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Laura Pagani – Corso di Statistica – a.a. 2014-
Probabilità: concetti di base 1
Laura Pagani
Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche
Università degli studi di Udine
Laura Pagani – Corso di Statistica – a.a. 2014-
La probabilità
La probabilità può essere definita come il grado di
fiducia che attribuiamo ad un “fatto” il cui verificarsi
non è certo.
Se un consumatore entra in un negozio di
elettrodomestici non è possibile sapere a priori, con
certezza, se acquisterà o meno un televisore.
Il responsabile marketing di una società che immette sul
mercato un prodotto innovativo non può sapere, con
certezza, se il prodotto avrà successo o meno.
Un investitore non può sapere, con certezza, se la
quotazione del titolo nel quale ha investito subirà un
aumento nel corso dell’anno.
Lanciando una moneta non si può prevedere a priori se
uscirà testa o croce.
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La probabilità
Associato al concetto di probabilità è il concetto di esperimento aleatorio. Un esperimento aleatorio, che indichiamo con E, è un atto o un processo la cui singola esecuzione, chiamata prova, dà luogo ad un risultato (esito) che non è certo (non è prevedibile con certezza). Un esempio: E: lancio di una moneta, lancio di un dado, estrazione di una pallina da un’urna contenente 100 palline numerate dall’uno al 100, estrazione di un consumatore da una popolazione di consumatori, ecc… Si osservi come i risultati di un esperimento casuale siano almeno due. La prova può essere scomposta in più fasi chiamate sottoprove. Ad esempio se la prova consiste nel lanciare due monete, si può pensare di scomporre tale prova in due sottoprove: il lancio della prima moneta e il lancio della seconda moneta.
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La probabilità
La relazione logico-formale che esiste tra probabilità, prova e
risultato è la seguente:
Data una prova, uno dei possibili risultati si verifica con
una certa probabilità
Se, ad esempio, la prova consiste nell’estrarre una pallina,
da un’urna che ne contiene 100, numerate dall’1 al 100,
allora è possibile dire che:
Data l’estrazione di una pallina da un’urna che ne
contiene 100, numerate dall’1 al 100 (prova), il risultato “la
pallina estratta è contrassegnata del numero 50” si verifica
con probabilità pari a 1/100.
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Eventi
Diamo ora una definizione più generale di evento.
Si definisce evento un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario . Oss1. Gli eventi elementari sono eventi. Oss2. Lo spazio campionario è un evento.
Gli eventi vengono indicati con le prime lettere maiuscole dell’alfabeto. Quindi se, data una prova e uno spazio campionario , A è un evento di , allora A
A volte è importante studiare le relazioni che intercorrono tra eventi. Essendo gli eventi particolari insiemi per studiarne le relazioni può essere utile fare ricorso alle operazioni su insiemi (unione, intersezione, complementazione).
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Eventi e diagrammi di Venn
Dato che gli eventi sono insiemi a volte possono essere utilmente rappresentarli mediante i diagrammi di Venn (rappresentazione grafica di un insieme). Lo spazio campionario, discreto o continuo, rappresenta l’insieme di riferimento e verrà indicato con un rettangolo, il singolo evento con un cerchio o con un’altra figura geometrica
A
A
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Eventi e diagrammi di Venn
Operazioni fondamentali sugli eventi
Complementazione. Dato un evento A, A, il suo
complementare A’ è rappresentato dall’evento “A non si
è verificato”.
Unione. Dati due eventi A e B, A, B, l’evento
unione AB (A o B), è rappresentato dall’evento
“almeno uno dei due eventi si verifica”.
Intersezione. Dati due eventi A e B, A, B,
l’evento intersezione (o evento congiunto) AB (A e B),
è rappresentato dall’evento “entrambi gli eventi si
verificano”.
Oss3. Le operazioni di unione e di intersezione si
possono estendere ad un numero finito o al più a
un’infinità numerabile di eventi.
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Eventi e diagrammi di Venn
B
A
A B
Evento certo
Evento
complementare
Evento unione
Evento intersezione
(o congiunto)
AB
AB
A
A’
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1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5 ^ ^ ^ ^ ^
6 ^ ^ ^ ^ ^
D 1
D 2
La tabella rappresenta lo spazio campionario , i punti rossi sono gli eventi elementari. L’evento A è tratteggiato in giallo, l’evento B in fucsia, l’evento C in arancione, l’evento D in viola.
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AC
AB
AC
A’
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CD
CD
BC
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Utilizzando il diagramma di Venn…..
Il risultato del primo lancio è inferiore a quello del secondo
A C
I due risultati sono uguali
B
Il risultato del primo lancio è 2
BC
I due risultati sono uguali e il risultato del primo lancio è 2
AB
Il risultato del primo lancio è inferiore a quello del secondo o il risultato del primo lancio è 2
D
I due risultati sono uguali e maggiori di 3
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Ad una data prova viene associato l’insieme delle parti .
Fatta questa premessa si dà la seguente definizione di
probabilità.
La probabilità è una funzione di insieme che associa
ad ogni evento Ai un numero reale.
La probabilità di un evento viene indicata con P(Ai).
Oss. 5. Gli elementi necessari per definire la probabilità sono lo spazio campionario , l’insieme delle parti e la funzione P(.^ ). La terna (, ,P) viene chiamata spazio di probabilità
Ai
P(Ai)
p
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Proprietà assiomatiche della
funzione di probabilità
Dato un evento A (^) i si ha che
La probabilità dell’evento certo è uguale all’unità
Dati due eventi A e B, A e B , e tali che AB= (A e B sono eventi incompatibili), allora
P(A (^) i ) 0
P( ) 1
P(A B)P(A) P(B)
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Utilizzando le proprietà assiomatiche è possibile dimostrare i seguenti teoremi:
Teorema 1. Per ogni evento A
0 P(A) 1
Teorema 2. La probabilità dell’evento impossibile è nulla
P()=
Teorema 3. Per ogni evento A
P(A’)=1- P(A)
Teorema 4. Dati due eventi A e B, A e B allora
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
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Assegnare la probabilità ad un evento
(calcolo della probabilità)
Il passo successivo alla definizione delle proprietà formali della
funzione di probabilità P(.) consiste nell’individuare il valore che
assume tale funzione in corrispondenza degli eventi che appartengono
a .
A i
P(Ai)
0 p 1
P()
P()
Quanto vale p? (sappiamo soltanto che è un numero reale compreso tra 0 e 1)
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Oss. 8. La definizione classica della probabilità richiede il conteggio
del numero di casi favorevoli (cardinalità dell’evento) e del numero
dei casi possibili (cardinalità dello spazio campionario).
Nei casi più semplici tale operazione non è particolarmente
difficoltosa, nei casi più complessi si ricorre al calcolo combinatorio.
Esempi. Lancio dei due dadi.
A: il risultato del primo lancio è inferiore a quello del secondo
AB: il risultato del primo lancio è inferiore a quello del secondo o è pari a 2
Oppure, utilizzando il teorema 4 (delle probabilità totali)
36
15
| |
|A| P(A)
36
17
| |
|A B| P(A B)
36
17
36
4
36
6
36
15 P(A B)P(A)P(B)P(A B)
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Altre definizioni della probabilità
Oltre alla definizione classica della probabilità è possibile introdurre altre definizioni che rispettano gli assiomi che sono stati enunciati. Ciò significa che è possibile assegnare la probabilità ad un evento (il valore p) in modi diversi pur nel rispetto degli assiomi.
Definizione frequentista Si basa sulla replicabilità della prova e sulla analogia tra probabilità e frequenza relativa. Le prove devono essere ripetute (al limite anche all’infinito) sempre sotto le stesse condizioni (le prove sono uguali). Ad ogni replicazione della prova viene calcolata la frequenza relativa di risultati favorevoli agli eventi elementari che compongono lo spazio campionario . Se A è un evento di e n è il numero di prove effettuate mentre n(A) è il numero di prove nelle quali A si è verificato, allora la frequenza relativa di A risulta essere
n
n(A) fn (A)
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Si osservi d’altra parte che gli assiomi del calcolo delle probabilità
possono essere applicati anche alle frequenze relative (provare per
credere!). Questo fatto crea un collegamento tra mondo reale
(frequenze relative) e teoria (probabilità).
Fatte queste premesse è possibile introdurre la seguente
affermazione:
Postulato empirico del caso
In una serie di prove, ripetute più volte sotto le stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è approssimativamente pari alla sua probabilità. L’approssimazione migliora al crescere del numero delle prove.
n
n(A) P(A) fn (A)
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Il postulato empirico del caso, creando un collegamento tra
frequenza relativa e probabilità, è molto utile dal punto di vista
operativo, come mostrano gli esempi che seguono.
Esempio 1. Il direttore commerciale di una catena di negozi di
elettrodomestici ha compiuto un’indagine sui clienti al fine di avere informazioni sia sui loro piani di acquisto, sia sugli acquisti effettivi. A tale proposito sono stati considerati 1000 clienti ai quali è stato chiesto se, entro un anno, avevano intenzione di acquistare un elettrodomestico. Un anno dopo i 1000 clienti sono stati di nuovo intervistati al fine di verificare se dalla pianificazione fossero passati all’acquisto effettivo. I risultati dell’indagine possono essere convenientemente organizzati in una tabella di contingenza che fornisce la distribuzione congiunta delle variabili “Acquisto pianificato-AP” e “Acquisto effettivo-AE”
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Sì No Marginale
Sì AP,AE AP,AE’ AP
No AP’,AE AP’,AE’ AP’
Marginale AE AE’
Sì No Totale
Sì 0.2 0.05 0.
No 0.1 0.65 0.
Totale 0.3 0.7 1
AP
AP
AF
AF
Eventi congiunti
Eventi marginali
Probabilità congiunte
Probabilità marginali
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Definizione soggettivista
La probabilità di un evento è la valutazione che un soggetto
può coerentemente formulare, in base alle proprie
conoscenze, circa il grado di avverabilità di un evento.
Es. Lancio di una moneta.
A= si verifica testa
Dato che non si ha motivo di ritenere che la moneta sia
truccata è possibile attribuire probabilità 0.5 al verificarsi di
A. Quindi P(A)=0.5.
