Probabilità: Esercitazione di Statistica 2, Esercizi di Statistica

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Probabilità

Antonino Abbruzzo

UniPa - DSEAS

Statistica 2 - Esercitazione

Outline

Probabilità

Definizione Classica

Calcolo Combinatorio

Disposizioni senza e con ripetizione Combinazioni senza e con ripetizione

Probabilità

Definizione Assiomativa

Tavola delle Probabilità

Probabilità Condizionata

Probabilità Inversa (Formula di Bayes)

Disposizione semplice senza ripetizione

Si consideri un insieme costituito da n elementi diversi e sia k un valore minore o uguale ad n. Si definisce disposizione semplice senza ripetizione di n elementi di classe k il numero di raggruppamenti contenti k elementi tali che

in ogni raggruppamento vi siano k elementi degli n iniziali distinti tra loro ; due raggruppamenti differiscono tra loro per l’ordine o per almeno un elemento.

Il numero di disposizioni semplici senza ripetizione di n elementi di classe k è indicato con Dn,k ed è dato dalla formula

Dn,k = n! ( n − k )!

= n ( n − 1 )... ( n − k + 1 )

Esempio

Si consideri un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5. Si consideri l’estrazione senza reinserimento di due palline consecutivamente. Determinare il numero totale di possibili coppie ordinate ottenibili.

Esempio

Si consideri un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90. Quante possibili sequenze ordinate di numeri si possono ottenere estraendo senza reinserimento 5 palline?

Esempio

Si consideri un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90. Quante possibili sequenze ordinate di numeri si possono ottenere estraendo senza reinserimento 5 palline?

Poichè le sequenze ottenute sono distinte per ordine e non vi sono valori ripetuti, la soluzione all’esercizio è ottenuta calcolando le disposizioni semplici di 90 di classe 5, ovvero

D 90 , 5 = 90 · 89 · 88 · 87 · 86 = 5273912160

Esempio

Nell’ippica è denominata “corsa Tris” una corsa in cui gli scommettitori devono indovinare i cavalli che arriveranno al primo, secondo e terzo posto. Supponendo che partano 10 cavalli, quanti sono i possibili ordini d’arrivo nelle prime tre posizioni? Soluzione Dal testo si ricava che l’insieme da cui vengono estratti gli elementi per costruire le terne di arrivo contiene n = 10 elementi (tutti i possibili cavalli). Dato che non si possono osservare elementi replicati e due terne differiscono anche per l’ordine, si ricava che la soluzione al problema è ottenuta calcolando le disposizioni semplici senza ripetizione di 10 elementi di classe 3, ovvero

D 10 , 3 = 10 · 9 · 8 = 720

Permutazioni

Un caso particolare di disposizione semplice senza ripetizione si ottiene quando il valore k è uguale ad n. In questo caso parleremo di permutazioni semplici , e la formula precedente si semplifica nel seguente modo

Pn = Dn,n =

n! ( n − n )!

n! 0!

= n!

Esempio

Si consideri un’urna contente tre palline di colore rosso, verde e bianco. Determinare il numero di terne ottenibili estraendo in sequenza e senza reinserimento le 3 palline dall’urna.

Al fine di migliorare la comprensione del concetto di permutazione costruiamo tutte le possibile terne, ovvero

(B, R, V) (B, V, R)

(R, B, V) (R, V, B)

(V, R, B) (V, B, R)

Più semplicemente il numero totale di permutazioni può essere calcolato come

P 3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6

Disposizioni con ripetizione

Si consideri un insieme costituito da n elementi diversi e sia k un valore naturale maggiore di zero. Si definisce disposizione con ripetizione di n elementi di classe k il numero di raggruppamenti contenti k elementi tali che

in ogni raggruppamento vi siano k elementi degli n iniziali; ogni elemento dell’insieme iniziale si può ripetere fino ad un massimo di k volte; due raggruppamenti differiscono tra loro per l’ordine o per almeno un elemento.

Il numero di disposizioni semplici con ripetizione di n elementi di classe k è indicato con D n ( r,^ k ) ed è dato dalla formula

D n ( r,^ ) k = n ︸ · n ·︷︷... · n ︸ k volte

= nk^.

Esempio

Si consideri un’urna contente tre palline di colore rosso, verde e bianco. Determinare il numero di coppie ordinate ottenibili estraendo con reinserimento due palline dall’urna.

Al fine di migliorare la comprensione del concetto di disposizione con ripetizione costruiamo l’insieme di tutte le possibili coppie, ovvero

(R, R) (R, B) (R, V)

(V, V) (V, B) (V, R)

(B, B) (B, R) (B, V)

Più semplicemente il numero totale di disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 2 può essere calcolato come

D 3 ( r,^ 2 ) = 32 = 9_._

Esempio

Il totocalcio è un concorso a premi istituito nel 1946 e gestito dall’Amministrazione Autonoma dei Monopoli di Stato, il cui obiettivo è la previsione degli esiti di 14 partite di calcio. Per ogni singola partita inserita in schedina si deve marcare 1 se si pronostica la vittoria della squadra che gioca in casa, X se si prevede un pareggio, 2 se invece si prevede la vittoria della squadra ospite.

Calcolare il numero totale delle possibili sequenze di 14 risultati.

Combinazione semplice

Si consideri un insieme costituito da n elementi diversi e sia k un valore minore o uguale ad n. Si definisce combinazione semplice di n elementi di classe k il numero di raggruppamenti contenti k elementi tali che

in ogni raggruppamento vi siano k elementi degli n iniziali distinti tra loro ; due raggruppamenti differiscono tra loro per almeno un elemento ma non per l’ordine.

Il numero di combinazioni semplici di n elementi di classe k è indicato con Cn,k ed è dato dalla formula

Cn,k =

n k

n! k !( n − k )!

Esempio

Nel gioco del super enalotto si entraggono 6 numeri tra 90 (tutti distinti) e per ottenere la vincita massima occorre individuare tutti i valori indipendentemente dall’ordine di estrazione. Determinare il numero di tutte le possibili sestuple ottenibili.