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Prova Scritta di Matematica Generale Modulo B - 6 giugno 2025
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- Durante la prova scritta, della durata di 60 minuti , non sono ammessi appunti, eserciziari, libri o testi di alcun tipo, né l’uso della calcolatrice e di qualsiasi correttore. Il compito deve essere scritto a penna.
- Il punteggio è indicato accanto ad ogni domanda. La risposta errata vale 0 punti.
- Le soluzioni degli esercizi devono essere scritte esclusivamente su questo foglio negli spazi indicati. Negli esercizi del Terzo Gruppo riportare i passaggi necessari alla comprensione della soluzione. Non verranno accettati fogli di protocollo aggiuntivi.
- Per superare la prova è necessario ottenere almeno 4 punti negli esercizi del Primo Gruppo.
Esercizi del primo gruppo
10 punti
1. (1 punto) Data la funzione
f (x,y) = x^2 ln
x y
− 10 kx + 2hy
per quali valori dei parametri reali h e k, il punto P (5,5) è stazionario? (a) h = 52 , k = (^12)
(b) nessuna delle altre risposte è corretta
( c ) h = 12 , k = − (^12)
(d) h = 52 , k = − (^12)
( e ) h = 12 , k = (^12)
2. (1 punto) Sia f la funzione il cui grafico è rappresentato in figura:
x
y
− 6 − 3
− (^12)
L’area della regione di piano evidenziata in grigio vale:
(a) 2
− 3
f (x) dx +
− 6
f (x) dx
(b)
− 6
f (x) dx −
− 1
f (x) dx
( c )
2
f (x) dx + 2
− 6
f (x) dx
(d)
− 3
f (x) dx +
− 3
f (x) dx −
− 1
f (x) dx
( e ) nessuna delle altre risposte è corretta
3. (1 punto) Quali condizioni soddisfa il grafico della funzione rappresentata?
x
y
-1 1
(a) nessuna delle altre risposte è corretta
(b) La funzione ammette in x = − 1 un punto di massimo assoluto e un punto di minimo locale in x = 1.
( c ) La funzione ammette in x = − 1 un flesso a tan- gente verticale e un punto di minimo locale in x = 1.
(d) La funzione ammette in x = − 1 un punto an- goloso e un punto di minimo assoluto in x = 1.
( e ) La funzione ammette in x = − 1 un punto an- goloso e un punto di minimo locale in x = 1.
4. (1 punto) La funzione:
f (x) =
3 x + 7 per x ≤ 0
e ax^ − 1 3 x
per x > 0
è continua in x = 0 se (a) la funzione non è continua per alcun valore di a
(b) nessuna delle altre risposte è corretta
( c ) a = 0
(d) a = 21
5. (1 punto) Data la funzione
f (x) = 5 +
x^2
allora nel generico punto x vale:
( a ) f ′( x ) = lim h → 0
(5+^25 x^2 − h )−(5+^25 x^2 ) h =
4 5 x
( b ) f ′( x ) = lim h → 0
(5+ 25 ( x + h )^2 )+(5+ 25 x^2 ) h =
4 5
x
( c ) f ′( x ) = lim h → 0
(5+^25 ( x + h )^2 )−(5+^25 x^2 ) h =^ −^
4 5 x
( d ) f ′( x ) = lim h → 0
(5+^25 ( x + h )^2 )−(5+^25 x^2 ) h =
4 5 x
( e ) nessuna delle altre risposte è corretta
6. (1 punto) Sia
f (x,y) = 7 ln(x^2 y) + 3xy^3 − 21
La derivata parziale prima di f rispetto ad y è: (a) nessuna delle altre risposte è corretta
(b) f (^) y ′ (x,y) = (^) x^72 y + 9xy^2
( c ) f (^) y ′ (x,y) = (^7) y + 9xy^2
(d) f (^) y ′ (x,y) = (^) x^72 y + 3y^3
7. (1 punto) Il limite:
lim x →+∞
7 x^8 sen(8x) − 7 x^12 8 x^12 − 8 x^8 − 7 x vale:
(a) −
(b) 0
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta
(d) −∞
( e )
8. (1 punto) Sia data la funzione
f (x) = 21x^44 − 43 x^2 − 22
Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) nessuna delle altre risposte è corretta
(b) f (x) non è definita in x = 0
( c ) f (x) ha un punto di massimo relativo in x = 0
(d) f (x) ha un punto di minimo relativo in x = 0
( e ) f (x) ha un punto di flesso in x = 0
9. (2 punti) La funzione
f (x) =
3 ln(x − 4) per x ≥ 5 − 5 x + 30 per x < 5
(a) non è definita in x = 5
(b) presenta in x = 5 un punto di minimo locale
( c ) presenta in x = 5 un punto di massimo locale
(d) nessuna delle altre risposte è corretta
( e ) è limitata
3 punti
Esercizio 2. Si determinino gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione
f (x,y) = y^2 − 2 x
soggetta al vincolo g(x,y) = x − 3 y^2 + 5y − 6 = 0
