I (^) Modello di regressione lineare semplice

Y = X β +  = β 0 + β 1 X 1 + , X = [ 1 |X 1 ]

che per l’i-esima componente possiamo scrivere

Yi = β 0 + β 1 xi 1 + i

I (^) Modello di regressione lineare multipla

Y = X β +  = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +... + βp− 1 Xp− 1 + 

con X = [ 1 |X 1 |X 2 |... |Xp− 1 ], che per l’i-esima componente possiamo scrivere

Yi = β 0 + β 1 xi 1 + β 2 xi 2 +... +... βp− 1 xi(p− 1 ) + i

Sales & GDP

1.0 1.5 2.0 2.5 3.

100

150

200

250

300

350

Scatter-plot

GDP

Sales

100

150

200

250

300

350

Box-plot

Sales

I (^) Il coefficiente di correlazione lineare è rxy = 0. 808 I (^) La specificazione di un legame lineare appare giustificata (almeno in questa prima fase dell’analisi) Sales = β 0 + β 1 GDP + 

Gasoline data

I (^) Dati sulle proprietà del petrolio greggio e della benzina che se ne produce I (^) yield: percentuale di benzina prodotta

I (^) endpoint: temperatura alla quale tutto il petrolio si vaporizza (◦F)

I (^) API: gravità del petrolio greggio (◦API)

I (^) vapor: pressione del vapore emesso dal petrolio greggio (lbs/in^2 ) I (^) ASTM: temperatura alla quale il 10% del petrolio si vaporizza (◦F) I (^) Obiettivo: spiegare le variazioni nella produzione di benzina in funzione delle covariate I (^) Cosa si può immaginare dal grafico seguente?

House prices in Canada

I (^) price: prezzi di vendita di n = 546 case vendute durante i mesi di Luglio, Agosto e Settembre 1987 a Windsor in Canada I (^) lotsize dimensione del lotto (m^2 )

I (^) bedrooms numero di camere da letto

I (^) bathrms: numero di bagni

I (^) stories: numero di piani escluso il seminterrato

I (^) driveway: presenza di un viale di accesso (Si = 1)

I (^) recroom: presenza di una sala ricreativa (Si = 1)

I (^) fullbase: presenza di un piano seminterrato (Si = 1)

I (^) gashw: utilizzo del gas per l’acqua calda (Si = 1)

I (^) airco: presenza di area condizionata centrlizzata (Si =1)

I (^) garagepl: numero di box auto

I (^) prefarea: presenza dello stabile nel quartiere preferito degli acquirenti (Si = 1)

House prices in Canada

I (^) Obiettivo: studiare le variazioni del prezzo di vendita in funzione delle covariate I (^) Tra le variabili esplicative figurano 6 variabili qualitative ciascuna con due modalità (variabili dicotomiche o dummy)

Histogram of price

price

Frequency

50000 100000 150000 200000

0

50

100

150

200

price

5000 15000 1.0 2.0 3.0 4.

50000

150000

5000

15000

lotsize

0.37 0. bedrooms 1 2

3 4

5 6

1.^ 2.^ 3.^

4. 0.52 0.19^ 0. bathrms

50000 150000

0.38 0. 1 2 3 4 5 6

0.14 0. 0.0 1.0 2.0 3.0^ 0.

garagepl 3.

House prices in Canada

driveway

lotsize

price

50000

100000

150000

5000 10000 15000

0 5000 110000 15000

recroom

lotsize

price 50000

100000

150000

5000 10000 15000

0 5000 110000 15000

fullbase

lotsize

price 50000

100000

150000

5000 10000 15000

0 5000 110000 15000

gashw

lotsize

price

50000

100000

150000

5000 10000 15000

0 5000 110000 15000

airco

lotsize

price

50000

100000

150000

5000 10000 15000

0 5000 110000 15000

prefarea

lotsize

price

50000

100000

150000

5000 10000 15000

0 5000 110000 15000

House prices in Canada

I (^) Secondo quale relazione ed in quale misura i prezzi dipendono dalle variabili esplicative prese in esame? I (^) E’ possibile considerare un insieme più piccolo di variabili esplicative? I (^) In che modo le variabili dummy agiscono sulla relazione tra la risposta e le altre variabili esplicative?

Ipotesi del secondo ordine

I (^) Le ipotesi del secondo ordine implicano che

E (Y |X ) = X β = μ, μ = (μ 1 , μ 2 ,... , μn)T Var (Y |X ) = Var () = σ^2 In

I (^) Il valore atteso è condizionato ai valori delle covariate

I (^) Il modello di regressione lineare esprime una relazione di dipendenza in media I (^) Per la singola componente

E [Yi |X = xi ] = x iT β = μi

Interpretazione del modello lineare

Alla luce delle ipotesi del secondo ordine

I (^) β 0 esprime il valore atteso di Y quando le covariate non intervengono β 0 = E (Y |X = 0 ) I (^) βj , j = 1 ,... , p − 1 esprime la variazione attesa (variazione in media) nella risposta, corrispondente ad un incremento unitario di Xj , al netto della altre variabili, i.e. quando le altre variabili non subiscono variazioni ma assumono lo stesso valore