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MATEMATICA GENERALE
Simulazione prova generale
Ogni risposta deve essere adeguatamente motivata. Soluzioni non motivate non verranno prese in considerazione.
I modulo
- [8 punti] Data la funzione f (x) = 2 x
2 x+1 :
(a) Determinare il dominio di f (x).
(b) Mostrare che f ammette asintoti obliqui per x → ±∞ e determinarne le equazioni.
(c) Determinare per quali valori di x la funzione `e strettamente decrescente.
- [4 punti] Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione h(x) = x^2 e^2 x^ a partire dal punto x = 12 con resto secondo Peano.
- [4 punti] Determinare i punti stazionari (λ∗, x∗, y∗) della funzione lagrangiana del seguente problema di ottimizzazione vincolata:
max x^3 + 2y sub 2 y + 3x = 3
II modulo
- [8 punti] Dati i tre vettori x =
, y =
k 1
e z =
(a) Discutere in funzione di k ∈ R il massimo numero di vettori linearmente in- dipendenti.
(b) Dato il sistema ( − 1 k 1 0 1 0
x y z
discutere il numero di soluzioni in funzione di k ∈ R.
- [4 punti] Data la funzione f (x) = 2x(− 2 x + e^2 x):
(a) Calcolare l’integrale indefinito di f.
(b) Determinare la primitiva F di f tale che F (0) = 1.
- [4 punti] Risolvere l’integrale
− 2
f (x) dx dove f (x) =
− 2 se x < 0 −x se x ≥ 0
I punti stazionari sono soluzione del sistema:
3 − 2 y − 3 x = 0 3 x^2 − 3 λ = 0 2 − 2 λ = 0
che ammette le due soluzioni
λ = 1 x = 1 y = 0
e
λ = 1 x = − 1 y = 3
II modulo
- (a) Poich´e i vettori x e z sono linearmente dipendenti, il numero massimo di vettori linearmente indipendenti `e 2 indipendentemente da k. Infatti, il rango della
matrice
− 1 k 1 0 1 0
`e 2 poich´e ad esempio
∣∣−^1 k 0 1
(b) Poich´e sia il rango della matrice dei coefficienti che della matrice completa ( − 1 k 1 0 0 1 0 0
`e 2, il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro, per ogni valore k ∈ R.
- (a) ∫ 2 x(− 2 x + e^2 x) dx = −
4 x^2 dx +
2 xe^2 x^ dx
x^3 3
e^2 xdx = −
4 x^3 3
e^2 x^ + c
(b) F (x) = −
4 x^3 3
e^2 x^ + c soddisfa F (0) = 1 se e solo se c = 32 quindi la primitiva richiesta `e:
F (x) = −
4 x^3 3
e^2 x^ +
− 2
f (x)dx =
− 2
(−2)dx +
0
(−x)dx = [− 2 x]^0 − 2 +
[
x^2 2
] 2
0
