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SW, cap. 2-3
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Distribuzioni di Probabilità di Variabili Casuali Discrete: Esempio Somma Due Dadi, Dispense di Statistica
Questo documento introduttivo spiega le basi delle variabili casuali discrete e presenta un esempio pratico della distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta: la somma di due dadi. Il testo include definizioni, esempi e calcoli per illustrare il concetto.
Tipologia: Dispense
2018/2019
1 / 69
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Richiami di statistica
SW, cap. 2-
Variabili casuali e probabilità
-^
Processo casuale: esperimento il cui esito è incerto oaleatorio
-^
Probabilità (di un risultato): la proporzione di volte in cui undato risultato si verifica in un lasso di temposufficientemente lungo;
-^
Variabile casuale (aleatoria/stocastica): regola che associaad ogni evento un unico numero reale. Le variabili casualipossono essere discrete oppure continue.
-^
Spazio campionario: insieme di tutti i possibili risultati. Unevento è un sottoinsieme dello spazio campionario;
-^
Risultati: eventi potenziali, mutualmente esclusivi, di unprocesso casuale;
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
rosso
Supponiamo di avere un dado rosso che può assumere valori da 1 a 6 con pariprobabilità.
rosso
verde
Supponiamo di avere un secondo dado verde che può assumere valori da 1 a 6 conpari probabilità.
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
Per esempio, se otteniamo 4 dal dado rosso e 6 da quello verde,
X^
sarà pari a 10.
rosso
verde
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
rosso
verde
Allo stesso modo, se otteniamo 2 dal dado rosso e 5 da quello verde,
X^
sarà pari a 7.
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
rosso
verde
X^23456789101112
La variabile casuale
X^ può assumere tutti i valori (discreti) da 2 a 12.
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
X^
f (^23456789101112)
Definiamo
f , le frequenze associate con tutte le possibili realizzazioni di
X.
rosso
verde
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
X^
f 2
Allo stesso modo si possono ricavare le frequenze con cui si verificano tutti ipossibili valori di
X.
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
rosso
verde
X^
f^
p
Infine, deriviamo la probabilità di ottenere una data realizzazione di
X.
rosso
verde
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
16
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
rosso
verde
X^
f^
p^
cdf
tot.
La funzione di ripartizione (c.d.f.) è ottenuta sommando la probabilità corrispondentea ciascuna realizzazione della variabile casuale con le probabilità delle realizzazioniad essa precedenti. A esempio: la probabilità di ottenere una somma
≤^ 6 è pari a 15/
(42% circa).
La distribuzione di probabilità relativa alla variabile casuale
X
può essere
rappresentata graficamente. Nel nostro esempio è simmetrica, ed ha forma dicampana rovesciata con massimo per
X^
uguale a 7.
(^6) __ 36 (^5) __ 36 (^4) __ 36 (^3) __ 36 (^2) __ 36
(^2) __ 36 (^3) __ 36
(^5) __ 36
(^4) __ 36
probabilità
X
(^136)
(^136)
UN ESEMPIO DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DISCRETA:
LA SOMMA DI DUE DADI
VARIABILI CASUALI CONTINUE
-^
Funzione di ripartizione o distribuzione di probabilità cumulata:probabilità che una variabile casuale sia minore o uguale uncerto valore.
-^
Variabile casuale continua: può assumere un numero infinito divalori appartenenti ad un dato intervallo (l,L). Poiché il numerodi realizzazione di una v.c. continua è infinito, non è possibiledefinire una probabilità associata a ciascuna realizzazione.
-^
Funzione di densità di probabilità (p.d.f.): l’area sottostante lap.d.f. tra due punti rappresenta la probabilità che la v.c. cada traquesti due punti;
VARIABILI CASUALI CONTINUE
Esempio: estrazione casuale di un’unità da una popolazione di maschi adulti e siesami la variabile statura. Supponiamo che il limite inferiore l sia pari a 140 cm equello superiore 210 cm. All’interno dell’intervallo la v.c. statura può assumerequalsiasi valore.
140
210
Altezza in
cm
Densità diprobabilità
180
165
Pr(alt.
≤165)=0.
Pr(altezza >180)=0. Pr(165< alt.
≤180)=0.