Geometria e Algebra Lineare con Elementi di Statistica
Esame scritto di GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE
Esempio di Testo
Cognome: Nome: Matricola:
Esercizio 1 (9 punti).Sia data la funzione f:R4→R5definita da f(X) = AX per ogni X∈R4, dove i
vettori di Rnsono descritti come matrici con una sola colonna (colonne) e
A=
−1 2 1 0
2 0 −1 1
3 1 0 0
4 3 0 1
342−1
.
(1) (5p) Si determini se f`e iniettiva, se `e suriettiva e si trovino una base dell’immagine di fe del nucleo
di f.
(2) (3p) Si stabilisca per quale valore del parametro reale tl’equazione f(x) = (0,0,1,1, t) `e risolubile e
si descriva l’insieme delle soluzioni in tale caso.
(3) (1p) Si enunci il Teorema di Rouch´e-Capelli e se ne discuta il significato nel contesto della domanda
precedente.
Esercizio 2 (9 punti).Nello spazio R3si considerino i vettori w1= (1,1,0), w2= (−1,1,0), w3=
(0,0,√2).
(1) (1p) Si verifichi che B={w1,w2,w3}`e una base di R3.
(2) (1p) Si scriva la matrice Mche manda le coordinate Urispetto alla base Bnelle coordinate X
rispetto alla base standard, ossia tali che X=MU.
(3) (2p) Si calcoli la matrice inversa M−1di M.
(4) (1p) Sia f:R3→R3l’applicazione lineare definita dalle condizioni f(w1) = w2,f(w2) = w3,
f(w3) = w1. Si scriva la matrice Bche rappresenta frispetto alla base B.
(5) (2p) Si scriva la matrice Cche rappresenta frispetto alla base canonica.
(6) (2p) Si trovino gli autovalori e gli autospazi di f(scegliendo la base pi`u comoda) e si descriva il
comportamento geometrico di f.
Esercizio 3 (8 punti).Si consideri la forma quadratica φ(x1, x2)=2x2
1+ 3x2
2−2√2x1x2.
(1) (1p) Si scriva la matrice Aassociata a φrispetto alla base canonica.
(2) (3p) Si trovi una base ortonormale B={w1,w2}di autovettori di A.
(3) (1p) Si scriva la forma quadratica φin termini delle coordinate u= (u1, u2) relative alla base B.
(4) (3p) Si trovino le coordinate dei vertici e le equazioni degli assi della conica C={x∈R2|φ(x1, x2) =
1}nel sistema di riferimento standard e si rappresenti Ccon un disegno.
Esercizio 4 (8 punti).Siano a= (−1,2,−2) e b= (−2,−1,1) vettori in R3e sia αil sottospazio vettoriale
(piano per l’origine) generato da aeb. Si consideri inoltre il punto P= (1,−1,0).
(1) (1p) Si trovi un vettore che genera la retta rpassante per l’origine e ortogonale al piano α.
(2) (2p) Si trovino le coordinate del punto Qproiezione ortogonale di Psu r.
(3) (1p) Si trovino le coordinate del punto Mproiezione ortogonale di Psu α.
(4) (1p) Si trovino le coordinate del punto P′simmetrico di Prispetto a r.
(5) (2p) Si scriva la matrice Hche rappresenta la proiezione ortogonale su αrispetto alle coordinate
standard.
(6) (1p) Senza moltiplicare matrici si scriva la matrice H4motivando la risposta.
