NUMERI COMPLESSI
Numero complesso
Un numero complesso è dato da una coppia ordinata
(a;b) di numeri reali.
Insieme dei numeri complessi
Ogni numero complesso si trova all’interno del seguente
insieme:
𝐶= 𝑎+𝑖𝑏 | 𝑎, 𝑏 ∈𝑅{ }
Unità immaginaria
i2= -1
Numero complesso z
z = a + ib questa è detta forma algebrica del
numero complesso (a;b)
Modulo e coniugato
modulo di z
𝑧||= 𝑎2+𝑏2
coniugato di z
𝑧=𝑎−𝑖𝑏
Forma trigonometrica ed esponenziale
e𝑎= 𝑧|| 𝑐𝑜𝑠 θ 𝑏= 𝑧|| 𝑠𝑒𝑛 θ
↓
𝑧= 𝑧|| ·(𝑐𝑜𝑠 θ+𝑖 𝑠𝑒𝑛 θ)
Il modulo di z equivale al raggio di una circonferenza di
centro O e raggio uguale alla parte immaginaria (b)
𝑧=𝑟𝑒 𝑖θ
OPERAZIONI
Somma
(𝑎+𝑐)+𝑖(𝑏+𝑑)
Prodotto (forma algebrica)
(𝑎𝑐−𝑏𝑑)+𝑖(𝑎𝑑+𝑏𝑐)
Prodotto (forma trigonometrica)
|𝑧1||𝑧2|·[𝑐𝑜𝑠 (θ1+θ2)+𝑖 𝑠𝑒𝑛 (θ1+θ2)]
Potenza
|𝑧|𝑛·[𝑐𝑜𝑠 (𝑛θ)+𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝑛θ)]
Radice
𝑛|𝑧|·[𝑐𝑜𝑠 ( 1
𝑛θ)+𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( 1
𝑛θ)]
Radice
𝑛|𝑧|·[𝑐𝑜𝑠 ( θ
𝑛+2𝑘π
𝑛)+𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( θ
𝑛+2𝑘π
𝑛)]
Reciproco
=
𝑎−𝑖𝑏
𝑎2+𝑏2𝑧
|𝑧|2
Divisione (forma algebrica)
(𝑎+𝑖𝑏)(𝑐−𝑖𝑑)
𝑐2+𝑑2
Divisione (forma trigonometrica)
|𝑧1|
|𝑧2|·[𝑐𝑜𝑠 (θ1−θ2)+𝑖 𝑠𝑒𝑛 (θ1−θ2)]
