Scarica Parte 5 - Dinamica e più Dispense in PDF di Meccanica Applicata solo su Docsity!
DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Si consideri^
un corpo rigido
S
^
Un sistema di riferimento
non necessariamente inerziale,
^
Un sistema di riferimento
( s
)^ mobile con
S
¾^ L’origine
O
della terna
( s
)^ deve essere fissa rispetto al riferimento
(^0
)^ o
necessariamente
coincidente con il centro di massa
¾^ Conviene scegliere la terna
( s
)^ solidale al corpo rigido
S
^
Con queste scelte le
equazioni cardinali della dinamica
, prendendo
come polo l’origine
O
del sistema
( s
) , sono
^
Se il sistema di riferimento
non è inerziale
bisogna includere tra le
forze esterne anche le
forze apparenti
Z^0 X^0
S^ Y^0
Z X s s^
Y s O≡
G
Oe
O
e G
C
Kd dt
F
am
r^ , r
r r
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
e Oe K^ O r F r C r ,
forze esterne (
attive
e
vincolari
momento delle forze esternemomento della quantità di moto
^
Per questo scopo esprimiamo legrandezze nel sistema diriferimento
( s
)^ di versori
¾^
Momento della quantità di moto
¾^
Derivata del momento della quantità di moto ^
Le derivate dei versori delle terna
( s
)^ possono essere espresse diversamente
¾^
Ad esempio per
si può scrivere
¾^
L’espressione trovata è nota come
formula di Poisson k j i^
r r r^
k K j K i K
K^
z
y x O
r
r
r
r^
dt r id
2
kd dt K jd dt K id dt K k K j K i K
Kd^ dt
z y x z y x O
r r r r & r & r & r
Oe
O
e G
C
Kd dt
F
am
r^ , r
r r
^
Per le nostre applicazioni èconveniente dare alla
^2
a^ equazione
una
formulazione meno simbolica
Z X
Y O
P
r O^
r P
r i
(^
)^
(^
)
(^
)
× + = − × + =
i v O P v v
v v O P d dt id dt
O
P
i
O
O P
O P r r r r r r r r r r r r r r r r
ω
ω
i
id (^) dt
r r r
×
Z^0 X^0
Y^0 S
Z X s s^
Y s O≡
G
¾^
in cui compare la
tensore d’inerzia del corpo rigido
¾^
derivata di
valutata da un osservatore solidale alla terna
( s
¾^
Vettori delle
forze
,^ coppie
e
accelerazioni
( ) ^ Equazioni cardinali della dinamica
( )^
(^
)^
(^
)^
(^
)
⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩
−=
=
−=
=
−=
=
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢=⎢ ⎢⎣
∫
∫
∫
∫
∫
∫
V zy yz
V zx xz
V yx xy
V zz
V yy
V xx
s zz zy zx
xy yy yx
xz xy xx
s S^
dv yz
J J dv xz
J J dv xy
J J
dv y x
J dv z x
J dv z y J J J J
J J J
J J J
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ^
2 2 2 2 2 2 J
O r K^ ( )
( )
( )^
( )^
( )^
( )^
costante
con
ω
= ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩
s S
s s S s O
s x y z
s O
O^
d dt
K K K
K^
J
J
K
K
r &
( ) s G G G s G
G s x y z
s eO
eO
s x y z
s e
e
x y z
a
c c c
C
F F F
F
r
r
r^
A
C
F^
3
, 3 ,
3
( )
( )^
( )^
( )^
( )^
( )^
( )
s eO
s s S s s s S
s e
G m
, 3
3
3
C
J
J
F
A
ω
ω &ω
4
⎧⎪⎨ ⎪⎩
= × = +
Oe O
O
e G
C K
K
F am
r^ , r r r &
r r
ω
Al di là del significato fisico, conviene esprimere le equazioni della dinamica inuna forma conveniente per i manipolatori: adottiamo una diversa procedura^
Consideriamo il manipolatore come un
meccanismo di corpi rigidi
^
La
dinamica dei sistemi di corpi rigidi
si descrive introducendo
¾^
la^
matrice delle azioni
risultanti delle forze e delle coppie
¾^
la^
matrice delle quantità di moto
di un corpo rigido
¾^
la^
matrice delle inerzie
di un corpo rigido MATRICE DELLE AZIONIMATRICE DELLE AZIONI
^
Consideriamo un corpo rigido
k
e un sistema di
riferimento
( k
)^ a esso solidale, esprimiamo le
grandezze rispetto a
( k
^
Si desidera introdurre una
matrice
che descriva le
forze e le coppie che agiscono sul corpo rigido ^ Definiamo i vettori che definiscono la posizione di un volume elementare
dv
e la
forza elementare
agente su di esso
X k
Z k
Y k k
-^ P
r Fv^ r P
F P
P F
C^
F F
T^
T
T
v^
v^
v^
v v
−^
=^ ⎡ ⎢−⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥⎦ 3 3
0
^ La matrice delle azioni
è definita k
¾^
La matrice delle azioni ha la struttura ¾^
3 C
( kk )^ e
3 F
( kk )^ sono coppia e forza risultanti
¾^
Le matrici
( kk )^ ,
C
( kk )^ e
F
( kk )^ sono espresse nel sistema di riferimento
( k
solidale
al corpo
k
9 F
( kk )^ è la
forza risultante
con componenti espresse rispetto a
( k
)
9 C
( kk )^ è la
coppia risultante
rispetto all’origine di
( k
)^ e componenti rispetto a
( k
)
(^
)^
∫^
∫^
V^
v
v
v
V^
v
v
v
v
V
v
v
k^
dv
dv
dv
3
3
3
3
3 3 3 3
T
T
T
T
T
T
F
F
C
F
F
F
P
P
F
FP
P
F
(^ )
(^ )
(^ )
(^ )
(^ ) k
zk
yk
xk
zk
xk
yk
yk
xk
zk
xk
ky
zk
k k
k k
k k
k k
F
F
F
F
C
C
F
C
C
F
C
C
0 0 0 0 0 T F
F
C
(^ )
(^ )
(^ )
(^ ) k xk yk zk
k k
k xk yk zk
k k
F F F
C C C
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪=⎨ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪= ⎨ ⎪ ⎩
F
C^
3
3
,
3
F P
P F
C^
F F
T^
T
T
v^
v^
v^
v v
−^
=^ ⎡ ⎢−⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥⎦ 3 3
0
^ Esprimiamo la matrice
( kk )^ rispetto a una
terna
( h
generica
partendo dalla definizione
¾^
Usiamo la matrice trasformazione omogenea
M
kh
¾^
Sostituendo nella matrice
( kk ), si
ottiene l’espressione
¾^
Essendo la matrice di posizione
M
kh
invariante rispetto al volume del corpo
¾^
(^ ) avendo posto
(^ )
)^
(^ )
∫^
⎛^ ⎜⎝
V
k v k
k k v
k κ^
dv T
T^
F P P F = Φ
(^ )
(^ )
(^ )
(^ )
T T
T
T T
T
M F F F M F
M P P P M P
kh h v
k v
h v kh
k v
kh h
k
h kh
k
(^ )
(^ )
)^
(^ )
)^
∫
∫^
⎛^ ⎜⎝
⎛^ ⎜⎝
V
kh h v h kh
kh h h v kh
V
k v k
k k v
k κ^
dv
dv
T T
T T
T
T^
M F P M M P F M F P P F Φ
(^ )
T
T
T
T^
M M M F P P F M
kh h κ kh
kh
V
h v h
h h v
kh
k κ^
dv
Φ^
⎛^ ⎜⎝
∫ ( )
∫^
⎛^ ⎜⎝
=^ V
h v h
h h v
h k^
dv T
T^
F
P
P
F
Z^ h^ Xh
Y^ h k
Z X k k^
Y k O k
4
^ Considerando un sistema di riferimento
( k
)^ solidale al
corpo
k
, sottintendendo l’apice
( k
)^ consideriamo il prodotto
¾^
essendo
si ha
^ La matrice d’inerzia
{ è definita dall’integrale
}^
=^
3
3
3 3
3 3
T T
T
T
P
P
P
P
P
P
PP
z zy zx
yz y yx
xz xy x
x y z
TP
P
P
∫^
∫^
V
V
V k^
dv
z y x
z z zy zx
y yz y yx
x xz xy x
dv
dv
2 2 2
3
3
3 3
T T
T
P
P
P
P
PP
X k
Z k
Y k k
-^ P r P
MATRICE DELLE INERZIEMATRICE DELLE INERZIE
11
¾^
Ponendo
→
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
= = = = = = = = = = = = =
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
G V z G V y G V x V zy yz
V zx xz
V yx xy
V zz
V yy
V xx
zm
dv z S ym
dv y
S xm
dv x S
dv yz
I I dv xz
I I dv xy
I I
dv z
I
dv y
I
dv x
I
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ^
2
2
2
^ Ovviamente esiste una
relazione
tra i termini di
e^
, ricordando le
definizioni di
J k
(^
)^
(^
)^
(^
)
⎧ ⎪⎨ ⎪ ⎩
−=
=
−=
=
−=
=
∫
∫
∫
∫
∫
V zy yz
V zx xz
V yx xy
V zz
V yy
V xx
dv yz
J J dv xz
J J dv xy
J J
dv y x
J dv z x
J dv z y
J
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ^
2 2 2 2 2 2
(^ )
(^ ) k k
k k^
J
(^ )
(^ ) k
G
G
G
G
zz
zy
zx
G
yz
yy
yx
G
xz
xy
xx
k k
m zm
ym
xm
zm
I
I
I
ym
I
I
I
xm
I
I
I
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢=⎢ ⎢ ⎣ Ι
¾^
si ha la matrice
simmetrica
detta
matrice dell’inerzie
→
13
Consideriamo un corpo rigido
k
, un sistema di riferimento
( k
)^ a esso solidale,
e un sistema di riferimento inerziale
( J
^ il corpo
k
è in movimento rispetto a
( J
^ I
( kk )^ è costante ^
è variabile nel tempo
e
dipende dal movimento del corpo
k
, poiché
M
dipende dalla posizione del corpo jk
k
^ Ricordando che
e derivando l’espressione di
I k
( k )
si ottiene
(^
)^
(^
)
j^
k jk
k^
k^
T jk
Ι^
M
Ι^
M
(^ j )
jk^
jk jk = M
W
M
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
j^
k^
k^
j^
k^
k^
j
k^
jk^
jk^
jk^
jk
k^
jk^
k^
jk^
jk^
k^
jk^
k^
jk^
jk
j^
j^
j^
j^
j
k^
jk^
k^
k^
jk
d dt
d
dt
=^
+^
=^
=^
T^
T^
T^
T^
T
T
I^
M
I^
M
M
I^
M
W
M
I^
M
M
I^
M
W
I^
W
I^
I^
W
&^
Z^ j^ Xj
k Y^ j
Z X s s^
Y s O≡
G
MATRICE DELLE INERZIE DI UN CORPO IN MOVIMENTO^ MATRICE DELLE INERZIE DI UN CORPO IN MOVIMENTO
14
^
Nel caso di un corpo rigido
k
vincolato tramite
un
accoppiamento elicoidale
al membro
J
si
utilizza la descrizione dell’accoppiamento elicoidaletramite la matrice
L
jk^
e lo spostamento del giunto
q
^
Per l’espressione precedente si ottiene ^ Oppure in funzione della
coordinate dell’accoppiamento elicoidale
q
(^
)^
(^
)
j^
j
jk^
jk
dq dt
=
W
L
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
j^
j^
j^
j^
j
k^
jk^
k^
k^
jk
d^
dq
d t
dt
⎛^
=^
⎜^
⎝^
T
I^
L^
I^
I^
L
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
j^
j^
j^
j^
j
k^
jk^
k^
k^
jk
d dt
=^
+^
T
I^
W
I^
I^
W
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
j^
j^
j^
j^
j
k^
jk^
k^
k^
jk
d dq
⎛^
=^
⎜^
⎝^
T
I^
L^
I^
I^
L
Z^ j^ Xj
k Y^ j
Z X s s^
Y s O≡
G
16
^ La relazione
è valida per qualsiasi sistema di
riferimento purché tutte le
grandezze
siano espresse rispetto al
medesimo
riferimento ^ La relazione matriciale ottenuta è
equivalente a entrambe le equazioni
cardinali della dinamica ^ L’equivalenza si
intuisce
esplicitando le strutture di
( )
( ) ( )
( )
( )
T
H I I H^
i k i k i k i k
i k^
0
0
−
= Φ
( )^
( )
( )
( )^
( )
( ) ( )
( )
⎧⎪⎨⎪⎩
= =
i i k i
i i k i
i G
i e
m
ω
ω
ω^
J
J
C
A
F
3 &
3
(^ )
( ) i k
i k
i k^
I
H
,^
0
( )
( )
( )
( )
( )
( ) i
G
G
G
G
zz
yz
xz
G
zy
yy
xy
G
zx
yx
xx
i k
i k
i k
i
i k
m zm
ym
xm
zm
I
I
I
ym
I
I
I
xm
I
I
I
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢=⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
=
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−
I
A
H
F
F
C T , 0 0 0 0
0
0 3
0
3
3
(^2) ω ω
Φ
&
^ Considerando un sistema di riferimento
( k
)^ solidale
al corpo
k
, sottintendendo l’apice
( k
)^ nelle relazioni
consideriamo il prodotto ^ in cui
e^
sono la posizione e la velocità di
dv
→
^ il termine
è il prodotto vettoriale
→
ed è quindi, a
meno della massa infinitesima
dm
ρ^
dv
, il momento della quantità di moto
dell’elemento infinitesimo rispetto al generico polo
O
k
{^
}^
{^
}
3
3 3 3 3 3
(^333)
3 3 3
3 3
3 3
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
P
P P P P P P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
PP
PP
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪=⎨ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪=⎨ ⎪ ⎩
0
, 1
x y z
x y z
& & & & P
P
T
T^
P
P
P
P^
&^
3 3 3 3
−^
Ok k v P^
r r r^
×
P
P^
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡ =⎢ −⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢⎣
−
−
=
−^
0
0
3
3
3
3 3 3 3 3
T
T
T
T
T
T
P
P
k
P
P
P P P P
PP
PP
&
&
&
&
&
&
&
&^
Ok
X k
Z k
Y k k
-^ P
r v r P
MATRICE DELLA QUANTITÀ^ MATRICE DELLA QUANTIT
À DI MOTO
DI MOTO
19
^ Esprimiamo la
( kk )^ rispetto a un riferimento
( h
)^ generico partendo dalla
definizione Tramite la matrice di trasformazione omogenea
M
kh^
si hanno le trasformazioni
^ Sostituendo nella matrice
( kk )^ si ottiene
^ essendo
^ La
formula generale del
cambio di riferimento
della matrice
è k
(^ )
(^ ) (
)^
(^ )^
(^ )
(^
)
∫^
V
k k
k k
k k^
dv
T
T
P
P
P
P^
)^
( )
(^ )
( )
(^ )
( )
(^ )
( )
T T
T
T T
T
M P P P M P
M P P P M P
kh h
k
h kh
k
kh h
k
h kh
k
(^ )
T
T
T
T
T T
T T
M Γ M M P P P P M
M P P M M P P M Γ
kh h k kh
kh
V
h h
h h
V^ kh
kh h h kh
kh h h kh
k k
dv
dv
⎛^ ⎜⎝
⎛^ ⎜⎝
∫ ∫
ρ
ρ
( )
( )
( )
( )
( )
∫^
⎛^ ⎜⎝
=^
V
h h
h h
h k^
dv
T
T^
P
P
P
P
Γ^
(^ )
T
M
M
Γ^
ij j k ij
i k^
^ Sostituendo l’espressione
che fornisce la velocità di un punto
nella definizione della
matrice della quantità di moto
( i ) k
^ si ha
^ Portando fuori dall’integrale
e^
si ha
^ Ricordando che
si ottiene la relazione cercata
^ La relazione è
equivalente alle equazioni vettoriali
scritte,
come le precedenti relazioni vettoriali, assumendo come polo dei momenti ilcentro di massa o, se esiste, un punto fisso del corpo ^ La relazione
è valida per qualsiasi sistema di
riferimento purché tutte le
matrici
si riferiscano al
medesimo riferimento
(^ )
( )^
( ) i i k
i^
P
W
P^
0
&
( )^
( )^
( )^
∫^
⎡^ ⎢⎣
=^
V
i i
i i
i k^
dv ρ
T
T^
P
P
P
P
Γ^
( )^
( )^
( )^
( )^
( )^
( )^
( )
∫^
⎤ ⎥⎦
⎡^ ⎢⎣
−
=^
V
i k i i
i i i k
i k^
dv ρ T T
T^
W P P P P W
0
0
Γ ( )
( )^
( )^
( )^
( )^
( )^
( )
∫
∫^
⋅
−
⋅
=^
V
i k
i i
V
i i
i k
i k^
dv
dv
T
T
T^
W P P P P W
0
0
ρ
ρ
Γ
( )^
T ( ) W
W
i k
i k^
0
0
( )^
∫
=^
V
i i
i k^
dv ρ
T
P
P
I
( )^
T ( )
W
I
I
W
i k i k i k i k
i k^
0
0
( )^
T ( )
W
I
I
W
i k i k i k i k
i k^
0
0
⎧ ⎨ ⎩
= =
rω
r
r r
J K
vm q^
G 0
MATRICE DI VELOCITÀ^ MATRICE DI VELOCIT
À E MATRICE DELLA QUANTIT
E MATRICE DELLA QUANTITÀ
À DI MOTO
DI MOTO
