di Samantha Leorato
verosimiglianza Funzione dei parametri di un modello statistico (➔) che può essere interpretata
come la probabilità (➔) di ottenere esattamente i dati effettivamente osservati.
Basi matematiche. Per formalizzare, si consideri un modello parametrico F={f(x;θ),θ∈Θ} per la
distribuzione di una variabile aleatoria X (➔ variabile aleatoria), dove f è una funzione di massa di
probabilità, se X è una variabile aleatoria discreta o una densità, se X è continua, θ è il parametro o
il vettore di parametri che identificano univocamente la distribuzione, e Θ è lo spazio dei parametri.
Dato un valore x della variabile casuale, la funzione di v. è la funzione di θ definita da
L(θ;x)=f(x;θ). In altre parole, la funzione di v. misura la ‘plausibilità’ dell’ipotesi che la
distribuzione della popolazione sia proprio f(.;θ) (cioè che il parametro sia θ), avendo osservato
X=x. Per es., si consideri il lancio di una moneta e la variabile aleatoria X che prende valore 1 se il
risultato è testa e 0 altrimenti. Tale variabile casuale segue una legge di Bernoulli (➔ Bernoulli,
distribuzione di) con parametro p, dove p è la probabilità di osservare testa (p=1/2 corrisponde al
caso di una moneta perfettamente bilanciata). Avendo osservato X=1, la funzione di v. è uguale a
L(p;1)=P(X=1)=p. La v., quindi, è massima, e uguale a 1, se p=1, mentre è nulla se p=0, cioè è
inverosimile che la probabilità di ottenere ‘testa’ nel lancio di una moneta sia uguale a 0 visto che il
risultato del lancio è stato proprio ‘testa’.
Applicazioni statistiche. La v. ha un ruolo fondamentale nell’inferenza statistica (➔). Essa è alla
base del metodo di stima, detto della massima verosimiglianza (➔ verosimiglianza massima,
metodo della), che propone di stimare θ con il valore più ‘plausibile’ nello spazio dei parametri,
cioè quello che massimizza la verosimiglianza. La funzione di v. è anche la base di un insieme di
metodi per la verifica di ipotesi annidate (➔ ipotesi statistica), di cui fanno parte il metodo del
rapporto delle v., il metodo di Wald, e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (➔ test basati sulla
funzione di verosimiglianza). Dato un particolare campione x=(x1,...,xn) tratto in modo casuale dal
modello statistico F={f(x;θ),θ∈Θ} (➔ campione statistico), la funzione di v. calcolata in θ risulta
L(θ;x)=Πni=1f(xi;θ). Ritornando all’esempio del lancio di una moneta, si assuma di avere osservato 3
lanci con i risultati x1=testa, x2=croce e x3=testa. Se la probabilità di ottenere testa è p in ciascun
lancio, allora la funzione di v. è uguale a L(p;x1,x2,x3)=p2(1−p). Poiché il punto di massimo di questa
funzione soddisfa la condizione del primo ordine 2p−3p2=0, lo stimatore di massima v. di θ è
p^=2/3 e coincide quindi con la frequenza relativa del numero di teste osservate sui 3 lanci. In molte
situazioni è più conveniente lavorare con il logaritmo della funzione di v., detta anche funzione di
logverosimiglianza. Se infatti la funzione di v. viene definita dalla produttoria L(θ;x)=Πni=1f(xi;θ),
allora la logverosimiglianza viene definita dalla sommatoria logL(θ;x)=Σni=1 log(f(xi;θ)), che è
generalmente più semplice da trattare. Un altro metodo per ottenere la stima di massima v. è,
equivalentemente, quello di massimizzare una qualunque di queste due funzioni.
Samantha Leorato
verosimiglianza massima, metodo della
Dizionario di Economia e Finanza (2012)
di Samantha Leorato
verosimiglianza massima, metodo della Metodo di stima dei parametri di un modello statistico,
basato sulla massimizzazione della funzione di verosimiglianza (➔). Si assuma il modello
parametrico (➔ modello statistico) F={f(x;θ),θ∈Θ}, dove f(x;θ) è una funzione di massa di
probabilità o una densità, θ è per semplicità un singolo parametro incognito, e Θ è lo spazio dei
parametri. Dato un campione casuale x={x1,...xn} dalla popolazione, la funzione di v. è definita da
L(θ;x)=Πni=1f(xi;θ). Il metodo della massima verosimiglianza (MV) propone di stimare θ attraverso
quel valore θ^ tale che L(θ^;x)≥L(θ;x) per ogni θ∈Θ. In altre parole, la stima di v. m. di θ è il valore
più ‘plausibile’ nello spazio dei parametri alla luce dell’evidenza empirica. Lo stimatore di MV è
spesso calcolato attraverso la massimizzazione della logverosimiglianza, ossia del logaritmo della
funzione di verosimiglianza. Trattandosi di una trasformazione monotona (➔ monotono),
