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Calcola il montante a 3 anni e 6 mesi di 100 euro impiegati in capitalizzazione composta al tasso semestrale del 0,6%. Attenzione: indica la formula (o le formule) utilizzate e tutti i passaggi. Posto che il tasso annuo effettivo si ricava da: i=(1+i2)^2-1=(1+0,006)^2-1=0, e che il montante è dato da M= C(1+i)^t, si ha M=100(1+0,012036)^42/12=104, Calcolare per quanto tempo si deve impiegare la somma C=1000 euro al tasso annuo di interesse composto i=0,02 per produrre il montante M=2000 euro. Posto che t = logM-logC/log(1+i) si ha log2000-log1000/log(1+0,02)=35, Che cosa è il break point relativo a due investimenti? Il break point relativo a due investimenti I1 e I2 è quel tasso d’interesse i tale che Gi 1 (i)=Gi 2 (i), cioè è l’ascissa del punto in cui si intersecano i grafici dei due REA. Che cosa è il tasso interno di rendimento (TIR)? Per investimenti di tipo PICO per i quali sia G(0)>0, il TIR è quel valore di i ,indicato con i, unico e positivo, tale che G(i)=0.In altre parole, esiste sempre un unico punto in cui il grafico taglia l’asse delle i. Che cosa è una struttura dei tassi a termine? L’insieme dei tassi d’interesse che il mercato offre oggi in t=0, per valutare disponibilità monetarie prive di rischio in epoche future Come si calcola il corso di un titolo a rendimento certo? (Esamina i due casi: con cedole e senza cedole) Nel caso in cui NON vi siano cedole, il corso del titolo sarà : corso= A= S/(1+i)^t; Qualora vi siano cedole, il corso sarà dato da: corso=A= r1/(1+i)^t1+ r2/(1+i)^t2+r3/(1+i)t3+………+rn+S/(1+i)^tn. Come si dimostra che il regime di capitalizzazione individuato dal fattore di montante e^(dt) è scindibile? F(t)=e^(dt) è scindibile perchè f(t1+t2)=e^d(t1+t2)=e^(dt1)e^(dt2)=f(t1)f(t2) Come si fa a trovare il break point relativo a due investimenti? Si uguagliano i REA dei due investimenti e si ottiene cosi un’equazione nell’incognita i. Se l’equazione è di primo o secondo grado potremo risolverla algebricamente, altrimenti cercheremo una soluzione approssimata utilizzando, ad esempio il risolutore Excel Compilare il flusso di cassa per: a)una rendita anticipata con 4 pagamenti di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese; b) una rendita posticipata con 4 entrate di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese. Rendita anticipata: scadenze(mesi) 0 1 2 3 4
importi - 30 - 30 - 30 - 30 Rendita posticipata: scadenze(mesi) 0 1 2 3 4
importi 30 30 30 30 Considera i due seguenti investimenti I 1 e I 2 Quale dei due investimenti si dovrebbe scegliere mediante il criterio del REA se il tasso di valutazione è del 1,2%? Giustificare la risposta. Il primo passo consiste nel determinare i due REA, cioè le due funzioni: Gi1(i)= - 100+ 45/(1+i)+40/(1+i)^2+20(1+i)^3; Gi2(i)=-100+16/(1+i)+20/(1+i)^2+70/(1+i)^3. Ora calcoliamo il vaore dei due REA in base al tasso dell’1,3%. Gi1(0,012)=-100+45/(1+0,012)+40/(1+0,012)^2+20/(1+0,012)^3= - 100+44,4664+39,0570+19,2969= 2,82. Gi2(0,012)=-100+16/(1+0,012)+20/(1+0,012)^2+70/(1+0,012)^3= - 100+15,8102+19,5285+67,5393= 2,88. Alla luce di risultati, partendo dal presupposto che tra due investimenti occorre scegliere quello con REA positivo,poichè in questo caso entrambi glia investimenti hanno REA>0 si dovrebbe scegliere quello con REA maggiore ovvero I 2 Considera i due seguenti investimenti I 1 e I 2 Quale dei due investimenti si dovrebbe scegliere mediante il criterio del REA se il tasso di valutazione è del 1,3%? Giustificare la risposta Il primo passo consiste nel determinare i due REA, cioè le due funzioni: Gi1(i)= - 100+ 45/(1+i)+40/(1+i)^2+20(1+i)^3; Gi2(i)=-100+16/(1+i)+20/(1+i)^2+70/(1+i)^3. Ora calcoliamo il vaore dei due REA in base al tasso dell’1,3%. Gi1(0,013)=-100+45/(1+0,013)+40/(1+0,013)^2+20/(1+0,013)^3= - 100+44,4225+39,98+19,24= 2,64. Gi2(0,013)=-100+16/(1+0,013)+20/(1+0,013)^2+70/(1+0,013)^3= - 100+15,795+19,49+67,34= 2,624. Alla luce di risultati, partendo dal presupposto che tra due investimenti occorre scegliere quello con REA positivo,poichè in questo caso entrambi glia investimenti hanno REA>0 si dovrebbe scegliere quello con REA maggiore ovvero I Considera il seguente investimento di tipo PICO Determina il TIR (tasso interno di rendimento) a meno di un centesimo (cioè devi dire se è compreso tra l'1% e il 2% oppure tra il 2% e il 3% e così via). Occorre calcolare il REA:
G(0,1) - 50+20/(1+0,01)^2+35/(1+0,01)^3=-50+19,61+33,97=3,
G(0,2) - 50+20/(1+0,02)^2+35/(1+0,02)^3=-50+19,22+32,98=2,
Il TIR non cade nell’intervallo 1%-2% perchè la funzione G(i) NON cambia di segno Calcoliamo il REA nell’altro intervallo: G(0,03)= - 50+20/(1+0,03)^2+35/(1+0,03)^3=-50+18,852+32,029=0, Il TIR NON cade nell’intervallo 2%-3% perchè la funzione G(i) NON cambia di segno G(0,04)=-50+20/(1+0,04)^2+35/(1+0,04)^3=-50+18,49+31,11=-0, Il TIR cade nell’intervallo 3%-4% perchè la funzione G(i) cambia di segno Considera il seguente investimento di tipo PICO e calcola il suo REA per i=6%. Il TIR (tasso interno di rendimento) dell'investimento è maggiore o minore del 6%? REA= G(0,06)=-1000+100/(1+0,06)+100/(1+0,06)^2+1000/(1+0,06)^3=-1000+94,34+89+839,62=22, REA=G(0,07)=-1000+100/(1+0,07)+100/(1+0,07)^2+1000/(1+0,07)^3=-1000+93,46+87,334+816,30=-2, IL TIR è maggiore di 6. Considera il seguente piano di ammortamento Qual è la condizione di chiusura elementare? S=K1+K2+K Considera il seguente piano di ammortamento Qual è la condizione di chiusura iniziale in cc assumendo un tasso d'interesse i? D0= R1/(1+i)+R2/(1+i)^(2)+R3/(1+i)^(3) Considera il seguente piano di ammortamento Qual è la condizione di chiusura finale in cc assumendo un tasso d'interesse i? D0(1+i)^(3)=R1(1+i)^(2)+R2(1+i)+R Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i. Qual è la formula per la quota interessi I 3 ? I3=iD Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i. Qual è la formula per il debito estinto E 3 ? E3=E2+K Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i. Qual è la formula per la rata R 2? R2=K2+I2=K2+iDt
incassi, piccole variazioni del tasso di mercato non cambieranno il valore del flusso (immunizzazione finanziaria) Qual è il valore attuale in t=0 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell’ipotesi di un tasso d’interesse piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. Posto che il valore attuale di una rendita anticipata è in formula pari a: (1+i) 1-(1+i)^n/i, si ha che A=R[(1+i 1-(1+i)^n/i]=70 [(1+0,04)1-(1+0,04)^-8/0,04]= 490, Qual è l'espressione del REA (risultato economico attualizzato) per il seguente investimento? REA= G(12)= - 50+20/(1+i)+20/(1+i)^2+….+20/(1+i)^12=-50+20a12 i Qual è la formula per calcolare il valore del seguente flusso di cassa al tasso annuo i=0,03 a 3 anni e 4 mesi da oggi? (Attenzione, si chiede la formula, non il risultato). Premesso che 3 anni e 4 mesi sono in realtà 3+4/12=3,33 anni, si ha Vt=3,33= 10(1+0,03)^(3,33-2)+20(1+0,03)^(3,33-5)+30(1+0,03)^(3,33-7) Qual è la formula per il tempo t in funzione di M, C, i ricavabile dalla formula per il montante in capitalizzazione a interesse composto? Posto che M(t)= C(1+i)^t M/C= (1+i)^t da cui applicando i logaritmi - > ln M/C= ln (1+i)^t e applicando la proprietà dei logaritmi secondo cui, il logaritmo di una potenza è uguale all’esponente per il log della base e che il log di un rapporto è pari alla differenza dei log - > ln(M) – ln(C)= t ln (1+i), da cui t= ln M- ln C/ln (1+i). Qual è la formula per il tempo t in funzione di M, C, i ricavabile dalla formula per il montante in capitalizzazione a interesse semplice? Posto che M(t) = C (1+ i* t) t= M-C/Ci Qual è la relazione tra tasso annuale e tasso periodale a)nel regime dell’interesse semplice; b)nel regime dell’interesse composto. A) in=i/n->i=nin B) in= (1+i)^1/n- 1 - >i=(1+in)^n- 1 Quali leggi di attualizzazione conosci? Legge di attualizzazione: dello sconto semplice,dello sconto commerciale,dello sconto composto. Quali leggi di capitalizzazione conosci? Legge di capitalizzazione: A interesse semplice,a interesse composto,a interesse anticipato continua. Quando diremo che due tassi periodali sono equivalenti? Due tassi di interesse si dicono equivalenti quando, applicati allo stesso C per lo stesso orizzonte temporale t, danno luogo al medesimo M. Se il tasso nominale è j 3 = 3%, qual è il tasso annuale effettivo corrispondente? Indica il risultato e la formula utilizzata. Premesso che l’equivalente periodale è dato da in=jn/n->i3=0,03/3=0,01 il tasso annuo effettivo si ricava da: i=(1+i3)^3-1=(1+0,01)^3- 1=0,030301=3,0301% Se il tasso nominale è j 4 = 3%, qual è il tasso trimestrale effettivo corrispondente? Indica il risultato e la formula utilizzata. Premesso che l’equivalente periodale è dato da: in=jn/n->=0,03/4=0,0075=0,75% Si consideri il seguente progetto d'investimento Utilizzando il criterio del REA, dire se conviene farsi finanziare l'esborso iniziale al tasso annuo dell'8% Per rispondere alla domanda, calcoliamo il REA. G(0,08)= - 100+10/1,08+10/(1,08)^2+10/(1,08)^3+100/(1,08)^4= - 100+9,26+8,57+7,94+73,50= - 0, Poichè il REA è negativo non conviene farsi finanziare, al tasso dell’8% (che è superiore al TIR), il capitale iniziale per effettuare l’investimento. Si consideri il seguente progetto d'investimento Utilizzando il criterio del REA, dire se conviene farsi finanziare l'esborso iniziale al tasso annuo del 13%. E al tasso del 17%? Per rispondere alla domanda, calcoliamo il REA. G(0,13)= - 100+20/1,13+10/(1,13)^2+10/(1,13)^3+120/(1,13)^4= - 100+17,70+7,83+6,93+73,60=6, G(0,17)= - 100+20/1,17+10/(1,17)^2+10/(1,17)^3+120/(1,17)^4= - 100+17,09+7,30+6,24+64,04=-5, Dunque conviene farsi finanziare se il tasso d’interesse del prestito è del 13% (minore del TIR) ma non conviene se è del 17% (maggiore del TIR). Si vuole costituire un capitale di 100.000 euro con 12 versamenti annui posticipati sui quali verrà corrisposto un tasso di interesse annuo del 4%. Calcolare l’importo della rata da versare. R=M/Sni=M/(1+i)^(n)-1/i=100.000/(1+0,04)^(12)-1/0,04= 100.000/15,025805=6.655, Sia G(i) la funzione che esprime il REA di un investimento PICO. Cosa si può dire del punto di intersezione del grafico di G(i) con l'asse positivo delle i? Sia G(0)>0 allora esiste un unico punto d’intersezione del grafico G(i) con l’asse delle i positive, l’ascissa di tale punto è il tasso interno di rendimento dell’investimento. Sia I un certo investimento e il suo REA, valutato al tasso i, sia positivo. Qual è il significato finanziario della positività del REA? Significa che, se il tasso di valutazione è i, l’investimento è conveniente. Spiega in cosa consiste il rischio di tasso relativamente al flusso di cassa di un titolo a reddito fisso (ricorda che il rischio di tasso ha due
componenti: rischio di reimpiego e rischio di prezzo) I titoli obbligazionari a rendimento fisso garantiscono all'investitore un flusso di cassa non aleatorio, ma non sono esenti da quello che si chiama rischio di tasso che consiste nella possibilità che il tasso di mercato vari dopo l'acquisto del titolo. Più precisamente il rischio di tasso ha due componenti: rischio di reimpiego se il tasso di mercato diminuisce; in questo caso le cedole incassate non potranno essere reinvestite al tasso; rischio di prezzo se il tasso di mercato aumenta, in questo caso diminuisce il corso (il prezzo) del titolo se si decide di vendere; infatti diminuisce il valore degli importi del flusso che sono ancora da incassare perchè devono essere attualizzati all’epoca di smobilizzo a un tasso più alto. Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione composta, produce un montante M=1700 euro. Determinare il tasso annuo d’interesse composto i. Posto che i = √M/C - 1, si ha che: i= √1700/1600 - 1= 0, Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montante M=1700 euro. Determinare il tasso semestrale d’interesse semplice i 2. Posto che nel regime finanziario dell’interesse semplice, i = M-c/ Ct, si ha che i=1700- 1600/16004=0,015625. Dato che i2 = ½ ia si ha che i2= ½ 0,015625=0, Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montante M=1800 euro. Determinare il tasso quadrimestrale d’interesse semplice i 3. Posto che nel regime finanziario dell’interesse semplice, i = M-c/ Ct, si ha che i= 1800- 1600/16004=0, Un mutuo di 10.000 euro viene ammortizzato con 30 rate mensili costanti al tasso mensile d'interesse del 0,1%. Qual è il debito residuo dopo il pagamento della rata n° 20? Premesso che la formula generale per il calcolo del debito residuo nell’ammortamento francese è: Dk= Rs n-k i/(1+i)^(n-k)= Ra n-k i. Il debito residuo dopo il pagamento della 20-ma rata e con 10 rimanenti è: D10= Ra n-k i= Ra 30- 20 0,001. Ma preliminarmente occorre calcolare l’importo della rata, secondo la formula: R=S/a n i= 10.000/1-(1+i)^(-n)/i= 10.000/1- (1+0,001)^(-30)/0,001=338,525. Da cui D10=Ra n-k i= Ra30- 20 0,001=338,525* 1-(1+0,001)^(-10)/0,001=3.366, Un titolo di valore nominale 1000 vale oggi 750 e sarà rimborsato alla pari fra 5 anni in ognuno dei quali darà una cedola annua pari al 4% del valore nominale. Verificare che il TIR dell’investimento è compreso tra il 10% e l'11%. Per prima cosa, calcoliamo la cedola: 1000*0,04=40, il passo successivo è definire il flusso di cassa dell’investimento: anni 0 1 2 3 4 5
importi - 750 40 40 40 40 1040 La formula del REA supponendo che le 5 cedole rappresentino una rendita posticipata a rata costante è: REA= G(i)= - C+
R1/(1+i)^(t1)+R2/(1+i)^(t2)+….+R5/(1+i)^(t5)= - 750+40a 5 i+ 1000/(1+i)^5= - 750+40 1-(1+i)^(-5)+1000/(1+i)^5. Fatto ciò bisogna
individuare in quale intervallo la funzione G(1) cambia di segno:
G(0,1)= - 750+40a 5 0,1+ 1000/(1,1)^5=-750+40 1-(1,1)^(-5)/0,1+1000/1,61051= - 750+151,6315+620,9213=22,
G(0,11) - 750+40 1-(1,11)^(-5)/0,11+1000/1,68506=-750+147,834+593,4507= - 8,
il TIR cade nell’intervallo 10-11% perchè la funzione G(i) cambia di segno. Una rendita posticipata prevede 3 rate rispettivamente di 10, 20, 30 a scadenza annuale con decorrenza t=0. Qual è il montante della rendita in t=7, assumendo per tutto l'arco dell'operazione un tasso annuo i=0,05? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. Scadenza 0 1 2 3 4 5 6 7
importi 10 20 30 M= 10(1+0,05)^6+20(1+0,05)^5+30(1+0,05)^4=75, Voglio costituire un capitale pari a 100000 euro mediante il versamento annuale, per 15 anni, di una rata posticipata, di importo R, con decorrenza t=0, assumendo un tasso di mercato piatto per tutta l'operazione pari al 4% annuo. Qual è l'importo della rata R? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. R*Sni=100.000->R=100000/sni=100000/(1+i)^(n)-1/1=100000/(1+0,04)^(15)-1/0,04=100000/20,0236=4.494,
