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QUARTA ESERCITAZIONE
ESERCIZIO 1 200 giovani sono stati classificati in base all’eta (Y: 18 − |20, 20 − |24, 24 − |26, 26 − |30) e alla loro propensione al fumo (X: fumatori, non fumatori). I risultati ottenuti sono stati i seguenti: 1/5 dei giovani ha dichiarato di essere fumatore abituale; di questi meta ha un’eta inclusa nella classe 20 − |24, 1/4 nella classe 24 − |26 e 1/4 nell’ultima classe. Fra i non fumatori, 3/4 rientrano nella classe di eta 18 − |20, mentre 1/4 nella classe 20 − |24.
a) Si costruisca la tabella a doppia entrata contenente le frequenze assolute con- giunte e marginali Svolgimento:
18 − | 20 20 − | 24 24 − | 26 26 − | 30 TOTALE
Fumatori 0 20 10 10 40 Non Fumatori 120 40 0 0 160 TOTALE 120 60 10 10 200 b) Si determini la probabilita che estraendo a caso un giovane abbia un’eta nella classe 20 − |24 e sia fumatore Svolgimento: Indichiamo con A l’evento avere et`a nella classe 20 − |24 e fumatore. P (A) =
casi favorevoli casi possibili
c) Si determini la probabilita che estraendo a caso un giovane abbia un’eta nella classe 20 − |24 sapendo che e un fumatore. Svolgimento: Indichiamo con C l’evento avere eta nella classe 20 − |24 e con F l’evento essere fumatore.
P (C | F ) =
P (C ∩ F )
P (F )
#(C ∩ F )
#F
dove il simbolo # indica il numero di persone nell’insieme di riferimento.
ESERCIZIO 2 Una casa farmaceutica sta studiando i tipi di farmaci che i pazien- ti affetti da allergie hanno assunto (giornalmente o sporadicamente) durante la stagione primaverile ottenendo i seguenti risultati:
Con prescrizione (C.P) Senza prescrizione (S.P) TOTALE Giornalmente (G) 86 43 129 Sporadicamente (S) 23 156 179 TOTALE 109 199 308
*abbiamo aggiunto alla tabella la riga e la colonna dei TOTALI.
a) a) Qual e la probabilita che un paziente abbia acquistato il farmaco senza pre- scrizione o abbia assunto il farmaco giornalmente? Svolgimento Indichiamo con A l’evento acquistare un farmaco Senza prescrizione e con B l’evento assumere un farmaco giornalmente. Si chiede la probabilit`a dell’u- nione:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
b) Qual e la probabilita che un paziente abbia assunto il farmaco giornalmente e acquistato il farmaco senza prescrizione? Svolgimento Siano A e B gli eventi di cui al punto precedente, si chiede la probabilita dell’intersezione (gia calcolata prima!):
P (A ∩ B) =
c) Qual e la probabilita che un paziente abbia assunto il farmaco giornalmente sapendo che l’ha acquistato senza prescrizione medica? Svolgimento Sempre considerando gli eventi A e B di cui al punto a), si chiede la probabilit`a condizionata dell’evento B rispetto all’evento A
P (B | A) =
P (B ∩ A)
P (A)
ESERCIZIO 3 Una societ`a di prodotti editoriali che vende per corrispondenza vuole sapere con quale frequenza gli abbonati acquistano un suo prodotto. I dati raccolti sul numero di acquisti nei primi tre anni di iscrizione effettuati da un campione di 15 clienti selezionati casualmente sono:
12 12 14 15 14 11 13 10 14 14 13 14 14 11 15 Determinare un intervallo di confidenza (al livello di confidenza del 90%) per il numero medio di acquisti nei primi tre anni di iscrizione. Svolgimento Indichiamo con n = 15 la dimensione del campione, con ¯x la media degli aquisti os- servata e con sx la deviazione standard campionaria poich´e l’esercizio non fornisce alcune informazioni sulla deviazione standard della popolazione di riferimento.
x¯ =
per quanto riguarda la deviazione standard campionaria si ha sx =
1 n− 1
i=1(xi^ −^ x¯)
L’intervallo di confidenza al 90% per la media con varianza/deviazione standard non nota `e dato da: x¯ ± t∗ n− 1 ,α/ 2 sx/
n dove t∗ n− 1 ,α/ 2 , detto valore critico, e il valore della distribuzione t-di student con n-1 gradi di liberta che lascia alla sua DESTRA un’area pari ad α/2. Nel caso in questione si deve quindi cercare nelle tavole a disposizione (le quali forniscono proprio l’area a DESTRA, a differenze di quelle per la variabile normale standard) il valore t(14, 0 ,05)=1, 761. L’intervallo di confidenza `e quindi [13, 065 ± 1 , 761 · 1 , 530 /
15] = [12, 369, 13, 761]
ESERCIZIO 4 La spesa mensile delle famiglie italiane per trasporti ha una distribu- zione di tipo normale con media pari a 180 euro al mese e deviazione standard pari a 25. Supponendo di osservare un campione di 20 famiglie qual e la probabilita di trovare un valore medio di spesa compreso tra 170 e 185 euro? Svolgimento Indichiamo con X la variabile spesa mensile delle famiglie italiane per trasporti, con μ = 180 > la media della sua distribuzione e con σx = 25 la deviazione stan- dard della sua distribuzione. Indichiamo con X¯ la variabile MEDIA della distribuzione X. La variabile X¯ ha distribuzione normale con media μ uguale alla media di X, μ = 180, e con de- viazione standard σ (^) X¯ = σx/
n = 5, 59. Dove n `e in questo caso uguale a 20. L’esercizio chiede quindi P (170 ≤ X¯ ≤ 185). P (170 ≤ X¯ ≤ 185) = P ( X¯ ≤ 185) − P ( X¯ ≤ 170)
Le tavole forniscono le probabilit`a per una normale standard di conseguenza oc- corre standardizzare la variabile in questione.
P (
X¯ − 180
) − P (
X¯ − 180
ovvero
P (Z ≤ 0 , 894) − P (z ≤ − 1 , 789) = 0, 8133 − 0 , 0367 = 0, 777.
Indichiamo con m = 0, 03 il margine di errore. Sappiamo che nel caso di Intervallo di Confidenza a livello per una proporzione:
m = z∗
p∗^ · (1 − p∗) n In questo caso e noto, il margine di errore m, si fissa come valore ipotizzato per la proporzione campionaria p∗^ = 0, 50, dato che non viene data alcun’altra ipotesi a riguardo. Come valore critico z∗^ essendo il livello di confidenza pari al 90% = (1 − 0 , 10)%, indicando con α = 0, 10 allora si deve cercare nelle tavole quel valore che lascia alla sua sinistra un’area pari a 0, 95 = 1 − α/2, o in modo equivalente un’area a destra pari a 0,05. Di conseguenza il valore z∗^e 1,645. A questo punto si tratta di risolvere un’equazione nell’incognita n. Oppure si ottiene dall’equazione di cui sopra:
n = ( z∗ m
)^2 · p∗(1 − p∗) ' 752.
ESERCIZIO 9 Nella citta di Puffolandia si vuole sospendere il servizio porta a porta di raccolta dei rifiuti. Determinare il numero di residenti che deve essere intervi- stato per ottenere una stima della percentuale di residenti favorevoli al livello di confidenza del 95% e con un errore massimo del 2,5%, supponendo che la propor- zione ipotizzata sia intorno al 70%. Svolgimento Esercizio del tutto analogo all’Esercizio 8, con la differenza stavolta che si ipo- tizza una proporzione intorno al 70%. Quindi il valore p∗^ da inserire nell’equa- zione nell’incognita n, none piu 0,50, ma 0,70. Inoltre in questo caso il livello di confidenzae cambiato, esso e al 95%, quindi α = 0, 05 di conseguenza il va- lore z∗^ da ricercare nelle tavolee quello per cui l’area alla sua sinistra `e pari a 1 − α/2 = 1 − 0 , 025 = 0, 975, da cui z∗^ = 1, 96. Sostituendo tutti i valori nell’equazione si ottiene quindi n = ( (^01) ,, 02596 )^2 · 0 .70(1 − 0 .70) ' 1290.
ESERCIZIO 10 E’ stata organizzata una degustazione di vini a cui hanno partecipato numerosi. Alla fine della degustazione e stato estratto un campione casuale di 6 individui a cuie stato misurato il tasso alcolemico: 0.55, 0.58, 0.60, 0.74, 0.45,0.65. Supponendo che tutti i partecipanti abbiano le medesime caratteristiche fisiche e che abbiano bevuto la medesima quantita di vino, determinare l’intervallo di confidenza al 90% e al 95% per il tasso alcolemico medio dei partecipanti alla degustazione. Svolgimento Intervallo di Confidenza per la media di una popolazione, con varianza/deviazione standard non nota. Sia n=6 la dimensione del campione. L’intervallo di confidenza per la media con varianza/deviazione standard non notae dato da:
x¯ ± t∗ n− 1 ,α/ 2 sx/
n
dove t∗ n− 1 ,α/ 2 , detto valore critico, e il valore della distribuzione t-di student con n-1 gradi di liberta che lascia alla sua DESTRA un’area pari ad α/2. Nel caso in questione si deve quindi cercare nelle tavole a disposizione (le quali forniscono proprio l’area a DESTRA, a differenze di quelle per la variabile normale standard) il valore t(5, 0 ,05)=2, 015 (per l’intervallo di confidenza al 90%) e t(5, 0 ,025)=2, 571 per l’intervallo di confidenza al 95%. Sia quindi ¯x = 0, 595 la media osservata e sx = 0, 097 la deviazione campionaria. L’intervallo al livello di confidenza del 90%e quindi [0, 595 ± 2 , 015 · 0 , 097 /
6] =
[0, 517, 0, 677].
L’intervallo al livello di confidenza del 95% `e quindi [0, 595 ± 2 , 571 · 0 , 097 /
6] =
[0, 495, 0, 699].
ESERCIZIO 11 Un gruppo di 408 persone `e stato intervistato a 6 mesi dal conse- guimento della laurea. E’ stato chiesto loro se attualmente lavorano o meno: 295
hanno risposto di sı i rimanenti si sono dichiarati disoccupati. Costruire un inter- vallo di confidenza al 95% per la proporzione di persone disoccupate. Svolgimento L’intervallo di confidenza per la proporzionee definito come segue:
pˆ ± z∗
pˆ · (1 − pˆ) n
Dove il valore critico z∗^ e quel valore della distribuzione normale standard che lascia alla sua DESTRA un’area pari ad α/2 o in modo equivalente alla sua SI- NISTRA un’area pari a 1 − α/2. Nel caso in questione αe uguale a 0,05. Il valore critico cercato z∗^ e pertanto 1,96. La proporzione campionaria di persone DISOCCUPATEe ˆp = 113408 = 0, 277. Sostituendo quindi i valori nell’espressione dell’intervallo di confidenza per la proporzione di cui sopra si ottiene un’intervallo di confidenza al 95%=[0.234,0.320].
