PROBLEMI LINEARI
La trattazione di un problema di programmazione lineate segue la metodologia indicata nei
problemi generali di ricerca operativa che si traduce in un modello matematico costituito da:!
- una funzione lineare di n variabili da massimizzare o da minimizzare!
- un sistema di vincoli espressi da equazioni o da disequazioni lineari nelle n variabili!
-un sistema di vincoli di segno, che impongono la non-negatività delle variabili!
I problemi di programmazione lineare sono problemi di ricerca del massimo e del minimo di
funzioni lineari.!
METODO GRAFICO
|-> problemi di programmazione lineare in due variabili:!
La ricerca del massimo e del minimo assoluti di una funzione lineare di due variabili soggetta a un
sistema di vincoli espressi da disequazioni lineari nelle due variabili.!
La soluzione del sistema dei vincoli è detta dominio dei vincoli. !
Ogni disequazione è soddisfatta dai punti di un semipiano, perciò il sistema dei vincoli è
soddisfatto dall'intersezione dei relativi semipiani.!
Se l’intersezione non è vuota la soluzione può essere un poligono convesso, eventualmente
riducibile a un segmento, oppure una regione piana illimitata e convessa detta troncone, avente
per frontiera una spezzata aperta.!
Se il dominio dei vincoli è un poligono esistono, per il teorema di Weierstrass, il massimo e il
minimo assoluti della funzione, che non possono essere in punti interni perché le derivate parziali
della funzione sono costanti; quindi il massimo e il minimo della funzione sono sulla frontiera,
precisamente nei vertici del poligono.!
Se il dominio dei vincoli è una regione illimitata convessa a contorno poligonale, il massimo
assoluto e il minimo assoluto, se esistono, sono in un vertice della frontiera.!
Ogni coppia di valori (x1, x2) che soddisfa il sistema dei vincoli è detta soluzione ammissibile.
Ogni coppia di valori (x1, x2) ottenuta come intersezione tra due rette che limitano il dominio dei
vincoli è detta soluzione di base.!
Le coppie di valori (x1, x2) che hanno per immagini i vertici del dominio dei vincoli sono dette
soluzioni ammissibili di base e tra esse è da ricercare la soluzione ottima.!
Il metodo grafico si applica percorrendo i seguenti passi:!
a) si determina il dominio dei vincoli (o la regione delle soluzioni ammissibili) mediante la
rappresentazione grafica dei vincoli sul piano Ox1x2!
b) se il dominio dei vincoli è un poligono, si calcola il valore della funzione economica nei vertici e
si ricava il vertice (o i vertici) in cui la funzione assume il valore massimo o minimo; se il dominio
dei vincoli è illimitato, si esamina l'andamento delle linee di livello per dedurre se esiste un vertice
che ottimizza la funzione.!
PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE IN TRE O PIÙ VARIABILI
Alcuni problemi di programmazione lineare di tre o più variabili sono riconducibili a due variabili
indipendenti.!
