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Dispensa su concetti base del calcolo delle probabilità
Tipologia: Dispense
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-^ Probabilit`a: concetti base. Libro - teoria : capitolo 8 (par. 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8).Libro - eserciziario : capitolo 8 (esercizi elementari: 1, 2, 3 e 5; esercizi avanzati: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14,15, 16 e 19).
CONCETTI BASE 1.^ PROVA o ESPERIMENTO ALEATORIO
: un esperimento con pi`
u risultati possibili, in
cui c’e incertezza su quale di questi risultati si verificher
a (es. lancio di un dado, un esame
universitario, produzione di un pc,..).2. EVENTO^ E: uno dei possibili risultati della prova. Evento elementare - non elementare.Gli eventi non elementari sono quelli scomponibili in eventi elementari.3. SPAZIO DEGLI EVENTI
S:^ l’insieme degli eventi cui pu`
o dar luogo un esperimento
aleatorio.^ Esempio:
lancio di un dado [1,2,3,4,5,6], esame [Insuff, 18, 19, 20,... , 30, 30L], produzione di un pc [diffettoso, non difettoso]. Probabilit`a^ P^ (E): numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsidi un evento E.
2
Gli eventi formano una algebra di Boole, per cui `
e possibile definire le seguenti operazioni tra
eventi (Diagrammi di Eulero-Venn): NEGAZIONE di un evento
UNIONE tra eventi
Ee^ E:^ E∪^ E^1
2 #^ #$"%"^ !"
4
INTERSEZIONE tra eventi
Ee^ E:^ E∩^ E^1
Eventi DISGIUNTI
Ee^ E:^ E∩^ E^1
!" ##$" %"
DEFINIZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITA’ Misura di probabilit`
a: funzione che associa a un evento
E^ ∈^ S^ un valore numerico
P^ (E), che
soddisfa le seguenti propriet`
a:
1.^ P^ (E)^ ≥^0 2.^ P^ (S) = 1 3.^ Data una serie finita o infinita di eventi disgiunti (
E∩^ E=^ ∅^ per ognii^ j^
i^6 =^ j), P^ (E∪^ E∪^.. .) =^1
6
Proprieta della probabilit
a fornite dai tre assiomi
1.^ Per ogni evento
2.^ La probabilit`
a dell’evento impossibile
∅^ (insieme vuoto) `
e nulla:^ P^ (∅) = 0.
3.^ Per ogni evento
4.^ Se^ Ee^ E^1
sono due eventi in
Regola dell’addizione o principio delle probabilit`
a totali.
7
Esempio: qual e la probabilit
a che lanciando due volte una moneta si abbia due volte testa?
-^ Prova: lancio di una moneta due volte •^ Spazio degli eventi:
-^ Evento^ E^ = [(
-^ Probabilit`a:
numero casi favorevoli P [(T, T )] = numero di casi possibili
Esempio: qual e la probabilit
a che estraendo a caso una delle regioni italiane per fare un’analisi sulle imprese si estragga l’Emilia Romagna?^ •^ Prova: estrazione di una regione^ •^ Spazio degli eventi:
S=[Valle d’Aosta, Piemonte,... , Sardegna]
-^ Evento^ E=[Emilia Romagna] •^ Probabilit`a:
P^ [Emilia Romagna] =
numero casi favorevoli numero di casi possibili
9
Esempio 1. Si calcoli la probabilit`
a che da un mazzo di 52 carte si estragga o un asso (
E) o^1
una carta di cuori (
E∩^ E: evento asso di cuori.^1 2 P^ (E) = 4/52;^ P^1
L’evento asso di cuori `
e gi`a compreso nell’evento
Ee quindi lo dobbiamo sottrarre all’evento^1
Ealtrimenti lo contiamo due volte.^2
10
LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA La^ probabilit`a^
condizionata^ P^ (
E|E)^ esprime^12
la^ probabilit`a^ di
un^ determinato
evento^ E^1
condizionatamente al verificarsi di un evento
Si calcola come
posto che^ P^ (E^2
Cioe la probabilit
a di^ Edato^ E^1
e uguale alla probabilit 2
a congiunta di^
Ee^ Ediviso la^1
probabilit`a marginale di
Moltiplicando entrambi i membri per
P^ (E), si ottiene:^2 P (E∩^ E) =^ P^ (E)P 1 22
Principio delle probabilit`
a composte o regola della moltiplicazione P (E∩^ E) =^ P^ (E)P 1 22
12
EVENTI INDIPENDENTI Due eventi si dicono
indipendenti^ se il verificarsi di
Enon influenza la probabilit`^2
a di^ Ee il^1
verificarsi di^ E^1
non influenza la probabilit`
a di^ E^2 P^ (E|^ E) =^ P^ (^1
da cui si ricava
per il principio delle probabilit`
a composte o regola della moltiplicazione.
13
Esempio 2 Voti (in classi) conseguiti da un gruppo di 134 studenti agli esami di Microeconomia e diLingua Inglese.
Lingua Inglese Microeconomia^
Insuff^ 18-^
Insuff^3
Determinare la probabilit`
a che scegliendo uno studente a caso:
1.^ abbia conseguito un voto di inglese compreso tra 23 e 27.^ E: voto in Lingua Inglese compreso tra 23 e 27
15
2.^ non sia stato promosso a Microeconomia e non sia sto promosso all’esame di LinguaInglese^ E: voto insufficiente sia in Microeconomia che in Lingua Inglese
3.^ abbia conseguito un voto in Lingua Inglese compreso tra 23 e 27, sapendo che all’esamedi Microeconomia ha preso un voto compreso tra il 28 e 30 e lode.^ E: voto in Lingua Inglese compreso tra il 23 e il 27,^1
E: voto in Microeconomia compreso^2
tra il 28 e 30L^ P
dove^ P^ (E∩^ E) = 16^1
Esempio 4 Nell’anagrafe della Camera di Commercio di Rimini sono registrate al settore informatica 4aziende s.r.l. e 2 s.p.a.Determinare la probabilit`
a di estrarre una azienda s.r.l. nella prima e seconda estrazione con reintroduzione dell’azienda (eventi indipendenti). P^ (E) =^ P^ (s.r.l. nella prima) = 4^1
P^ (E) =^ P^ (s.r.l. nella seconda)= 4^2
/6 (maggiore di 3
P^ (E∩^ E): probabilit`^1
a che sia s.r.l. nella prima e nella seconda con reintroduzione. P^ (E∩^ E) =^ P^ (^1
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Esempio 5 Determinare la probabilit`
a di avere, lanciando una moneta, tre teste consecutive. P^ (T) =^ P^ (Testa al primo lancio) = 1^1
P^ (T) =^ P^ (Testa al secondo lancio) = 1^2
P^ (T) =^ P^ (Testa al terzo lancio) = 1^3
P^ (T∩^ T∩^ T): probabilit`^1 2
a che per tre volte di seguito si presenti testa. P (T∩ T∩^ T) =^ P^ (T)P 1 2 31
Domanda: se abbiamo avuto tre volte testa dalla moneta, quale sar`
a la probabilit`a di riottenere
ancora una volta testa? Essendo eventi indipendenti, tale probabilit`
a sar`a ancora una volta 1/
18
