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Libro di statistica per ingegneri completo di tutto, probabilità statistica inferenziale e dipendenza statistica
Tipologia: Dispense
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(Estratto da Ingegneria Gestionale Vol. II)
... La trama dritta della necessità non si lascia sviare dalla sua direzione finale, e anzi con ogni alterna vibrazione tende soltanto a quella; il libero arbitrio è sempre libero di manovrare la sua spola tra i fili già dati; e il caso, sebbene costretto al suo gioco tra le linee dritte della necessità, e diretto obliquamente nei suoi mo- vimenti dal libero arbitrio, sebbene così co- mandato da quei due, il caso li comanda a tur- no, e dà l‟ultimo colpo, quello che li forma, agli eventi...
H. MELVILLE, Moby Dick, cap. XLVII (Trad. di Nemi d‟Agostino)
... La esperienza non falla, ma sol fallano i no- stri giudizi, promettendosi di lei cose che non sono in sua podestà. A torto si lamentan li o- mini della isperienza, la quale con somme rampogne quella accusano esser fallace. Ma lasciàno stare essa sperienza, e voltate tale la- mentazione contro alla vostra ignoranza, la quale vi fa trascorrere, co‟ vostri vani e instolti desideri, a impromettervi di quelle cose che non sono in sua potenzia, dicendo quella esser fallace...
... La scienza è il capitano, e la pratica sono i soldati...
... Quelli che s‟innamoran di pratica sanza scienza son come „l nocchier ch‟entra in navi- glio sanza timone o bussola, che mai ha cer- tezza dove si vada...
LEONARDO DA VINCI, Aforismi sulla natura
Il presente libro è il risultato di una lunga sperimentazione con gli studenti della Facoltà di Ingegneria e della collaborazione scientifica dell’Au tore con ingegneri utilizzatori delle tecniche statistiche. Il libro tratta inizialmente gli elementi essenziali del Calcolo delle Probabilità indispensabili per formare una mentalità non deterministica, per dare le basi per la comprensione delle tecniche statistiche trattate successivamente e per affron- tare i problemi affidabilistici e manutentivi. Le tecniche statistiche sono quindi presentate in funzione di specifiche applicazioni ingegneristiche, con particolare attenzione a quelle cui noi ingegneri della produzione ricorriamo più frequente- mente. In definitiva il libro colma un vuoto nella letteratura tecnica italiana, presen- tando in modo coordinato agli ingegneri sia le basi che le applicazioni più utili della statistica e come tale è un valido aiuto sia per la formazione dell’ingegnere moderno sia, più in generale, per coloro che intendono dedicarsi al miglioramen- to dell’attività produttiva.
Prof. Antonino Passannanti Ordinario di Gestione Industriale della Qualità Università di Palermo
Questo testo è stato pensato tenendo conto di due possibili utenti.
Il primo è certamente lo studente di un corso di Statistica e Calcolo delle Probabilità del Corso di laurea di Ingegneria Gestionale, ma anche di un qua- lunque altro Corso di laurea che richieda, dopo una breve introduzione di calco- lo delle probabilità, un’esposizione degli strumenti statistici necessari a chi si troverà di fronte a problemi tanto sperimentali quanto osservazionali; il quale avendo un solido retroterra matematico, possa e debba comprendere in profondi- tà quali sono le strutture logiche e formali che sottostanno a tali strumenti, per non ridurli nella loro applicazione a semplici “ricettine”. Questo utente potrà seguire tutto il testo.
Il secondo tipo di utente a cui penso è, per esempio, uno studente che non possiede gli strumenti del calcolo differenziale, oppure un dottorando o ricerca- tore che vuole approfondire i concetti statistici, ma non vuole perdere tempo con passaggi certo utili (ho cercato di non dare nulla senza una dimostrazione forma- le o almeno intuitiva), ma non indispensabili alla comprensione generale. Questo secondo utente può saltare tutto ciò che è scritto in carattere più piccolo senza perdere il filo del discorso.
Il testo è articolato in una parte di base e una parte specialistica, che può prevedere nel corso per i gestionali i piani sperimentali, mentre in un corso per elettronici o idraulici sarà più utile occuparsi della modellistica ARIMA.
Il progredire sia delle scienze sperimentali che della ricerca tecnologica si realizza attraverso i seguenti tre passi:
Tale movimento è ciclico poiché, in base al risultato della verifica, o si rigetta la teoria e se ne cerca un‟altra, o comunque si cerca di arricchire e completare quella formulata, sulla base dei nuovi dati raccolti. Anche se i punti 1. e 3. sono fondati sulla pratica, tutti e tre i momenti richie- dono una formulazione teorica che non può non contenere elementi di astrazione e pertanto avere un grado più o meno elevato di arbitrarietà. Infatti per il punto 1. si deve scegliere quale fenomeno osservare e quindi inevitabilmente occorre trascurarne tutta una infinità di altri. Nel punto 2. è la capacità personale di collegare nel modo più creativo (e quindi arbitrario) i feno- meni più disparati da parte del ricercatore, di astrarre ciò che si considera costante da ciò che si ritiene “accidentale”, che costituisce l‟elemento saliente. Ma forse è nel punto 3. che ritroviamo l‟arbitrarietà come fattore determinante, in particolare nella scelta di quali verifiche effettuare, su quali dati, con quali metodologie.
Comunemente si ritiene ancora che la “ripetizione” di un fenomeno consente
di, ed è sufficiente a, verificare se le astrazioni compiute per il punto 2. siano corrette o no, cioè se, trascurando dettagli non essenziali, il fenomeno si “ripeta” sempre nello stesso modo. La scienza sta invece superando il requisito della ripe- tibilità come unico supporto e garanzia della conoscenza scientifica, dovendosi ammettere che – in contesti “scientificamente” determinati nei quali un ruolo decisivo è giocato dalla specifica natura dell‟oggetto indagato – anche un solo esperimento è capace di verificare o smentire una teoria (dove “verificare” può anche intendersi come “non smentire”, e quindi accettare fino a prova contraria). In tale “ambiente” di indagine, come si vede, l‟arbitrarietà delle condizioni speri- mentali risulta esaltata, nel senso – si intende – della preponderante rilevanza delle scelte compiute dal ricercatore. Da quanto esposto finora dovrebbe apparire chiaro che l‟arbitrarietà di cui si discorre non è affatto tale da portare a interpretazioni della realtà tra le quali sia lecito “scegliere” secondo inclinazioni più o meno soggettive, ché anzi, se la ri- cerca è condotta correttamente, si perviene a risultati che arbitrari non sono, che consentono cioè di modificare la realtà in un senso che comunque tenga conto di obiettivi prefigurati, anche se in modo non prescrittivo. E si può dire che oggi la prova della bontà di una teoria risiede nella sua ricaduta tecnologica, nella sua capacità di trasformare le cose. La base della ricerca scientifica resta pertanto il trattamento opportunamente disciplinato di una mole più o meno grande di dati sperimentali e osservazionali (intendendo temporaneamente qui “sperimentali” come: programmati in laborato- rio; e “osservazionali” come: frutto di osservazioni non programmate in anticipo raccolte sul campo). Da questo punto di vista occorre una metodologia che consenta:
Questa metodologia è la statistica. Naturalmente questi due punti sono intimamente connessi, in quanto i dati sono raccolti non in maniera generica ma secondo un indirizzo ben preciso (dalla semplice esplorazione preliminare di una certa realtà, alla selezione degli elementi idonei a una particolare verifica); mentre la “sintesi” (e quindi l‟eliminazione di ciò che si ritiene ininfluente in un determinato contesto) si compie con modalità differenti a seconda di ciò che si vuole far emergere. Si suole dividere la statistica in due filoni, a seconda dello scopo e del mate- riale a disposizione:
certe caratteristiche una variabilità, per cui non è possibile prevedere esattamente quale sarà il valore assunto dalla prossima realizzazione. Un esempio potrebbe essere ancora la vita delle lampadine prodotte, questa volta non essendo di fronte a un lotto di unità già prodotte, bensì alla successione di quelle prodotte e di quel- le ancora da produrre. L‟utilità pratica di ciò è talmente evidente che non merita di soffermarvisi. Come si può comprendere, sia nel caso di campione da popolazione finita e reale che da popolazione illimitata e ipotetica, abbiamo la necessità di usare stru- menti che consentano di trattare il caso o l‟aleatorietà derivante dalla scelta, che abbiamo fatto o che abbiamo subìto, delle unità che compongono il campione. Per tale motivo la statistica inferenziale non può fare a meno del calcolo delle proba- bilità. Questa disciplina studia il comportamento di alcuni modelli teorici di fe- nomeni aleatori o stocastici. È compito della statistica inferenziale usare quei modelli e cercare di indagare, sulla base delle scarse informazioni che il campione limitato ci fornisce, qualcosa di più generale sulla popolazione di interesse. Per sintetizzare, i fenomeni cui ci riferiamo in questo testo sono:
a) quei fenomeni che nel loro manifestarsi danno luogo a risultati che siano varia- bili (se fossero tutti uguali, basterebbe osservarne uno per dire di averli osservati tutti);
b) la cui particolare realizzazione non può essere prevista con la precisione desi- derata e quindi siano (o siano considerati come) aleatori, in quanto la causa che provoca tali diversità tra i vari risultati è incognita o non controllabile.
Per esempio, siamo interessati a studiare le lampadine prodotte da una fabbri- ca. Se la grandezza di interesse fosse la loro dimensione, la trascurabile variabilità tra i risultati ottenuti non richiederebbe l‟uso della statistica: tutte le unità si pos- sono considerare uguali. Se invece la grandezza di interesse è la vita delle lampa- dine, allora, non solo ci rendiamo conto che c‟è una elevata variabilità nei risulta- ti, ma che non sappiamo quale legge sopraintenda a essa, infatti non riusciamo a prevedere in modo accettabile la vita di una qualunque di esse. Il dibattito sul fatto che questa imprevedibilità sia dovuta solo a una nostra scarsa conoscenza del fenomeno e delle leggi che lo regolano, o non piuttosto a una sua intrinseca e ineliminabile caratteristica, esula dalle finalità di questo testo e gli strumenti usati in esso. In realtà se un fenomeno è da considerarsi determini- stico o aleatorio dipende molto dalla scala a cui lo si osserva. Basti pensare agli effetti irrilevanti che ha la meccanica quantistica alle scale alle quali quotidiana- mente ci muoviamo, mentre come questi fenomeni diventano di nuovo estrema- mente rilevanti a scale astronomiche.
Tutti i fenomeni che ci circondano hanno una strana caratteristica. Da un lato essi sono differenti l‟uno dall‟altro, dall‟altro lato hanno sempre qualcosa che li accomuna. Probabilmente ciò deriva dalla particolare prospettiva nella quale noi li osserviamo. Per esempio un gruppo di cavie per uno sperimentatore rappresenta una successione di copie di uno stesso ceppo, ma egli è interessato agli aspetti comuni e spera che quelli individuali siano il meno rilevanti possibile, proprio perché vuole “replicare” su tali cavie un certo esperimento. È possibile che un osservatore esterno osservi gli abitanti di questo mondo con lo stesso spirito di quel ricercatore, ignorando le differenze tra gli individui (di cui noi magari an- diamo molto orgogliosi) proprio perché è interessato agli aspetti comuni che sot- tostanno alla variabilità. Anche il più semplice degli esperimenti, se si scende a un grado di osservazio- ne opportunamente preciso, ha un grado di variabilità nel risultato che induce aleatorietà. Proprio per questo non si può parlare in assoluto di uno stesso feno- meno replicato, perché il fenomeno o è un altro “simile” o è ripetuto in un istante successivo. È l‟osservatore che giudica quei due fenomeni come due repliche di qualcosa di comune che non è né l‟uno né l‟altro, ma solo un modello teorico (o idea) che egli ha in mente. Il più semplice dei fenomeni che possono essere rappresentati attraverso delle leggi o modelli stocastici è il risultato del lancio di una moneta. Ammettendo di avere una moneta equa, ossia che non abbia una faccia più pesante dell‟altra (si pensi all‟astrazione che si fa in fisica sul comportamento dei gas o dei gravi), e che sia impossibile che la moneta resti in equilibrio sul bordo o che si perda, i due
possibili esiti dell‟esperimento (o evento) sono testa (T) e croce (C). È risaputo che per quanta cura si metta nel collocare la moneta sulla mano e nell‟imprimerle una certa forza – per quanto cioè le condizioni iniziali siano fissate esattamente – il risultato è imprevedibile. Dall‟altro lato è pure esperienza comune che in queste condizioni, ripetendo nel tempo l‟esperimento, i risultati nel complesso mostrano una regolarità che non può essere trascurata; in particolare non si verificano mai casi in cui vi è una eccessiva predominanza di un risultato di tipo T o C rispetto a un altro (anzi, quando ciò si verifica, a essere messo in discussione non è il mo- dello teorico, bensì l‟equità della moneta). Pertanto, se il singolo risultato è im- prevedibile, è “meno imprevedibile” il complesso di un insieme di risultati basato su un numero più ampio di repliche.
Dopo avere definito i possibili eventi, o gli esiti possibili, di un esperimento aleatorio, è immediato chiedersi qual è la probabilità che ha ciascuno di essi di verificarsi. Infatti il concetto di probabilità è usato correntemente. Nel diciassettesimo secolo, quando cominciarono a diffondersi i giochi di carte, si cercò di formalizzare la probabilità come il numero di casi favorevoli sul numero di casi possibili, giudicati questi tutti equiprobabili. Ora, a parte la tauto- logia di fondare la probabilità sull‟equiprobabilità, come ci si deve regolare quan- do i casi sono manifestamente non equiprobabili? Successivamente con lo sviluppo delle scienze osservazionali si definì la pro- babilità di un esito in modo statistico, come limite del numero di esperimenti che hanno condotto a quel risultato rapportato al numero sufficientemente elevato di esperimenti provati. Anche qui però non mancano le difficoltà teoriche e pratiche. Primo, si fa riferimento alla citata ripetibilità di un esperimento, con tutte le im- plicazioni di arbitrarietà connesse, lasciando così non risolti i problemi (la mag- gior parte) in cui l‟esito è incerto ma l‟esperimento non è affatto ripetibile (per es., l‟esito di una operazione chirurgica, che è basato non solo su statistiche di operazioni effettuate su altri, ma anche sullo stato del paziente). Inoltre dal punto di vista pratico quanti devono essere gli esperimenti prima di potere affermare la convergenza al limite come praticamente raggiunta? E inoltre, potendo per effetto del caso i casi favorevoli essere molto più (o meno) numerosi di quanto la proba- bilità non “prescriva”, la valutazione di probabilità non è certa e quindi si deve parlare di una probabilità della probabilità? Nel secolo appena trascorso si è andata affermando, non senza forti contrasti e opposizioni, la concezione soggettivista, di cui uno dei più grandi rappresentanti è l‟italiano Bruno De Finetti [10], concezione che rinuncia esplicitamente alla pos- sibilità di esprimere su qualsiasi evento una probabilità “oggettiva”, cioè tale che sia un valore comune per chiunque la esprima; in realtà la probabilità, quantifi-
