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(1 @ (3 ) ) (4) b Prova scritta di Matematica per l'Economia CdL Triennale in EA Appello del 17 gennaio 2024 - Numeri PARI Determinare la primitiva F della funzione A :]1/4, +00[+ IR definita ponendo h(x)=log(2v&-1) per ogni e > 1/4 tale che F(1) = 0. Calcolare, quindi, il lim (2). sila (Sugg. Nell’integrare si ponga v# = £ e successivamente si proceda per parti) Calcolare almeno uno dei seguenti limiti: log(v1+ x?) if oz pi lost _ gt ELETTA NE sro Saga 8a (Sugg. Per il primo limite può essere utile ricordare che, almeno formalmente, log(f(x)) = f(1) - 1 se f(2) +1) Studiare la seguente funzione: Se) loge e tracciarne approssimativamente il grafico. Si consideri la funzione g : IR + IR definita ponendo 2x-2+log2, ser <1, 91) = log(1+ 22), sea>1. Dire se g soddisfa le ipotesi del teorema di Bolzano; in caso affermativo determinarne il codominio: studiare la derivabilità di g, individuando e classificando gli eventuali punti di non derivabilità; studiare la monotonia di g; dire se g verifica le ipotesi del teorema di Rolle relativamente all'intervallo [2, 4]; in caso affermativo calcolare il punto (o i punti) c che ne soddisfano la tesi; dire se la restrizione di g all'intervallo [1/4,+00[ è dotata di minimo c/o massimo globale; in caso affermativo calcolare esplicitamente il valore minimo e/o massimo. Tempo massimo per lo svolgimento della prova: 2 ore (1 @ a 7) ) Zi Prova scritta di Matematica per l'Economia CdL Triennale in EA Appello del 17 gennaio 2024 - Numeri DISPARI Determinare la primitiva F della funzione A : [0,+00[+ IR definita ponendo he) =log(1+v@#) per ogni x > 0 tale che F(0) = 1. Calcolare, quindi, il lim F(x). a+ (Sugg. Nell’integrare si ponga yT uccessivamente si proceda per parti) Calcolare almeno uno dei seguenti limiti: 1 sn2) % Tr A log? 1 /Tog x lim 4, lim (v@)o8r_ avis, 3" Tog(coso) sin (Sugg. Per îl primo limite può essere utile ricordare che, almeno formalmente, log(f(x)) = f(1) — 1 se f(2) +1) Studiare la seguente funzione: e tracciarne approssimativamente il grafico Si consideri la funzione g : IR + IR definita ponendo e/2 ser<1, 97) = vî-1/2, sen>1 Dire se g soddisfa le ipotesi del teorema di Bolzano; in caso affermativo determinarne il codominio; studiare la derivabilità di g, individuando e classificando gli eventuali punti di non derivabil: studiare la monotonia di g; dire se g verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all’intervallo [0. 4]; in caso afferma- tivo calcolare il punto (o i punti) c che ne soddisfano la te: dire se la restrizione di g all'intervallo [1/2,+00[ è dotata di minimo e/o massimo globale; in caso affermativo calcolare esplicitamente il valore minimo e/o massimo. Tempo massimo per lo svolgimento della prova: 2 ore 3°) Studiare la seguente funzione: Insieme di definizione. De= 10,41 V]A,+40[ fF(x)>0 <=? XE HAT f(x)=0 <=> xE2 f(x)
0 dIx3I ), du {= +4, dum {(0=9, Equazioni degli asintoti del grafico di f: is! member vaticolo a di, DiX=1 aniutoto vanti colo cupleto ) t:4=0 arvtoto o uszouteli P'(x)>0o => XI KL £'(x)=0 <= X= 4/2 f'(x)<0 <> xe IM ICUILtAT Punti angolosi o cuspidali del grafico di f VA VA VA VA VA Intervalli in cui f strettamente crescente 10,%1 Intervalli in cui f è costante __/ VA Intervalli in cui f è strettamente decrescente [AK AL._14,+4Î Punti -dimminime—o di massimo relativo per f_Xo=4/ twhi X(K)= - L Punti di minimo o di massimo assoluto per f ° o pei= Large Ncedg, xi. toga £"(x)>0_ <> XG 14, +40[ f"(x)=0 => XE 2 mu(x) XE I0,3T Intervalli in cui f è convessa 12 +00 Intervalli in cui f è concava T 0, 1 [ è Punti di flesso per f. VA Agli ultimi due quesiti conviene rispondere dopo aver tracciato il grafico di f. i) fn TRACCIARE IL GRAFICO DI f. 7 NUXeRa pISPARI È. a ) Sa Ole 1 3 x v AIDIXZA - " = ca c 4°) - bud ° Sc ha 0% gg = (81) 4 L fp ente e ombre cm |R_ è dumgra vena fra Q cpolese dl trowme oh Boleamo ; oviemdo has g0= 4 Ao, da cledua puba to chel Goolemento 3g cio lia Co Bg e dave La IR\Î13 com %, Da X<4,° bg | ( A da X>1. i MUSICHE i cmokin (0)=k (e dlumque 3 1=%) si LE (e dunque f 05), A che comiute ol endudue che e dvuvebide AR butto (R com f (= 4g Rinultondo goori pu quer, g e pbufamente mercente e petalo gir, sel CZ ha mumimo 9Iobole 4% Xo=% cod volou mimmo 8(£)= 4 mesi bie Mes he umoMmimo j Ì vi 7! e" e IboXt posche” MU! LL Ve = A Mete price Adi pi cato en 7°? CAIO, j e duvebide LM L0,41 e dusague ves fue % spoltoe dk Vasuame oh pegpipall Po, DMS. 3 lg = L33> x 46610 4 ipo fr, 7 A è j00 k < "51 7 x 1040, e unqua 4 Paro puuto c paevento meBNa tene dell teouma, 3°) Studiare la seguente funzione: x+f(x)= Loqx Insieme di definizione DIE ACILUNO] Ati FAL F(m)b>o 7 xe 14,44 { f(x)=0_? X62 f(x)<0 <=> Xc ID. Intervalli in cui il grafico di f è al disopra dell'asse delle x DOFEZIN Punti comuni al grafico di f ed agli assi coordinati / 4 VA Intervalli in cui il grafico di f è al disotto dell'asse delle x IVAC Limiti significativi per f: Tom {W0=), Rem ch ala t%, Qua {= +4; Xx gt xo 4° 'ko4A Equazioni degli asintoti del grafico di f: ix anrutoto vetacle cmplilo, £'(x)>0 xe IR&+®C £'(x)=0<=? X= © £'(x) XE 10,301, eC Punti angolosi o cuspidali del grafico di f VA Intervalli in cui f è strettamente crescente DL tibi Intervalli in cui f è costante A VA Intervalli in cui £ è strettamente decrescente _10,1[ 14,2] Punti di minimo «di-massimo relativo per f__Xp= M TSE L Punti di minimo o di massimo assoluto per f D qu(x)>0 <=> XE LHC f"(x)=0 (=> X= 2 fe(x) xe 30 A[VIC+A[ Intervalli in cui f è convessa 4 e1 Intervalli in cui f è concava _)n,1C, [tWt+A{ Punti di flesso per f__x,1=@? wu N(X)= T Agli ultimi due quesiti conviene rispondere dopo aver tracciato il grafico di f. y Pr TRACCIARE IL GRAFICO DI f. MUHE i ARI i | | Ù i ] I | i i > e x Prede X(0)z0, fe prelun ASSI 17] conbimute &M 0 de de posti {l=v, WOPBACITE '09)=0, tole ar eigta Pal deuvebide su 9 (cM Avuvero digiti a 0) o he au 0 us queto de Max Lol. UA 49) - bun Sc ha gem te, Up: RESA prtanto è ercombimse zu IR dusipuo ves fica 1A spore dl Veneme di Balzo, orrado La g0=t4% , dr deduee subito che + XD + Ao sl codlomeimio DiLù ni uguale a RR. ) © diuvebele 44 IR\d4] om 2 BE KILL ( go= 44% è, dA X
