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Matematica – Esame
Giuseppe Vittucci Marzetti∗
Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale
Universit`a degli Studi di Milano-Bicocca
Corso di Laurea in Scienze dell’Organizzazione
3 Luglio 2019
Istruzioni: L’esame dura 90 minuti. Scrivi in modo leggibile e conciso. Indica chiaramente all’inizio di ciascuna risposta la domanda/sezione a cui la risposta si riferisce. Ogni parte assegna da 0 (nessuna risposta o risposta completamente errata) ad un massimo di punti indicato a lato di ciascuna (risposta esatta e concisa) per un totale di max 30 punti. Puoi utilizzare solo i fogli protocollo consegnati durante lo svolgimento della prova. Al termine della prova devi riconsegnare tutti e solo i fogli ricevuti. Immediatamente dopo la consegna, su ciascun foglio protocollo scrivi in modo chiaro e leggibile a penna indelebile il tuo nome, cognome e numero di matricola. I fogli recanti una qualsiasi correzione o cancellazione nei dati identificativi dello studente non verranno valutati a meno di non richiederne l’immediata sostituzione.
- Esercizio. Sia data la seguente funzione reale di variabile reale f : R 7 → R.
f (x) =
x^3 2 − 6 x^2 + 24 x
(a) (1 punto) Determina l’insieme di definizione (o campo di esistenza) della funzione.
Soluzione: La funzione `e definita per ogni x ∈ R.
(b) (1 punto) Identifica le eventuali simmetrie (funzione pari o dispari).
Soluzione: La funzione non presenta simmetrie. Non `e pari, poich´e in generale:
f (−x) = −
x^3 2 − 6 x^2 − 24 x
e diverso da f (x), e none dispari, poich´e in generale f (x) `e anche diverso da:
−f (−x) = x^3 2
∗Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Universit`a degli Studi di Milano-Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, Milano, MI 20126, Italy, E-mail: [email protected]
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(c) (2 punti) Determina le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, f (x) ≥ 0. Suggerimento: esprimi la funzione come il prodotto di due funzioni:
f (x) = x 2
x^2 − 12 x + 48
Soluzione: La funzione passa per l’origine degli assi essendo f (0) = 0. Inoltre non ha altre radici reali, poich´e l’equazione quadratica x^2 − 12 x + 48 = 0 ha discriminante minore di zero:
∆ = (−12)^2 − 4 × 1 × 48 = − 48 < 0
Essendo poi la disequazione di secondo grado x^2 − 12 x + 48 > 0 soddisfatta per ogni x ∈ R, il segno di f (x) sar`a deciso dal segno del primo fattore, x/2. Quindi f (x) > 0 se e solo se x > 0.
(d) (2 punti) Calcola i limiti di f (x) per x → +∞ e x → −∞.
Soluzione:
x→^ lim+∞
x^3 2 − 6 x^2 + 24 x
= (^) x→lim+∞
x^3 2
lim x→−∞
x^3 2 − 6 x^2 + 24 x
= lim x→−∞
x^3 2
(e) (2 punti) Calcola la derivata prima e determina i valori per cui f (x) `e crescente/decrescente studiando il segno di questa derivata.
Soluzione: f ′(x) =
x^2 − 12 x + 24
Si tratta di una funzione quadratica: l’equazione di una parabola convessa. Le radici reali dell’equazione associata sono:
x 1 , 2 =
(−12)^2 − 4 × 32 × 24
2 × 32
Il discriminante e nullo e quindi l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti. La derivata primae sempre positiva e assume valore zero in corrispondenza di x = 4, pertanto f (x) e sempre crescente e x = 4e un punto stazionario.
(f) (2 punti) Calcola la derivata seconda di f (x) e determina la concavita/convessita di f (x) e gli eventuali punti di flesso studiando il segno della derivata seconda.
Soluzione:
Soluzione: Applicando lo sviluppo in serie di Taylor al primo ordine con centro x 0 = 8 si ottiene:
f (x) ≈ f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) = f (8) + f ′(8)(x − 8)
Essendo: f (8) =
− 6 × 82 + 24 × 8 = 256 − 384 + 192 = 64
e: f ′(x) =
x^2 − 12 x + 24
da cui: f ′(8) =
× 82 − 12 × 8 + 24 = 24
la funzione di costo lineare che approssima meglio i costi effettivi al livello di produzione corrente `e: c(x) = 64 + 24 (x − 8) = −128 + 24 x
(b) (2 punti) Calcola l’aumento dei costi prodotto dall’aumento di mille unita – il livello di produzione passa da 8 a 9 mila unita l’anno (∆x = 1) – se la funzione di costo viene assunta lineare attorno al livello di produzione corrente. Qual `e invece l’aumento effettivo?
Soluzione: L’aumento approssimato e dato semplicemente dalla derivata della funzione in x 0 = 8: f ′(8) = 24 mila euro. L’aumento effettivoe invece pari a:
f (9) − f (8) = 94, 5 − 64 = 30, 5
Si commette quindi un errore per difetto pari a 6,5 mila euro (= 30,5 - 24).
(c) (2 punti) Calcola l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e che assume valore f (8) quando x = 8. Secondo te qual `e l’interpretazione economica del coefficiente di questa retta?
Soluzione: y = f (8) 8
x =
x = 8 x
Essendo pari al rapporto tra costi totali e quantita prodotta, il coefficiente angolare rappresenta il costo unitario (o medio) di produzione. Al livello di produzione attuale (8 mila unita), ogni unit`a prodotta costa in media 8 euro.
- (2 punti) Problema: Assumi la seguente funzione di costo lineare:
C(x) = f + c · x
dove f e c sono due parametri strettamente positivi che misurano, rispettivamente, i costi fissi e i costi variabili unitari, mentre x sono le unita prodotte. Assumi altresı che il prezzo p di vendita di ogni unita sia dato e costante, per cui la funzione dei ricavie:
R(x) = p · x
Sapendo che il profitto e dato dalla differenza tra ricavi e costi, calcola il punto di pareggio, cioe il numero di unita prodotte in corrispondenza del quale il profittoe nullo. Quale sono le condizioni che devono essere soddisfatte perch´e tale livello di produzione sia strettamente positivo? Come cambia questo livello se i costi fissi f aumentano?
Soluzione: Indicando con P i profitti abbiamo:
P (x) = R(x) − C(x) = p · x − (f + c · x) = (p − c) · x − f
da cui: (p − c) · x 0 − f = 0 ⇒ x 0 = f p − c Affinch´e x 0 > 0, poich´e f > 0, deve aversi p > c (il prezzo deve essere maggiore del costo unitario). All’aumentare dei costi fissi aumenta il numero minimo di unit`a da produrre per andare in pareggio.
- Problema. Alla terza votazione per l’elezione del Rettore nel 2019 all’Universit
a di Milano- Bicocca al terzo turno i due candidati che hanno ottenuto a larga maggioranza il maggior numero di voti (e sono poi andati al ballottaggio) sono stati Giovanna Iannantuoni e Paolo Cherubini. Il Rettoree eletto sia dal personale docente e ricercatore (e dai rappresentanti degli studenti) sia dal personale tecnico-amministrativo, tuttavia il voto di questi ultimi e computato in ragione del 15% (ciascun voto dei tecnici/amministrativi vale 0,15 nella somma totale dei voti). Compulsando il verbale della votazione, scopri che Iannantuonie risultata prima con 424,9 voti assegnati, mentre a Cherubini sono stati assegnati 388,45 voti. Scopri anche che i voti assegnati a Iannantuoni in base alle schede relative al personale docente e ricercatore e agli studenti sono stati 403, mentre il numero complessivo dei tecnici-amministrativi che ha espresso voti validi per uno dei due candidati `e stato 469.
(c) (2 punti) Se il peso assegnato al voto dei tecnici-amministrativi fosse stato diverso (minore o maggiore del 15%), l’esito finale sarebbe potuto essere diverso? Se s`ı, quale sarebbe dovuto essere il peso minimo/massimo necessario perch´e questo accadesse?
Soluzione: Poich´e il voto degli amministrativi `e andato in larga maggioranza a Cherubini, se il peso dato al voto del personale tecnico-amministrativo fosse stato maggiore, l’ordine sarebbe potuto essere invertito. In particolare, sarebbe stato necessario il voto del personale tecnico-amministrativo fosse computato in ragione non inferiore al 36%, essendo:
340 + 323 w > 403 + 146 w (323 − 146) w > 403 − 340 177 w > 63 w >
(d) (2 punti) Calcola la probabilit`a che due schede estratte a caso dall’urna contenente tutti i voti validi a favore di Cherubini o Iannantuoni espressi dal personale tecnico-amministrativo contengano entrambe il nome Cherubini.
Soluzione: I casi possibili sono dati dalle disposizioni semplici di 469 oggetti (le schede presenti nell’urna) di classe 2 (le schede estratte):
D 469 , 2 =
= 469 × 468 = 219 492
I casi favorevoli sono dati dalle disposizioni semplici di 323 oggetti (le schede contenenti il nome Cherubini) di classe 2 (le schede estratte):
D 323 , 2 =
= 323 × 322 = 104 006
La probabilita che due schede estratte a caso dall’urna contengano entrambe il nome Cherubinie quindi pari a:
Pr =
D 323 , 2
D 469 , 2
323 × 322
469 × 468
Esercizio/Problema: 1 2 3 4 Totale Punti: 14 6 2 8 30 Punteggio:
