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Formulario di probabilità e statistica
f(x) := funzione di densità di probabilità
F(x) := funzione di ripartizione di probabilità
P(x) := massa di probabilità – P(X=x)
Normalizzazione della densità di probabilità: ∫
−∞
+∞
f ( x ) dx = 1
Valore atteso
discreto:
E [ X ]=
∑
i
( x
i
P ( X = x
i
continuo: E [ X ]= ∫
−∞
+∞
x f ( x ) dx
E[aX+b] = aE[X]+b
Varianza := Var[X] = E[X
2
]-E[X]
2
= σ
2
Deviazione standard :=
Var [ X ]=σ
Probabilità condizionata
P ( A ∣ B )=
P ( A ∩ B )
P ( B )
Formula di Bayes: P ( A ∣ B )=
P ( B ∣ A ) P ( A )
P ( B )
Unione: P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B )
Distribuzione di Bernoulli: X ~ B(p)
Data una variabile aleatoria X con l'insieme degli esiti possibili x∈ {0, 1} e relative
probabilità
P(X=1) = p
P(X=0) = 1-p
X si dice distribuzione bernoulliana di parametro p: X ~ B(p)
E[X] = 1 P(X=1) + 0 P(X=0) = p
Distribuzione binomiale: X ~ B(n, p)
n: numero di ripetizioni indipendenti di esperimenti con una variabile aleatoria di
Bernoulli;
x: numero di successi
X ~ B(n, p) dove p è la probabilità di successo della v.a. di Bernoulli.
P ( X = i )=
(
n
i
)
p
i
( 1 − p )
n − i
P ( x = i + 1 )=
p
1 − p
n − i
i + 1
⋅ P ( X = i )
E [ X ]=
∑
i = 1
n
E [ X
i
]= np
Var ( X )=
∑
i = 1
n
Var ( X
i
)= np ( 1 − p )
Distribuzione di Poisson: X ~ P(λ)
X ∈ {0, 1, 2, …}
X ~ P(λ)
P ( X = i )=
λ
i
i!
e
−λ
E[X] = λ
Var[X] = λ
Per calcolare i valori successivi/consecutivi:
P ( X = i )=
λ
i
⋅ P ( X = i − 1 )
Momento secondo: E[X
2
] = σ
2
2
Varianza: Var[X] = E[X
2
]-E[X]
2
= σ
2
Se X ~ N(μ, σ
2
) e Y= αX + β → Y ~ N(αμ+β, α
2
σ
2
Definiamo z α
tale che: P ( Z > z
α
)=α= 1 −Φ( z
α
)→Φ( z
α
)= 1 −α
Distribuzione esponenziale: X ~ ε(λ)
X ~ ε(λ)
Il parametro λ indica l'intensità, equivale al reciproco del valore atteso.
f ( x )=
{
λ e
−λ x
per x ≥ 0
0 per x < 0
Funzione di ripartizione
F(x)=P(X ≤ x) = 1 - e
P(X>x) = e
-λx
E [ X ]=
λ
E [ X
2
]=
λ
2
Var [ X ]= E [ X
2
]− E [ X ]
2
λ
Distribuzione Chi-quadro
Se le Z i
~ N(0,1), si definisce Chi-quadro ad n gradi di libertà una variabile aleatoria X
tale che
X :=
∑
i = 1
n
Z
i
X ∼χ
n
2
P ( X ≥χ
α , n
2
)=α
Distribuzione T-STUDENT
Date due variabili aleatorie indipendenti, Z ~ N(0,1) e C n
~ χ
n
2
T
n
Z
C
n
/ n
E [ T
n
]=0, n ≥ 2
Var ( T
n
n
n − 2
, n ≥ 3
Per simmetria della T-student abbiamo:
P ( T
n
≥ t
α ,n
)=α= P ( T
n
≤− t
α ,n
)= 1 − P ( T
n
− t
α , n
P ( T
n
≥− t
α , n
)= 1 −α
− t
α , n
= t
1 −α , n
Media campionaria vs valore atteso : dato un certo numero n di esperimenti che danno
dei valori X i
, la media campionaria è il valore medio di tali esperimenti, e può variare
ripetendo gli esperimenti, mentre il valore atteso è dato dalla somma di tutti i possibili
valori che possiamo ottenere dall'esperimento (es. il lancio di un dato ha 6 possibili
valori) per la loro probabilità, ed è fisso. Dato un insieme n di esperimenti abbiamo
lim
n →∞
X = E [ X ]
ovvero al crescere di n la media si avvicina sempre più al valore atteso.
Date n variabili aleatorie, X 1
, X
2
, …, X
n
, definiamo la media campionaria come:
X =
X
1
+ X
2
+...+ X
n
n
Valore atteso della media campionaria:
E [
X ]= E
[
X
1
+ X
2
+...+ X
n
n
]
E [ X
1
]+ E [ X
2
]+...+ E [ X
n
]
n
n μ
n
=μ
Varianza della media campionaria:
Var [
X ]= Var
(
X
1
+ X
2
+...+ X
n
n
)
Var ( X
1
)+ Var ( X
2
)+...+ Var ( X
n
n
2
n σ
2
n
2
σ
2
n
Deviazione standard della media campionaria:
√
σ
2
n
σ
√ n
Teorema del limite centrale
Date n variabili aleatorie i.i.d. (indipendenti e identicamente distribuite) con media μ e
varianza σ
2
∑
i = 1
n
X
i
∼ N ( n μ , n σ
2
Che possiamo normalizzare, ottenendo
∑
i = 1
n
( X
i
)− n μ
σ √ n
∼ N (0,1) da cui:
Deviazione standard campionaria e T-student
X −μ
S /
n
∼ t
n
Intervalli di confidenza
Intervalli di confidenza a livello 1 – α
- per la media μ conoscendo la varianza
- per la media μ usando la varianza campionaria
- per la varianza σ
2
per ipotesi bilaterale sinistro destro
μ Nota
σ
x ± z
α/ 2
σ
n
x + z
α
σ
n
x − z
α
σ
n
μ Non nota
σ, con S
2
x ± t
α/2, n − 1
s
√ n
x + t
α ,n − 1
s
√ n
x − t
α , n − 1
s
√ n
σ
2
non nota
μ
( n − 1 ) s
2
χα
2
, n − 1
2
( n − 1 ) s
2
χ
1 −
α
2
, n − 1
2
( n − 1 ) s
2
χ
1 −α , n − 1
2
( n − 1 ) s
2
χ
α , n − 1
2
Nel caso dell'intervallo di confidenza a livello 1 – α con varianza σ nota, se si vuol
trovare n tale che che l'intervallo di confidenza bilaterale sia ampio ± b :
x ± z
α/ 2
σ
n
x ± b → z
α/ 2
σ
n
= b →
n =
z
α / 2
σ
b
→ n =
(
z
α/ 2
σ
b
)
2
Intervalli di confidenza della differenza delle medie di due distribuzioni
Dati due campioni indipendenti
X
1
, X
2
, …, X
n
con varianza σ x
2
Y
1
, Y
2
, …, Y
m
con varianza σ y
2
l'intervallo di confidenza della differenza delle loro medie a livello 1 – α è dato da:
μ
x
−μ
y
x −
̄
y ± z
α/ 2
√
σ
x
2
n
σ
y
2
m
Con σ x
e σ y
non note ma uguali, utilizzando lo stimatore della varianza comune S p
2
ricavato dalla media pesata delle singole varianze campionarie S x
2
e S y
2
S
p
√
( n − 1 ) S
x
2
+( m − 1 ) S
y
2
n + m − 2
(7.4.9)
μ
x
−μ
y
x − ̄
y ± t α
2,
n + m − 2
S
p
√
n
m
(7.4.11)
Intervalli di confidenza per la media di una distribuzione di Bernoulli
Dato ̂ p =
X
n
μ= ̂ p ± z
α/ 2
√
p ̂ ( 1 − ̂ p )
n
(7.5.3)
Per n grande può essere approssimata ad una normale, ~ N(np, np(1-p))
Z =
X − np
np ( 1 − p )
∼ N (0,1)
H
o
H
1
Si rifiuta H 0
con liv. Di
significatività α se:
P-dei-dati se:
p = p 0
p ≠ p 0
∣
X − np
np ( 1 − p )
∣
z α
2
2P
(
Z >
∣
X − np
np ( 1 − p )
∣ )
p ≤ p 0
p > p 0
X − np
np ( 1 − p )
z
α P
(
Z >
X − np
np ( 1 − p )
)
p ≥ p
0
p < p
0
X − np
np ( 1 − p )
<− z
α
P
(
Z <
X − np
np ( 1 − p )
)
Le ipotesi nulle vengono rifiutate a livelli di significatività α > p-dei-dati.
