Modelli Probabilistici: Definizioni e Proprietà di Variabili Casuali Normale e Binomiale, Esercizi di Statistica

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Principali modelli

probabilistici

Definizione

 schemi standard per le prove descritti attraverso le famiglie

parametriche di v.c.

Famiglia parametrica di v.c. è un insieme di variabili casuali descritte da

un parametro θ (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio ) che appartiene ad uno spazio

parametrico

Parametro θ: specifica la singola v.c.

Spazio parametrico: l’insieme dei possibili valori che può assumere il

parametro

Variabile casuale Normale o Gaussiana Definizione:  (^) assume valori su tutto l’asse reale  (^) funzione di densità) che appartiene ad uno spazio 1 e ¯ , √ 2∏σ² -∞<x<∞ La funzione di densità apparve per la prima volta nel 1733 con De Moivre Momenti caratteristici: Può assumere qualsiasi valore reale Può essere solo non negativo E (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X) = μ^ Var(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X) = σ²^ Asim(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X) = 0^ Curt(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X) = 3 (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio x -μ)²/2σ²

 (^) forma campanulare della funzione di densità) che appartiene ad uno spazio F(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio x)  (^) simmetrica  (^) media è moda, mediana e valore medio della v.c. X 0 μ-σ μ μ+σ x F(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio x)

P(z) z ≥ 0Z>-z) 1- Ф(z)α) P(z) z ≥ 0Z>α) P(z) z ≥ 0Z<-z) 1- Ф(z)α) P(z) z ≥ 0a<Z<b) P(z) z ≥ 0-z) 1- Ф(z)a<Z<b)

TAVOLA 1

Funzione di ripartizione della

variabile casuale Normale

standardizzata

ESERCIZIO

La v.c. normale =altezza in cm di un adulto di sesso maschile, estratto

a caso da una popolazione molto ampia, sia ben approssimata da

una v.c. normale con parametri μ=176,2; σ²=40,3 e quindi con

σ=6,35.Calcolare la probabilità) che appartiene ad uno spazio dei seguenti eventi:

1) la persona è più alta di 190 cm

Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio x>190) =1-Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio x≤190) =1-Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 190-176,2) =1-Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 2,17) = 1-0,98500 =

Tavola

2) la persona è meno alta di 190 cm e ha un altezza uguale

a 190

Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio x≤190) = Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 190-176,2) = Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 2,17) = 0,

Tavola

3) la persona ha un’altezza compresa tra 170 cm e 185 cm

Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 170≤x<185) = Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 185-176,2/6,35) - Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 170-176,2/6,35) = Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1,38) -

Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 0,98) = 0,91621 - (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1 - 0,83646) = 0,

4) la persona è più bassa di 160 cm o più alta di 200 cm

1 - Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 160<X<200) = 1 - [Φ(200-176,2/6,35) Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 200-176,2/6,35) - Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 160-176,2/6,35)] = 1 -

[Φ(200-176,2/6,35) Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 3,74) - Φ(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio -2,56)] = 1 - [Φ(200-176,2/6,35) 0,99991 - (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1 - 0,99477)] = 1 - [Φ(200-176,2/6,35) 0,99991-

0,00523] = 1 - 0,99468 = 0,

Tavola 1 Tavola 1 Tavola 1 Tavola 1

Esercizi

Calcoliamo la probabilità di alcuni eventi relativi ad una v.c. X , con i seguenti parametri: μ=10 e σ²=4. σ= Pr(z) z ≥ 0X≤16)=Pr(z) z ≥ 016-z) 1- Ф(z)10)=Pr(z) z ≥ 0Z≤3)=Ф(z) z ≥ 03.00)=0. 2 Pr(z) z ≥ 0X>12)=1-z) 1- Ф(z)Pr(z) z ≥ 0X≤12)=1-z) 1- Ф(z)Pr(z) z ≥ 012-z) 1- Ф(z)10)=1-z) 1- Ф(z) Ф(z) z ≥ 01.00)=1-z) 1- Ф(z)0.84134=0. 2 Pr(z) z ≥ 012<X≤16)= Ф(z) z ≥ 016-z) 1- Ф(z)12) – Ф(z) z ≥ 012-z) 1- Ф(z)10)= Ф(z) z ≥ 03)-z) 1- Ф(z) Ф(z) z ≥ 01)=0.99865-z) 1- Ф(z)0.84134=0. 2 2 Pr(z) z ≥ 0X≤8)=Pr(z) z ≥ 08-z) 1- Ф(z)10)= Ф(z) z ≥ 0-z) 1- Ф(z)1)=1-z) 1- Ф(z) Ф(z) z ≥ 01)=0. 2 Pr(z) z ≥ 08<X≤16)= Ф(z) z ≥ 016-z) 1- Ф(z)12)-z) 1- Ф(z) Ф(z) z ≥ 08-z) 1- Ф(z)10)= Ф(z) z ≥ 03)-z) 1- Ф(z) Ф(z) z ≥ 0-z) 1- Ф(z)1)=0.99865-z) 1- Ф(z)(z) z ≥ 01-z) 1- Ф(z)0.84134)=0. 2 2

Variabile casuale Binomiale

Rappresenta il numero di successi che si verificano in n sottoprove indipendenti in cui è costante la probabilità) che appartiene ad uno spazio di un successo X=numero dei successi Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X=x)=(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio n sottoprove)p (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1-p) x successi x n-x Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X=x)≥0 e la loro somma è uguale a 1 Calcolo della probabilità) che appartiene ad uno spazio Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X = 0) = (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1-p) Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X = x + 1) = Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X = x) (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio n-x)p x=0,1…,n- n (x+1)(1-p)

Proprietà

 Moda è compresa tra 0 e n (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio se entrambi sono numeri interi vi

sono due mode diverse)

 è simmetrica solo quando la p=1/2 e n tendente all’infinito

p<1/2 asimmetria positiva

p>1/2 asimmetria negativa

 somma di m variabili binomiale indipendenti con la stessa p è

una v.c. binomiale

 al crescere di n tendente all’infinito la v.c binomiale tende alla v.c.

normale

Binomiale: x n-x(z) z ≥ 0lanci-z) 1- Ф(z)volte) Pr(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X=x)=(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio n sottoprove) p (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1-p) x successi successi Esercizio casi possibili Trovate la probabilità) che appartiene ad uno spazio che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti

1. mai
2. almeno una volta
3. quattro volte Svolgimento Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di volte che si presenta 3. La probabilità) che appartiene ad uno spazio di successo in questo esperimento binomiale (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio cioè la probabilità) che appartiene ad uno spazio che si presenti 3) è pari a 1/6 e consideriamo 5 ripetizioni dell’esperimento (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio cioè il dado viene lanciato 5 volte). Quindi X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 5 e p = 1/6 (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio successi/casi possibili) P(X = 0)= 5 (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1 / 6) (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1⁰(1 - 1 / 6)⁵ = (parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 5 / 6)⁵ = 0 , 4019; P(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X≥1)= 1-P(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X=0)=1-0,4019=0, P(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio X=4)=(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 5)(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1/6)⁴(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1-1/6)¹=25/6(parametro probabilità) che appartiene ad uno spazio 1/6)⁴=0,

volte volte lanci volte volte

Esercizio

La probabilità di laurearsi di uno studente che entra nell’Università è 0.4. Determinate la probabilità che, su 5 studenti

1. nessuno
2. uno
3. almeno uno riesca a laurearsi

SVOLGIMENTO

Sia X la v.a. che indica il numero di studenti che riescono a laurearsi su 5 studenti. La v.a. X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 5 e p = 0.4.

1. P (z) z ≥ 0 X = 0) = (z) z ≥ 00_._ 6)⁵ = 0_._ 07776
2. P (z) z ≥ 0 X = 1) = 5(z) z ≥ 00_._ 4)(z) z ≥ 00_._ 6) ⁴ = 0_._ 2592
3. P (z) z ≥ 0 X ≥ 1) = 1 - P (z) z ≥ 0 X = 0) = 0_._ 92224